Chuyên đề Khoảng cách- Dạng 4: Lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương - Hình học 12

 KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 ① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là 
 a
 MH , với H là hình chiếu của trên đường 
 thẳng . 
 Kí hiệu: d M, a MH . 
 M
 ② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là H
 , với là hình chiếu của trên mặt phẳng 
 . 
 Kí hiệu: d M, MH . 
 b
 ③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là 
 khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường 
 này đến đường kia. 
 d a,, b d M b MH M a 
 ④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 
 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 song song với nhau là khoảng cách từ một điểm bất 
 kì thuộc đường đến mặt phẳng : 
 d a,, d M MH M a 
 ⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là A B
 khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này 
 đến mặt phẳng kia. 
 d, d a , d A, AH a , A a K
 ⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
 - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ab, và cùng vuông góc với mỗi đường 
 thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của . IJ gọi là đoạn vuông góc 
 chung của . 
 d O, OI
 Nếu OA cắt tại I thì: 
 dA, AI
 b
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 a
 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ab, B
  Trường hợp a  b: A
 - Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B. 
 - Trong dựng BA  a tại A. 
 AB là đoạn vuông góc chung. 
  Trường hợp a và b không vuông góc với nhau. 
 Cách 1: (Hình a) 
 - Dựng mp chứa a và song song với b. 
 M
 - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  ( ) tại M 
 - Từ M dựng b // b cắt a tại A. 
 - Từ A dựng AB// MM cắt b tại B. b'
 M'
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 Cách 2: (Hình b) (Hình a)
 - Dựng mặt phẳng a tại O, cắt b tại I 
 - Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên 
 - Trong mp , vẽ OH  b tại H. 
 - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B 
 - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. 
 O
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 I H
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 (Hình b)
 Cách 1. Dùng đường vuông góc chung: 
 - Tìm đoạn vuông góc chung AB của . 
 - d a, b AB 
 Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:d a,, b d b 
 Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: 
 d a,, b d 
3. Phương pháp tọa độ trong không gian 
a) Phương trình mặt phẳng MNP đi qua 3 điểm M xMMMNNNPPP;y; z ,N x ;y; z ,P x ;y; z : 
+ Mặt phẳng đi qua điểm M xMMM;y ; z có vtpt n MN MP A;B;C có dạng: 
 A x xMMM B y y C z z0 Ax By C z D 0 
+ Khoảng cách từ một điểm I xIII;y ; z đến mặt phẳng : 
 2 3 3 3
 A. . B. . C. . D. . 
 4 2 6 4
Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C có AB 5 aAC , 6 aBC , 7 aAA ; 3 a . Tính góc tạo 
 bởi đường thẳng BC và ()ACC A 
 51 2 51 2 51
 A. arctan . B.arctan . C.arcsin . D. . 
 17 17 17
Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng với đáy ABC là tam giác vuông tại C có 
 AB 8 cm BAC 600 ,diện tích tam giác A CC là 10cm2 . Tính tan của góc tạo bởi hai 
 mặt phẳng ()C AB và ()ABC . 
 53 53
 A. . B. . C. . D. . 
 6 2
Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D có AB 3 a , AD 5 a , góc tạo bởi DB và mặt 
 đáy là 450 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 chéo nhau BD và BM 
 a 661 20a a 661 30a
 A. . B. . C. . D. . 
 20 661 30 661
Câu 7. Cho hình lập phương có diện tích tam giác B AB bằng 2a2 .hãy tính 
 khoảng cách giữa điểm B và mặt phẳng()C BD 
 23a a 3 a 2
 A. 23a . B. . C. . D. . 
 3 3 3
Câu 8. Cho hình hộp chữ nhật có AB a,2 AD a , góc tạo bởi đường thẳng 
 AC và mặt đáy là 600 .Gọi I là trung điểm của CD .Tính góc giữa hai đường thẳng 
 BD và AI 
 3 3 3 23
 A.arccos . B. arccos . C. arccos . D. arccos . 
 6 3 4 3
Câu 9. Cho hình lập phương có thể tích là 27cm3 . Tính tan góc tạo bởi 
 đường thẳng và mặt phẳng ()BB D D . 
 1
 A. 2 . B. . C. . D. 22 . 
 2
Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật có AB a; AD 2 a ; A A 4 a . Tính góc tạo bởi 
 hai mặt phẳng và mặt đáy. 
 21 21 21 21
A. arccos . B. arccos . C.arccos . D.arccos . 
 22 42 21 12
 HƯỚNG DẪN GIẢI 
 CHỦ ĐỀ LĂNG TRỤ ĐỨNG - 
 HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƯƠNG 
 Ta có2 C C// A A C C // ( A ABB3 ) . Suy ra dCCAB ,,()3 dC AABB 3
 Kẻ CH4  AB . Ta chứng minh2 đượcCH () ABB6 A 4
 Khi đó d C,() ABB C CH . Ta có BC ()() A BC ABC 
 AM ()() A AM ABC
 Kẻ AM BC . Ta chứng minh được BC () A AM . Ta có 
 A M ()() A AM A BC
 Suy ra (A AM ),( ABC ) AM , A M 450 
 Khi đó A AM vuông cân tại A A A AM 3 a 
 Mà ABC đều nên CH AM3 a 
 Vậy d A B,3 C C a 
 z
 A C 
 B 
 y
 x
 C
 H
 B 
 [Cách 2]: Phương pháp tọa độ 
 Ta tính được AB 23 a 
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có 
 M(0;0;0); A (0;3 a ;3 a ); B ( a 3;0;0); C( a 3;0;0); C ( a 3;0;3 a ) 
 Ta có: A B ( a 3; 3 a ; 3 a ); CC (0;0;3 a ); BC (2 a 3;0;0) 
 A B CC. BC 18 a3 3
 22 
 Lại có: BA  BC ( 9 a ;3 a 3;0). Ta tính được: 
 A B CC63 a2
 A B CC . BC
 Khi đó ta có: d A B,3 CC a . 
 A B CC
Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A B C có cạnh bên 2a , góc tạo bởi AB và mặt 
 đáy là 600 . Gọi M là trung điểm BC .Tính cosin góc tạo bởi 2 đường thẳng AC và 
 AM . 
 A. . B. . C. . D. . 
 Hướng dẫn giải 
 [Cách 1]: Phương pháp tích vô hướng 
 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều