Chuyên đề Khoảng cách- Dạng 5: Lăng trụ xiên - Hình học 12

 KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 ① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
 M
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là 
 a
 MH , với H là hình chiếu của M trên đường 
 thẳng a . 
 Kí hiệu: d M, a MH . 
 M
 ② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
 M
 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là H
 MH , với H là hình chiếu của M trên mặt phẳng 
 . 
 Kí hiệu: d M, MH . 
 M b
 ③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là 
 khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường 
 này đến đường kia. 
 d a,, b d M b MH M a 
 ④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 
 a M
 Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng 
 song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất 
 kì thuộc đường a đến mặt phẳng : H
 d a,, d M MH M a 
 ⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là A B
 a
 khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này 
 đến mặt phẳng kia. 
 d, d a , d A, AH a , A a H K
 ⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
 - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ab, và cùng vuông góc với mỗi đường 
 thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của ab, . IJ gọi là đoạn vuông góc 
 chung của ab, . d O, OI
 Nếu OA cắt tại I thì: 
 dA, AI
 b
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 a
 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ab, B
  Trường hợp a  b: A
 - Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B. 
 - Trong dựng BA  a tại A. 
 AB là đoạn vuông góc chung. 
  Trường hợp a và b không vuông góc với nhau. 
 Cách 1: (Hình a) 
 - Dựng mp chứa a và song song với b. 
 B M
 - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  ( ) tại M b
 - Từ M dựng b // b cắt a tại A. 
 a
 - Từ A dựng AB// MM cắt b tại B. b'
 A M'
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 Cách 2: (Hình b) (Hình a)
 - Dựng mặt phẳng a tại O, cắt b tại I 
 - Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên 
 - Trong mp , vẽ OH  b tại H. 
 - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B 
 - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. 
 O
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 I H
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ab, 
 (Hình b)
 Cách 1. Dùng đường vuông góc chung: 
 - Tìm đoạn vuông góc chung AB của ab, . 
 - d a, b AB 
 Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:d a,, b d b 
 Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: 
 d a,, b d 
3. Phương pháp tọa độ trong không gian 
a) Phương trình mặt phẳng MNP đi qua 3 điểm M xMMMNNNPPP;y; z ,N x ;y; z ,P x ;y; z : 
+ Mặt phẳng MNP đi qua điểm M xMMM;y ; z có vtpt n MN MP A;B;C có dạng: 
 A x xMMM B y y C z z0 Ax By C z D 0 
+ Khoảng cách từ một điểm I xIII;y ; z đến mặt phẳng MNP : Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB 2 a . Hình chiếu 
 A ABC H AB
 vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Biết 
 0
 góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau 
 BC AA a
 và theo là: 
 2 15 15 2 21 39
 A. a . B. a . C. a . D. a . 
 5 5 7 13
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB 2 a . Hình chiếu 
 vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết 
 góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng AC và 
 BB . Khi đó cos : 
 1 1 2 2
 A. cos . B.cos . C.cos . D.cos . 
 4 3 5 3
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB 2 a . Hình chiếu 
 vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết 
 góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính góc giữa hai đường thẳng AC và 
 ABC là: 
 1
 A. . B. . C. . D. arcsin . 
 4 6 3 4
Câu 6. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB 2 a . Hình chiếu 
 vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết 
 góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính góc giữa hai mặt phẳng BCC B và 
 ABC là: 
 1
 A. arctan . B.arctan 2 . C.arctan 4 . D.arctan 2 . 
 4
Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông tại A , 
 AB a,2 AC a Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung 
 điểm H của cạnh BC . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300 . Tính khoảng 
 cách từ điểm C đến ABB A là: 
 35 5 2 85 2 13
 A. a . B. a . B. a . D. a . 
 2 5 17 3
Câu 8. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , 
 AC a 3 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung 
 điểm H của cạnh BC . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300 . Tính khoảng 
 cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AA và BC là: 
 6 2 27 5 29
 A. a . B. a . C. a . D. a . 
 4 2 7 7 Câu 16. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a,2 AD a , cạnh bên 
 SA SC 600
 vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên tạo với đáy một góc . Gọi 
 SA SB. S
 MN, là trung điểm các cạnh bên và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt 
 DMN
 phẳng . 
 a 31 a 31 a 60 25a
 A. . B. . C. . D. . 
 25 60 31 31
Câu 17. Cho hình chóp đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Góc giữa 
 SB và mặt phẳng SAC bằng 600 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính khoảng cách 
 giữa AM và CD . 
 a a 2 a
 A. . B. . C. . D.a2. 
 2 2 4
Câu 18. Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D có cạnh bằng a . Gọi MN, lần lượt là trung 
 điểm AB và CD . Tính khoảng cách giữa AC' và MN 
 a 2 a 2 a
 A. . B. . C. . D. a 2 . 
 4 2 2
Câu 19. Cho hình chóp có đáy là hình thang cân AD// BC , AD 2 a , 
 BC CD a . Biết SA ABCD ,3 SA a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và 
 AD . 
 3 3
 A. 3 . B. 1 . C. . D. . 
 2 2 4
Câu 20. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB CA a , cạnh bên 
 SA ABC , SA a. Tính góc giữa SA và SBC . 
 2
 A. arctan 2 2 . B.arctan 2 . C. arctan . D.arctan 2 . 
 2
 HƯỚNG DẪN GIẢI 
 LĂNG TRỤ XIÊN 
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB 2 a . Hình chiếu 
 vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết 
 góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt 
 phẳng ACC A theo a là: 
 39 15 2 21 2 15
 A. a . B. a . C. a . D. a . 
 13 5 7 5
 Hướng dẫn giải 
 [Cách 1]: Phương pháp dựng hình