Chuyên đề Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Hình học 11

DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU-CÓ GIẢI CHI 
TIẾT 
Phương pháp: 
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách 
sau: 
 Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b . Khi đó 
d a, b MN . Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng : 
Phương pháp 1 
Chọn mặt phẳng () chứa đường thẳng và song song với ' . Khi đó 
dd( , ') ( ',( )) 
Phương pháp 2 
Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt 
phẳng đó là khoảng cách cần tìm. 
Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. 
Trường hợp 1: và vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau 
Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa và vuông góc với tại I . 
Bước 2: Trong mặt phẳng kẻ IJ  '. 
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d( , ') IJ . 
Trường hợp 2: và chéo nhau mà không vuông góc với nhau 
Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa và song song với . 
Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của xuống bằng cách lấy điểm M dựng 
đoạn MN  , lúc đó là đường thẳng đi qua N và song song với . 
Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy 
 ABCD . Gọi KH, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng 
định đúng trong các khẳng định sau? 
 A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK. B. Đoạn vuông góc 
 chung của AC và SD là CD. 
 C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH. D. Các khẳng định 
 trên đều sai. 
Hướng dẫn giải: 
Nếu AK AC, do AK  AB AK  ( ABC ) S
 AK SA (vì SA () ABC SA  SD SAD có 2 góc vuông K (vô 
lý). H
Theo tính chất của hình vuông CD AC . 
 A D
Nếu AC OH, do AC  BD AC  ( SBD ) AC  SO SOA có 2 
góc vuông (vô lý) O
 B
Như vậy AC AK, AC  CD , AC  OH C
Chọn đáp án D. 
Câu 2: Cho tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa AB và CD . 
 a 3 a 2 a 2 a 3
 A. B. . C. . D. . 
 2 3 2 3
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của và . 
 a 3
Khi đó NA NB nên tam giác ANB cân, suy ra 
 2
NM AB . Chứng minh tương tự ta có NM DC , nên 
d AB; CD MN . 
Ta có: SABN ppABpBNpAN (p là nửa chu 
vi). 
 a a3 a a 3 a a 2 a
 ... . 
 2 2 2 2 4
 11 2a
Mặt khác: S AB.. MN a MN MN . 
 ABN 22 2
 32a22 a a
Cách khác. Tính MN AN22 AM . 
 4 4 2
Câu 3: Cho hình chóp có SA ABCD , đáy là hình chữ nhật với AC a 5 và 
BC a 2 . Tính khoảng cách giữa SD và BC . 
 3a 2a
 A. . B. . C. . D. a 3 . 
 4 3
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
Ta có: // SAD 
 d BC;;; SD d BC SAD d B SAD . 
 . 
Mặt khác: . 
Câu 7: Cho khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng 
chéo nhau AD và AC'' là : 
 A. AA'. B. BB'. C. DA'. D. DD '. 
Hướng dẫn giải: 
 AA''''' A B C D 
 AA''' A C
 ACABCD'''''' 
 AA'  ABCD 
 AA ' AD
 AD ( ABCD
Chọn đáp án A. 
Câu 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với 
mặt phẳng đáy, SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào 
trong các giá trị sau? 
 A. B. a 2. C. a 3. D. 2.a 
Hướng dẫn giải: 
Ta có: d CD,,. SB d CD SAB AD a 
Chọn phương án A. 
 a a3 a a 3 a a 2 a
 ...
 2 2 2 2 4
 11 2a
 S AB.. MN a MN MN
Câu 9: ChoABN tứ22 diện OABC trong đó 2OA, OB , OC đôi một vuông góc với nhau, 
OA OB OC a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu? 
 a a 3 a
 A. a B. C. D. 
 5 2 2
Hướng dẫn giải: 
Gọi J là trung điểmOB . Kẻ OH vuông góc AJ tại H . 
Tam giác AOJ vuông tạiO , có là đường cao A
 a
 a.
 OAOJ. a
OH 2 
 2 2 2 5
 OA OJ 2 a
 a 
 2
Ta có: OC// IJ nên OC// AIJ 
Do đó: C
 B 
 B C
Hướng dẫn giải: 
 M
Ta có suy ra A
 ABCD1 1// 1 1 D
dABCM 1 1,,, 1 dAB 1 1 CDM 1 1 dA 1 CDM 1 1 
 B1
 C1
Vì AA1 2 a , AD 4 a và M là trung điểm AD nên 
AMDM11 , suy ra AMCDM1 1 1 
 A1 D1
 d A1, C 1 D 1 M A 1 M 2 a 2 . 
Chọn đáp án B. 
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A B C D cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường 
thẳng AD và AB bằng bao nhiêu ? 
 a 2 a 3 a 3
 A. a 2 . B. . C. . D. . 
 2 3 2
Hướng dẫn giải: 
 ABAA'''
 Ta có A'''' B ADD A . 
 ABAD''''
 Gọi H là giao điểm của AD ' với AD' . 
 A'' H AD a 2 a 3
 A'' H AD a 2 2 3
 d A' B '; AD ' A ' H . 
 AHAB''' 2
 Chọn B. 
Câu 14: Cho hình lập phương có cạnh bằng Khoảng cách giữa BB và AC 
bằng 
 a a
 A. . B. . C. . D. . 
 2 3
 Hướng dẫn giải: 
 B C
 AA C C  AC
 Vì nên d BB ;; AC d BB AA C C . 
 AA C C// BB 
 I 
Gọi I  AC BD. Vì ABCD. A B C D là hình A D
lập phương nên BI  ACA C . 
 B C 
 a 2
Suy ra d BB ;; AC d BB AA C C IB . 
 2
Chọn đáp án C. A D 
Câu 15: Hình hộp chữ nhật có AB 3, AD 4, AA 5. Khoảng cách giữa hai 
đường thẳng AC và BD bằng bao nhiêu ? 
 A. 34 . B. 41 . C. 5 . D. 8 . 
Hướng dẫn giải: 
 ABCD // A B C D 
Ta có 
 AC ABCD ; B D A B C D 
 d AC; B D d ABCD ; A B C D AA 5 
Chọn đáp án C. 
Câu 19: Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2 a , SA 
vuông góc với mặt đáy và SA a. Tính khoảng cách giữa SA và BD theo a. 
 a 3 2a 2a
 A. . B. a 2 . C. . D. . 
 2 3 5
Hướng dẫn giải: 
Vì SA ABCD tại A và BD ABCD nên 
 AB. AD 2 a2 2 a 5
d SA;; BD d A BD . 
 AB2 AD 25 a 2 5
Chọn đáp án D. 
Câu 20: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và B, AB BC a , AD 2 a , 
 vuông góc với mặt đáy và Tính khoảng cách giữa AD và SB. 
 a 2 a a 3 a 2
A. . B. . C. . D. . 
 4 2 3 2
Hướng dẫn giải: 
Vì AD SAB tại và SB SAB nên 
 AS.2 AB a
d AD;; SB d A SB . 
 AS22 AB 2
Chọn đáp án D. 
Câu 21: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Biết hai mặt bên ()SAB 
và ()SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Khoảng cách giữa và SB là 
 a 6 a 3
 A. a . B. . C. . D. . 
 3 4
Hướng dẫn giải: