Chuyên đề Khoảng cách- Dạng 1: Khối chóp đều - Hình học 12

 KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 ① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là 
 a
 MH , với H là hình chiếu của trên đường 
 thẳng . 
 Kí hiệu: d M, a MH . 
 M
 ② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là H
 , với là hình chiếu của trên mặt phẳng 
 . 
 Kí hiệu: d M, MH . 
 b
 ③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là 
 khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường 
 này đến đường kia. 
 d a,, b d M b MH M a 
 ④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 
 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 song song với nhau là khoảng cách từ một điểm bất 
 kì thuộc đường đến mặt phẳng : 
 d a,, d M MH M a 
 ⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là A B
 khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này 
 đến mặt phẳng kia. 
 d, d a , d A, AH a , A a K
 ⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
 - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ab, và cùng vuông góc với mỗi đường 
 thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của . IJ gọi là đoạn vuông góc 
 chung của . 
 d O, OI
 Nếu OA cắt tại I thì: 
 dA, AI
 b
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 a
 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ab, B
  Trường hợp a  b: A
 - Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B. 
 - Trong dựng BA  a tại A. 
 AB là đoạn vuông góc chung. 
  Trường hợp a và b không vuông góc với nhau. 
 Cách 1: (Hình a) 
 - Dựng mp chứa a và song song với b. 
 M
 - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  ( ) tại M 
 - Từ M dựng b // b cắt a tại A. 
 - Từ A dựng AB// MM cắt b tại B. b'
 M'
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 Cách 2: (Hình b) (Hình a)
 - Dựng mặt phẳng a tại O, cắt b tại I 
 - Dựng hình chiếu vuông góc b của b lên 
 - Trong mp , vẽ OH  b tại H. 
 - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B 
 - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. 
 O
 AB là đoạn vuông góc chung. 
 I H
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 (Hình b)
 Cách 1. Dùng đường vuông góc chung: 
 - Tìm đoạn vuông góc chung AB của . 
 - d a, b AB 
 Cách 2. Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:d a,, b d b 
 Cách 3. Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: 
 d a,, b d 
3. Phương pháp tọa độ trong không gian 
a) Phương trình mặt phẳng MNP đi qua 3 điểm M xMMMNNNPPP;y; z ,N x ;y; z ,P x ;y; z : 
+ Mặt phẳng đi qua điểm M xMMM;y ; z có vtpt n MN MP A;B;C có dạng: 
 A x xMMM B y y C z z0 Ax By C z D 0 
+ Khoảng cách từ một điểm I xIII;y ; z đến mặt phẳng : 
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác 
 SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: 
 330 33 3 33
 A. arccos . B. arccos C. arccos . D. arccos 
 110 11 11 22
Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, . M là trung điểm 
 của cạnh BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng: 
 2 11 110 2 110 2 110
 A. arctan . B. arctan . C. arctan . D. arctan . 
 110 11 33 11
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, AB a,2 AC a và diện 
 a2 33
 tích tam giác SBC bằng . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: 
 6
 a 330 a 330 a 110 2a 330
 A. . B. . C. . D. . 
 33 11 33 33
Câu 7. Cho hình chóp tam giác S. ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông 
 cân tại B, BA BC a , góc giữa mp() SBC với mp() ABC bằng 600 . Gọi I là tâm đường 
 tròn ngoại tiếp tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC . 
 a 3 a 3 a 2 a 6
 A. . B. . C. . D. . 
 4 2 3 2
Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO 
 bằng và AC a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc 
 giữa hai đường thẳng CM và OA. 
 93 31 93 31
 A. arctan . B. arctan . B. arctan . D. arctan . 
 6 3 3 2
Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng , góc ABO 
 bằng và . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc 
 giữa hai mặt phẳng (OCM) và (ABC). 
 1 34 14 3
 A. arcsin B. arcsin C. arcsin D. arcsin 
 35 35 35 7
Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và 
 mp(OBC) bằng , OB a , OC a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa 
 đường thẳng OA với mặt phẳng (ACM bằng: 
 3 1 3 1
 A. arcsin . B. arcsin . C. arcsin . D. arcsin . 
 47 7 27 27
Câu 11. Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và 
 mp() OBC bằng 600 , OB a , OC a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc 
 giữa hai mặt phẳng AMC và ABC bằng: 
 a aa3
 C 0; ;0 ;S ;0; , suy ra 
 2 62
 a 3 a
 IA ;0;0 , IC 0; ;0 
 2 2
 aa3 IC,. IS IA 3a
 IS ;0; , suy ra d( A ,( SBC )) . 
 62 IC, IS 4
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác 
 ABC. Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa 
 hai đường thẳng GC và SA bằng: 
 a 5 a a 5 a 2
 A. B. . C. . D. . 
 5 5 10 5
 Hướng dẫn giải 
 [Cách 1] Phương pháp dựng hình 
 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. Gọi H là hình chiếu của G lên 
 đường thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS. 
 a 3
 Khi đó, d( GC , SA ) d ( GC ,( SAH )) GK . Ta có: AG ; 
 3
 a
 SAABC,( ) SAG 6000 SGAG .tan60 a , GH AM , suy ra 
 2
 GS.5 GH a
 d(,). GC SA GK 
 GS22 GH 5
 S z
 K
 y
 H x
 A C
 G
 M N
 B
 [Cách 2] Phương pháp tọa độ. 
 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với GO, Ox GA, Oy // NC , Oz GS (Hình vẽ). 
 a 3 aa3 aa3
 Khi đó, A ;0;0 , C ; ;0 ;Sa0;0; , suy ra GS0;0; a ,GC ; ;0 , 
 3 62 62