Chuyên đề Khái niệm về thể tích khối đa diện - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
 HÌNH HỌC 12. 
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
A. LÝ THUYẾT 
1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. 
2) Tính chất: Trong hình chóp đều ta có: 
 Chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. 
 Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. 
 Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau. 
 Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau. 
3) Tứ diện đều: Hình hình chóp có bốn mặt là tam giác đều. 
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Phương pháp giải 
+) Đường cao là đường kẻ từ đỉnh qua tâm của đáy. 
Bài tập luyện tập 
 Ví dụ 1 
 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , đường cao của hình chóp bằng . 
 Tính thể tích khối chóp . 
 Lời giải 
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC . Khi đó SH ABC tại . 
 1 1a2 3
Diện tích tam giác đều là S . AB . BC .sin ABC . a . a .sin60 . 
 ABC 2 2 4
 1 1aa23 3
Thể tích khối chóp S. ABC là V . SH . S . a 3. . 
 3ABC 3 4 4
 Ví dụ 2 
 Cho hình chóp tam giác đều có đường cao bằng . Gọi là trọng tâm của tam giác 
 , . Tính thể tích khối chóp . 
1 Hình học lớp 12 | 
 1
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC SH ABC . Khi đó V SH. S (do khối chóp 
 3 ABC
S. ABC đều). 
 2aa 3 3 a 26 a2 3
Ta có AH . SH SA22 AH ; S ; 
 3 2 3 3 ABC 4
 1a 26 a23 3 a 26
Suy ra V .. (đvtt). 
 33 4 12
 Ví dụ 4 
 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Tính thể tích 
 của khối chóp đã cho. 
 Lời giải 
 S
 A D
 O
 B C 
Trong mặt phẳng ABCD, gọi O  AC BD , do hình chóp S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên 
 AC
SO ABCD . Đáy là hình vuông cạnh 20 AO 10 2 . 
 2
Trong tam giác vuông SAO có SO SA22 AO 10 7 . 
 1 1 4000 7
Thể tích V của khối chóp trên là V SO. S 10 7.400 . 
 3 ABCD 33
 Ví dụ 5 
 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Tính thể tích 
 khối chóp . 
 Lời giải 
3 Hình học lớp 12 | 
 SBC  ABC BC
Ta có SE BC, SE  SBC SBC , ABC SE , AE SEA 45 . 
 AE BC, AE ABC 
 aa3 1 3
Xét tam giác ABE vuông tại E : AE AB.sin ABE a .sin60 HE . AE . 
 2 3 6
 aa33
Xét tam giác SHE vuông tại H : SH HE.tan SEA .tan 45  . 
 66
 1 1a2 3
Diện tích tam giác đều ABC là S . AB . BC .sin ABC . a . a .sin60 . 
 ABC 2 2 4
 1 1a 3 a23 3 a
Thể tích khối chóp S. ABC là V .... SH S . 
 3ABC 3 6 4 24
 Ví dụ 7 
 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và góc giữa mặt bên và mặt 
 phẳng chứa đa giác đáy bằng ? 
 Lời giải 
Vì S. ABCD là hình chóp đều nên ABCDlà hình vuông, gọi O là tâm của hình vuông thì ta 
có SO là đường cao của hình chóp . 
Diện tích đáy là S a. a a2 . 
 ABCD 
Gọi I là trung điểm của BC thì ta có OI BC và SI BC nên góc giữa mặt bên ()SBC và mặt đáy 
()ABCD là góc SIO 60 . 
 a 3
Từ đó: SO OI.tan SIO . 
 2
 1aa 33 3
Thể tích khối chóp Va 2 . 
 S. ABCD 3 2 6
 Ví dụ 8 
 Cho hình chóp tam giác đều có chiều cao bằng , . Tính thể tích khối chóp 
 . 
5 Hình học lớp 12 | 
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm của cạnh AB . Khi đó SH ABC tại 
. Do tam giác đều nên CD AB tại , tam giác SAB cân tại S nên SD AB tại . Ta có 
 SAB  ABC AB
 SD AB, SD  SAB SAB , ABC SD , CD SDC 30 . 
 CD AB, CD ABC 
Trong tam giác SDH , dựng HK SD tại K . 
 AB SD
Ta có AB SCD mà HK SCD nên HK AB. 
 AB DC
 HK SD, HK AB
Ta có SD AB D HK  SAB tại d H, SAB HK a . 
 SD, AB SAB 
 HK HK
Xét tam giác DHK vuông tại : DH 2 a DC 3 DH 6 a . 
 sin SDC sin 30
 DC6 a
Xét tam giác BCD vuông tại : BC 43 a . 
 sin ABC sin 60
 2a
Xét tam giác vuông tại : SH DH.tan SDC 2 a .tan 30 . 
 3
 11
Diện tích tam giác đều là S . AB . BC .sin ABC .4 a 3.4 a 3.sin 60 12 a2 3 . 
 ABC 22
 1 1 2a
Thể tích khối chóp S. ABC là V . SH . S . .12 a23 3 8 a . 
 33 ABC 3
 Ví dụ 10 
 Cho hình chóp tam giác đều có độ dài đường cao bằng , diện tích mặt bên bằng 
 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng. 
 Lời giải 
7 Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 12 
 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng và góc ở đỉnh của mặt bên 
 bằng ? 
 Lời giải 
Vì là hình chóp đều nên là hình vuông, gọi là tâm của hình vuông thì ta 
có là đường cao của hình chóp . 
Diện tích đáy là 
 0
Vì BSC 60 nên tam giác SBC đều SB a vậy cạnh bên của hình chóp là a 
Ta có: BD a 2 nên tam giác SBD là tam giác vuông cân đỉnh S . 
 a 2
Đường cao SO 
 2
 1aa 23 2
Thể tích khối chóp Va 2 . 
 S. ABCD 3 2 6
 Ví dụ 13 
 ChoS. ABCDhình chóp tam giác đều ABCD có cạnh bằng . CácO cạnh bên , , cùng tạo 
 vớSOi mặt đáy một góc . Gọi là giao điểm của với mặt phẳng qua và vuông góc 
 2
 với . Tính thể tích S ABCDcủa kh aố.i a chóp a ? 
 Lời giải 
9 Hình học lớp 12 | 
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. 
Do hình chóp S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO () ABCD . 
 d G, SBC SG 2 3aa 6 6
Ta có . Suy ra d O,. SBC . 
 d O, SBC SO 3 2 9 6
Gọi E là trung điểm của cạnh BC OE BC . 
Kẻ OH SE,( H SE )(1). 
BC OE
  BC ( SOE ) BC  OH (2) . 
BC SO 
 a 6
Từ (1) và (2) suy ra OH(), SBC OH d O SBC . 
 6
 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a 2
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SO . 
OH SO OE SO OH OE a 6 a a 2
 2
 6 
 1 1aa 23 2
V SO. S ..a2 . 
 SABCD3 ABCD 3 2 6
 Ví dụ 15 
 Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Gọi là tâm 
 của hình vuông . Biết diện tích tam giác bằng , tính thể tích khối chóp đã cho. 
 Lời giải 
11