Chuyên đề Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng - Hình học 12

 CHƯƠNG 3 
 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
 DẠNG 5: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 
 222
 Cho điểm M x0;; y 0 z 0 và mặt phẳng P :0Ax By Cz D , ABC 0 . 
 Khi đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P được các định bởi công thức: 
 Ax By Cz D
 d M, P 0 0 0 
 ABC2 2 2
* Chú ý: 
 a) Cho điểm khi đó: 
 + Khoảng cách từ đến mặt phẳng Oxy : d M, Oxy z0 
 + Khoảng cách từ đến mặt phẳng Oxz : d M, Oxy y0 
 + Khoảng cách từ đến mặt phẳng Oyz : d M, Oxy x0 
 b) Cho 2 mặt phẳng và Q song song với nhau khi đó khoảng cách giữa hai mặt 
phẳng được xác định: 
 AP BQ 
 + hay 
 d P ,, Q d A Q d P ,, Q d B P 
 2 2 2
 + Gọi mặt phẳng QAxByCzD :1 1 1 1 0 A 1 B 1 C 1 0 là mặt phẳng song song với 
mặt phẳng . Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng và là 
 DD 1
d P , Q 
 ABC2 2 2
c) Gọi N là điểm bất kì thuộc mặt phẳng thì MN d M, P 
 Ví DỤ 1 
 Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz , Cho mặt phẳng P : 2 x y 2 z 7 0 và điểm 
 M 2; 3;5 . Tính khoảng cách từ đến P ? 
 Lời giải 
Áp dụng công thức tính khoảng cách ta được : 
 2.2 3 2.5 7 10
 d M, P . 
 222 1 2 2 3
 10
Vậy khoảng cách từ đến là . 
 3
 Ví DỤ 2 
1 
 Ví DỤ 5 
 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A 1;2;1 , B 2;1;3 , 
 C 3;2;2 , D 1;1;1 . Tính độ dài chiều cao DH của tứ diện . 
 Lời giải 
Ta có AB 1; 1;2 , AC 2;0;1 AB; AC 1;3;2 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
 ABC . Suy ra phương trình mặt phẳng là 
 1 x 1 3 y 2 2 z 1 0 x 3 y 2 z 7 0 . 
Độ dài chiều cao DH của tứ diện ABCD là khoảng cách từ D đến . 
 1.1 3.1 2.1 7 3 14
Suy ra: DH d D, ABC 
 2 14
 1 322 2
 Ví DỤ 6 
 Trong không gian Oxyz, cho các điểm ABCM 3;0;0, 0; 3;0, 0;0;6, 1; 3; 4. Tính 
 chiều cao MH của tứ diện ABCM . 
 Lời giải 
 x y z
Ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là : 1 2x 2 y z 6 0 . 
 3 3 6
 2.1 2. 3 4 6
Suy ra d M, ABC 2. 
 222 2 1 2
 Ví DỤ 7 
 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tứ diện với ABC 1; 2;4 , 4; 2;0 , 3; 2;1 và 
 D 1;1;1 . Tính chiều cao của tứ diện kẻ từ D . 
 Lời giải 
Ta có: AB 3;0; 4 , AC 4;0; 3 , AB , AC 0; 25;0 . 
Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n 0;1;0 . 
Phương trình mặt phẳng là: y 20. 
 12 
Độ cao h của tứ diện kẻ từ bằng khoảng cách từ đến . Vậy h 3 
 02 1 2 0 2
 Ví DỤ 8 
 Trong không gian Oxyz , tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng P : x 2 y 2 z 6 0 và 
 Q : x 2 y 2 z 3 0 . 
 Lời giải 
 1 2 2 6
Cách 1: Ta thấy , từ đó suy ra PQ // . 
 1 2 2 3
3 
 m 2
 m 48
 2m 42 m2 5 m 2 8164 m m 2 203840 m 2 m 2
 m2 14 m 
 3
* Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) cho trước và cách điểm A 
một khoảng h. 
1. Phương pháp giải (kiến thức cần nhớ): 
B1: Mặt phẳng Q : Ax By C z D 0 suy ra mặt phẳng P : Ax By C z E 0 
B2: Từ d A, P h E 
B3: Kết luận 
2. Ví dụ minh họa 
 Ví DỤ 12 
 Trong không gian với hệ toạ độ , cho M 1;3; 2 và Q : 2 x y 2 z 3 0 .Viết phương 
 trình mặt phẳng P song song với Q và cách M một khoảng bằng 4 . 
 Lời giải 
Do ()P song song với mặt phẳng ()Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 
2x y 2 z D 0 với D 3. 
 D 5 D 17
Vì d M, P 4 4 D 5 12 
 3 D 7
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2x y 2 z 17 0 và 2x y 2 z 7 0 . 
 Ví DỤ 13 
 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 
 (Q ) : x 2 y 2 z 1 0 và cách một khoảng bằng 3. 
 Lời giải 
Trên mặt phẳng chọn điểm M(;;) 1 0 0 . 
Do song song với mặt phẳng nên phương trình của mặt phẳng có dạng: 
x 2 y 2 z D 0 với D 1. 
 | 1D | D 8
Vì d(( P ),( Q )) 3 d( M ,( P )) 3 3 | 1D | 9 
 12 2 2 ( 2) 2 D 10
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2 y 2 z 8 0 và x 2 y 2 z 10 0. 
