Chuyên đề Khoảng cách- Dạng 2: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy - Hình học 12

 KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 ① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là 
 a
 MH , với H là hình chiếu của trên đường 
 thẳng . 
 Kí hiệu: d M, a MH . 
 M
 ② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là H
 , với là hình chiếu của trên mặt phẳng 
 . 
 Kí hiệu: d M, MH . 
 b
 ③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là 
 khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường 
 này đến đường kia. 
 d a,, b d M b MH M a 
 ④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 
 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 song song với nhau là khoảng cách từ một điểm bất 
 kì thuộc đường đến mặt phẳng : 
 d a,, d M MH M a 
 ⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là A B
 khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này 
 đến mặt phẳng kia. 
 d, d a , d A, AH a , A a K
 ⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
 - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ab, và cùng vuông góc với mỗi đường 
 thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của . IJ gọi là đoạn vuông góc 
 chung của . 
 d O, OI
 Nếu OA cắt tại I thì: 
 dA, AI
 b
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 a
 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ab, B
  Trường hợp a  b: A
 - Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B. 
 - Trong dựng BA  a tại A. 
 AB là đoạn vuông góc chung. 
  Trường hợp a và b không vuông góc với nhau. 
 Cách 1: (Hình a) 
 - Dựng mp chứa a và song song với b. 
 M
 - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  ( ) tại M 
 - Từ M dựng b // b cắt a tại A. 
 - Từ A dựng AB// MM cắt b tại B. b'
 M'
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 Cách 2: (Hình b) (Hình a)
 - Dựng mặt phẳng a tại O, cắt b tại I 
 - Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên 
 - Trong mp , vẽ OH  b tại H. 
 - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B 
 - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. 
 O
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 I H
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 (Hình b)
 Cách 1. Dùng đường vuông góc chung: 
 - Tìm đoạn vuông góc chung AB của . 
 - d a, b AB 
 Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:d a,, b d b 
 Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: 
 d a,, b d 
3. Phương pháp tọa độ trong không gian 
a) Phương trình mặt phẳng MNP đi qua 3 điểm M xMMMNNNPPP;y; z ,N x ;y; z ,P x ;y; z : 
+ Mặt phẳng đi qua điểm M xMMM;y ; z có vtpt n MN MP A;B;C có dạng: 
 A x xMMM B y y C z z0 Ax By C z D 0 
+ Khoảng cách từ một điểm I xIII;y ; z đến mặt phẳng : 
 A. 600 . B. 900 . C. 300 . D. 450 . 
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với 
 mặt đáy và SA 2 a . Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc giữa đường 
 thẳng BM và mặt phẳng ABC . 
 21 5 7 5
 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 
 7 10 14 7
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc 
 với đáy và SA a. Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC . 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD 1200 . Các 
 mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, 
 a3 3
 thể tích khối chóp S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng 
 3
 theo a. 
 a 228 a 228 25a 25a
 A. h . B. h . C. h . D. h . 
 38 19 5 19
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc . Các 
 mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp 
 23a3
 S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a. 
 3
 a 3 a 6 a 6
 A. . B. h . C. h . D. h . 
 2 2 3
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a . Hai mặt 
 phẳng và SAC cùng vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt 
 a 2
 phẳng là . Tính góc tạo bởi hai đường thẳng SB và AC. 
 2
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng và 
 a3
 cùng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là . Tính góc giữa 
 3
 đường thẳng SB và mặt phẳng SCD . 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng và 
 cùng vuông góc với mặt đáy và SA a 3 . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng 
 và . 
 Từ đó suy ra M 0;;0, a C a ;;0 a SM 0;; a a 
 SC a; a ; a , SD 0;2 a ; a 
 2 2 2 2
 SC, SD a ; a ;2 a , SC , SD 6 a 
 Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng SCD là 
 3
 SC,. SD SM aa6
 d M, SCD . 
 a2 6 6
 SC, SD
Câu 2. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB a,3 OC a . Cạnh 
 OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA a 3 , gọi M là trung điểm của BC. Tính 
 khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM. 
 a 5 a 3 a 15 a 3
 A. h . B. h . C. h . D. h . 
 5 2 5 15
 Hướng dẫn giải 
 Cách 1 : phương pháp dựng hình 
 Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Khi đó OM// BN ( tính chất đường trung bình ) 
 do đó OM// ABN . Suy ra d OM,,, AB d OM ABN d O ABN . 
 Dựng OK BN , OA OBC BN  OA BN  AK 
 Dựng OH AK khi đó OH ABN . Từ đó d OM, AB OH 
 Tam giác ONB vuông tại O, đường cao OK nên 
 1 1 1 1 1 4
 A
 OK2 ON 2 OB 233 a 2 a 2 a 2
 Tam giác AOK vuông tại O, đường cao OH nên 
 1 1 1 4 1 5a 15 H
 OH O C
 OH2 OK 2 OA 23 a 2 3 a 2 3 a 2 5 N
 a 15
 Vậy d OM, AB . K
 5 M
 Cách 2 : Phương pháp tọa độ B
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 
 aa3
 Khi đó O 0;0;0, A 0;0; a 3, B a ;0;0, C 0; a 3;0 , M ; ;0 . 
 22 z
 aa3
 Suy ra OM ; ;0, AB a ;0; a 3, OB a ;0;0 
 22
 3a2 a 2 3 a 2 3 a 2 15 y
 AB,;;,, OM AB OM 
 2 2 2 2
 AB,. OM OB a 15
 Vậy d AB, OM . x
 5
 AB, OM