Chuyên đề Khoảng cách- Dạng 3: Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy - Hình học 12

 KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 ① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là 
 a
 MH , với H là hình chiếu của trên đường 
 thẳng . 
 Kí hiệu: d M, a MH . 
 M
 ② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là H
 , với là hình chiếu của trên mặt phẳng 
 . 
 Kí hiệu: d M, MH . 
 b
 ③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là 
 khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường 
 này đến đường kia. 
 d a,, b d M b MH M a 
 ④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 
 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 song song với nhau là khoảng cách từ một điểm bất 
 kì thuộc đường đến mặt phẳng : 
 d a,, d M MH M a 
 ⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là A B
 khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này 
 đến mặt phẳng kia. 
 d, d a , d A, AH a , A a K
 ⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
 - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ab, và cùng vuông góc với mỗi đường 
 thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của . IJ gọi là đoạn vuông góc 
 chung của . 
 d O, OI
 Nếu OA cắt tại I thì: 
 dA, AI
 b
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 a
 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ab, B
  Trường hợp a  b: A
 - Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B. 
 - Trong dựng BA  a tại A. 
 AB là đoạn vuông góc chung. 
  Trường hợp a và b không vuông góc với nhau. 
 Cách 1: (Hình a) 
 - Dựng mp chứa a và song song với b. 
 M
 - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  ( ) tại M 
 - Từ M dựng b // b cắt a tại A. 
 - Từ A dựng AB// MM cắt b tại B. b'
 M'
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 Cách 2: (Hình b) (Hình a)
 - Dựng mặt phẳng a tại O, cắt b tại I 
 - Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên 
 - Trong mp , vẽ OH  b tại H. 
 - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B 
 - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. 
 O
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 I H
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 (Hình b)
 Cách 1. Dùng đường vuông góc chung: 
 - Tìm đoạn vuông góc chung AB của . 
 - d a, b AB 
 Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:d a,, b d b 
 Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: 
 d a,, b d 
3. Phương pháp tọa độ trong không gian 
a) Phương trình mặt phẳng MNP đi qua 3 điểm M xMMMNNNPPP;y; z ,N x ;y; z ,P x ;y; z : 
+ Mặt phẳng đi qua điểm M xMMM;y ; z có vtpt n MN MP A;B;C có dạng: 
 A x xMMM B y y C z z0 Ax By C z D 0 
+ Khoảng cách từ một điểm I xIII;y ; z đến mặt phẳng : 
Câu 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a; SB a 3 và 
 SAB
 mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi MN, lần lượt là trung điểm 
 của các cạnh AB, BC . Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN . 
 5 5 a 5 a 5
 A. . B. . C. . D. . 
 5 4 5 4
Câu 4. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam 
 giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi H là 
 trung điểm của AB . Tính côsin của góc giữa SC và SHD . 
 15 3 a 3 2
 A. . B. . C. . D. . 
 5 5 5 5
Câu 5. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a 3 . Tam giác SBC 
 vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy , đường 
 thẳng SD tạo với mặt phẳng SBC một góc 600 . Tính góc giữa SBD và . 
 A. . B. . C. . D. . 
 2 3 6 4
 3a
Câu 6. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , SD , hình chiếu 
 2
 vuông góc của trên là trung điểm cạnh . Tính theo khoảng cách h 
 từ A đến mặt phẳng . 
 2a a a 3 a 6
 A. h . B. h . C. h . D. h . 
 3 3 3 3
Câu 7. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của 
 trên mặt phẳng ABC là điểm thuộc cạnh sao cho HA 2 HB . Góc giữa 
 đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính khoảng cách giữa hai 
 đường thẳng SA và BC theo . 
 42a 42a 42a
 A. h . B. h . C. . D. h . 
 8 12 12
Câu 8. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, O là giao điểm hai đường 
 chéo AC và BD , có AB a;3 AD a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên 
 là trung điểm của OD , SH 2 a . Tính côsin của góc AB, SD . 
 2 17 17 1
 A. . B. . C. . D. . 
 17 34 34 34
 a 3
Câu 9. Cho tứ diện có đáy ABC là tam giác vuông tại , SA SB SC , BC a . 
 2
 Tính cosin của góc giữa và . 
 (Có thể dùng công thức Hê-rông kết hợp MTCT để tính diện tích tam giác SCD ). 
 S z
 S
 a a
 I
 A D A D
 y
 H E
 E
 H B
 a C
 B a C x
 [Cách 3]: Phương pháp tọa độ. 
 Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại H , trục hoành là HA , trục tung là HE , trục cao là 
 HS như hình. 
 a a 3 a a
 H 0;0;0
 , A ;0;0 , S 0;0; , Ca ; ;0 ; Da ; ;0 
 2 2 2 2
 a3 3
 a2 3 SC,. SD AC 2
 2 a 21
 SC, SD 0; ; a . Vậy d A,. SCD 
 2 SC, SD 3a4 7
 a4
 4
Câu 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam 
 giác đều cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo khoảng 
 cách h giữa hai đường thẳng SA, BC . 
 a 3 a a 3 3a
 A. h . B. h . C. h . D. h . 
 2 2 4 4
 Hướng dẫn giải: 
 [Cách 1]: Phương pháp dựng hình 
 Trước tiên, ta cần kiểm tra xem SA và BC có vuông góc với nhau không. 
 Gọi là trung điểm , SH là đường cao của hình chóp . 
 Ta nhận thấy SA SHA có SH BC , và do là tam giác vuông cân tại nên: 
 AH BC . Suy ra: BC SHA nên BC SA . 
 BC cắt SHA tại , kẻ HI SA I SA . 
 Suy ra HI là đoạn vuông góc chung của SA và BC nên d SA, BC HI . 
 SH HA3 a 3a
 Ta có: HI  Vậy d SA, BC . 
 SH22 HA 4 4