 Ví DỤ 14 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng : 2x y 2 z 4 0. Viết phương trình 
 mặt phẳng  song song với và cách một khoảng bằng 5. 
 Lời giải 
Cách 1: Vì  // nên phương trình mặt phẳng có dạng 2x y 2 z D 0 , với D 4. 
 2.0 1.4 2.0 DDD 4 4
Lấy B 0;4;0 . Khi đó d ,,  d B  . 
 22 1 22 2 9 3
5 
 Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P qua O , vuông góc với mặt phẳng 
 Q :0 x y z và cách điểm M 1;2; 1 một khoảng bằng 2 . 
 Lời giải 
Mặt phẳng qua nên có dạng: Ax By Cz 0 ABC2 2 2 0 . 
Vì PQ  nên 1.ABC 1. 1. 0 CAB 1 . 
d M,2 P ABCABC 22 2 2 2 2 2 . 
 B 03 
Thay vào ta được: 8AB 5 B2 0 
 8AB 5 0 4 
Từ 3 :BCA 0, , chọn AC 1, 1 P :0 x z . 
Từ 4 :8AB 5 0 , chọn A 5,B 8 C 3 P :5 x 8 y 3 z 0 . 
 Ví DỤ 17 
 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm E 3; 1;1 và ab 2; 3; 5 , 1; 1;2 . 
 Viết phương trình mặt phẳng α nhận ab, làm cặp vectơ chỉ phương và mặt phẳng cách điểm 
 E một khoảng bằng 3. 
 Lời giải 
Ta có: n a, b 1;1;1 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . 
Dạng tổng quát của mặt phẳng α :0 x y z m . 
 3 1 1 m mm 3 3 3 3 3 3
Mà d Em , 3 3 3 3 3 . 
 111 mm 3 3 3 3 3 3
*Với m 3 3 3 thì α : x y z 3 3 3 0 . 
*Với m 3 3 3 thì α : x y z 3 3 3 0 . 
 Ví DỤ 18 
 Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt phẳng P : x 2 y 2 z 6 0 và mặt cầu 
 S : x2 y 2 z 2 4 x 6 y 2 z 11 0. Viết phương trình mặt phẳng Q song song với 
 và cắt mặt cầu S theo một đường tròn C có chu vi bằng 6 . 
 Lời giải 
Vì QP // nên phương trình mặt phẳng có dạng x 2 y 2 z D 0 , với D 6 . 
 Oxyz
Mặt cầu có tâm I 2; 3;1 và bán kính R 5. 
 6 
Đường tròn có chu vi bằng nên bán kính đường tròn là r 3. 
 2 
 2 2. 3 2.1 D DD 66
Ta có : d I, Q . 
 122 2 2 2 9 3
7 
 2 2 2
Gọi phương trình mặt cầu S có dạng: x y z 2 ax 2 by 2 cz d 0 . 
Vì là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có: 
 2222 0 0 2.a .2 2. b .0 2. c .0 d 0
 44ad a 1
 2 2 2 
 0 4 0 2.a .0 2. b .4 2. c .0 d 0 8bd 16 b 2
 . 
 0222 0 6 2.a .0 2. b .0 2. c .6 d 0 12cd 36 c 3
 2 2 2 4a 8 b 12 c d 56 d 0
 2 4 6 2.a .2 2. b .4 2. c .6 d 0
Suy ra tâm mặt cầu là I 1;2;3 .
Khi đó tiếp diện của tại điểm A là mặt phẳng đi qua A 2;0;0 có vectơ pháp tuyến là 
 AI 1;2;3 . Vậy tiếp diện có phương trình: 1 x 2 2 y 3 z 0 x 2 y 3 z 2 0. 
 Ví DỤ 22 
 Trong không gian Oxyz , viết phương trình của mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng 
 (Q ) : x 2 y 2 z 1 0 và cách trục Ox một khoảng cách bằng 1. 
 Lời giải 
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là a 1;2; 2 . 
Mặt khác mặt phẳng cách trục một khoảng cách bằng 1 nên suy ra trục song song với 
mặt phẳng nên vectơ pháp tuyến của là n a; i 0;2;2 , ta chọn n 0;1;1 
Suy ra mặt phẳng có dạng: y z m 0. 
Trên trục lấy điểm M 7;0;0 , ta có: 
 00 m m
d Ox, P d M , P 1 1 mm 2 2 . 
 0222 1 1 2
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa: y z 2 0, y z 2 0. 
 Ví DỤ 23 
 Trong không gian cho tứ diện có các đỉnh A 1;2;1 , B 2;1;3 ,C 2; 1;1 và
 D 0;3;1 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua 2 điểm AB, sao cho khoảng cách từ C đến 
 bằng khoảng cách từ D đến . 
 Lời giải 
Trường hợp 1: qua hai điểm , B và song song với CD, khi đó: 
 có vectơ pháp tuyến là AB, CD 8; 4; 14 và AP P : 4 x 2 y 7 z 15 0. 
Trường hợp 2: qua hai điểm , cắt tại trung điểm I của đoạn . 
Ta có I 1;1;1 AI 0; 1;0 , vectơ pháp tuyến của là AB, AI 2;0;3 nên phương trình 
 P : 2 x 3 z 5 0. 
9