Chuyên đề Khoảng cách - Hình học Lớp 11

 VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. 
 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG 
 KHÔNG GIAN 
 CHƯƠNG
 BÀI 5. KHOẢNG CÁCH 
 I LÝ THUYẾT. 
 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng 
 1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
 Cho điểm O và đường thẳng a . Trong mặt phẳng Oa, , gọi H là hình chiếu vuông góc 
 của trên . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ 
 điểm đến đường thẳng . 
 1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
 Cho điểm và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng 
 . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm và được gọi là khoảng cách từ điểm đến 
 mặt phẳng . Kí hiệu: dO , . 
 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song 
 song 
 2.1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 
 Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Khoảng cách giữa đường 
 thẳng và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng , 
 kí hiệu là da , . 
1 | Vậy cắt đồng thời vuông góc với cả a và b . Do đó là đường vuông góc chung của 
 và . 
 Chú ý: Khi a và b vuông góc với nhau. Gọi là mặt phẳng chứa a và vuông góc với 
 b , gọi N là giao điểm của b và . Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với đường 
 thẳng a , cắt đường thẳng a tại điểm M . Khi đó là đường vuông góc chung của và 
 . 
 3.3. Nhận xét 
 a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai 
 đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. 
 b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
 song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 
3 | Vậy d A, SBC AH . 
Bài toán 2: Cho hình chóp S. ABC có SA SB SC . Dựng khoảng cách từ S đến mặt phẳng 
 ABC ? 
 Lời giải 
Kẻ SH ABC tại H . Suy ra SH HA;; SH  HB SH  HC . 
Suy ra SHA SHB SHC vì SA SB SC , SHA SHB SHC 90o và SH chung. 
Suy ra HA HB HC nên H là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC . 
Bài toán 3: Cho hình chóp có các mặt phẳng SAB ,, SBC SCA cùng tạo với mặt 
phẳng ABC các góc bằng nhau. Dựng khoảng cách từ đến mặt phẳng ? 
 Lời giải 
Kẻ tại , kẻ HM AB,, HN  BC HP  CA . 
Suy ra SAB ,,,,, ABC HMS SBC ABC HNS SCA ABC HPS . 
Mặt khác các mặt phẳng cùng tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau 
nên HMS HNS HPS suy ra SHM SHN SHP HM HN HP . 
Do đó: 
Nếu H thuộc miền trong của tam giác ABC thì H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác 
 . 
5 | 
 d M, SBC SM SM
Gọi N  SM ABC d M, SBC . d N , SBC 1 . 
 d N, SBC SN SN
 d N, SBC IN IN
Gọi I  NA BC d N, SBC . d A , SBC 2 
 d A, SBC IA IA
 SM IN
Từ 1 , 2 ta có d M,., SBC d A SBC . 
 SN IA
Chú ý: Một số bài toán có thể chuyển khoảng cách một lần từ M về A ; cũng có thể chuyển 
khoảng cách nhiều lần từ về A . 
2. Các bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 
Bài toán 1: Điểm chân đường vuông góc 
 Bài 1 
 Cho hình chóp có , là tam giác đều cạnh và tam giác cân. 
 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
 Lời giải 
 S
 H
 A B
 D
 C 
 + Gọi D là trung điểm BC . Do tam giác ABC đều nên AD BC . 
 + Trong tam giác SAD , kẻ AH SD 1 . 
 SA ABC SA  BC
 + Do AD BC BC  SAD SBC  SAD 2 . 
 SA AD A
7 | 
 Gọi M là trung điểm của cạnh BC G AM và AM BC . 
 Trong mặt phẳng ()SAM kẻ GH SM H , khi đó ta có: 
 GH SM 
 GH BC do BC  SAM  GH  SBC  H. (1)
 SM, BC SBC 
  
 13a
 GM AM .
 3 33
 Ta có: AM 2 a . a 3 
 2 2 2a 3
 AG AM .
 33
 4aa2 69
 SG SA2 AG 2 9 a 2 . 
 33
 Xét tam giác SGM vuông tại G với đường cao GH : 
 1 1 1 3 3 72a 46
 2 2 2 2 2 2 GH . (2)
 GH SG GM23 a a 23 a 12 
 a 46
 Từ (1) và (2) suy ra: d G, SBC GH . 
 12
 Bài 4 
 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy 
 bằng . Tính khoảng cách từ giao điểm của 2 đường chéo đến mặt phẳng . 
 Lời giải 
9 | 
 S
 M
 C B
 H 60°
 K
 A 
 a 3
 Ta có SH HK.tan SKH 
 2
 Từ H kẻ HM SK tại M HM  SAB d H, SAB HM 
 1 1 1 16 a 3 a 3
 Ta có 2 2 2 2 HM . Vậy d H, SAB 
 HM HK SH3 a 4 4
 Bài 6 
 Cho hình chóp có tam giác đều, . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt 
 phẳng là trung điểm của , mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng . 
 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo . 
 Lời giải 
 Gọi N, là trung điểm của AB CN AB 
 Gọi K là trung điểm của BN HK// CN HK AB 1 
 Vì SH ABC nên SH AB 2 
 Từ (1) và (2) AB SK 
 Do đó góc giữa SAB với đáy bằng góc giữa SK và HK SKH 600 
 1 1 4 3a
 Ta có: HK CN .3 a 
 2 2 2
 Ta có: SH HK.tan SKH 3 a 
11 | Bài 8 
 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và biết , 
 . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Gọi là trung điểm của , 
 biết hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Tính khoảng cách 
 từ điểm đến mặt phẳng theo . 
 Lời giải 
 Ta có: 
 SBI  ABCD 
 SCI  ABCD  SI  ABCD . 
 SBI  SCI SI 
 Dựng IH BC H BC (1). 
 Ta có SI ABCD SI  BC (2). 
 Từ (1) và (2) suy ra BC SH SBC , ABCD SHI 60O . 
 Dựng IK SH d I, SBC IK . 
 Tính IH 
13 | 1 1 1 1 1 2 1 3
 2 2 2 2 2 2 2 2
 DH OD DD a 2 a a a a
 2
 a 3
 DH d D, ACD . 
 3
 Bài 10 
 Cho hình hộp chữ nhật có , , . Tính khoảng cách 
 từ điểm đến mặt phẳng . 
 Lời giải 
 Gọi I  BC B C . 
 CI 
 Ta có dC ,.,, ABC dBABC dBABC . 
 BI
 Kẻ BH AC tại H , BK B H tại K. 
 AC BH
 Ta có AC BB H mà BK BB H AC  BK 
 AC BB 
 BK B H
 Ta có BK AB C tại K , do đó d B, AB C BK . 
 BK AC
 BB H vuông tại B có BK là đường cao nên: 
 1 1 1
 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) 
 BK2 BB 2 BH 2
 1 1 1 1
 ( ABC vuông tại B có BH là đường cao) 
 BK2 BB 2 BA 2 BC 2
 1 1 1 1 7 2a 7
 2 22 2 2 BK d C, AB C . 
 BK 2a a a 2 47 a
15 |