Chuyên đề Khái niệm về các khối đa diện - Hình học 12

 Hình học lớp 12 | 
 HÌNH HỌC 12. 
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 
 Mục lục 
 A. LÝ THUYẾT 
 1. Khái niệm về hình đa diện 
 2. Khái niệm về khối đa diện 
 3. Một số kết quả quan trọng 
 B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 DẠNG 1: Nhận diện hình đa diện, khối đa diện 
 DẠNG 2: Xác định số đỉnh, số cạnh, số mặt các khối đa diện. 
A. LÝ THUYẾT 
1. Khái niệm về hình đa diện 
 Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất 
i. Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ 
có một cạnh chung. 
ii. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. 
 Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện. 
 Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. 
2. Khái niệm về khối đa diện 
 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. 
 Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. 
 Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. 
 Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là 
điểm trong của khối đa diện. 
 Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện. 
 Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, 
điểm trong, điểm ngoài của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm 
ngoàicủa hình đa diện tương ứng. 
 Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ. 
 Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp. 
 Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt. 
 Tương tự ta có định nghĩa về khối n giác; khối chóp cụt n giác, khối chóp đều, khối hộp, 
 Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn 
nó. 
Ví dụ: 
 1 Hình học lớp 12 | 
Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là 
 3m 3m
c (có thể áp dụng luôn kết quả 4 để suy ra c ). 
 2 2
Suy ra 3m 2 c 3 m là số chẵn m là số chẵn. 
Một số khối đa diện có kết như trên mà số mặt bằng 4, 6, 8, 10 : 
+ Khối tứ diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác. 
+ Xét tam giác BCD và hai điểm AE, ở về hai phía của mặt phẳng BCD . Khi đó ta có lục diện 
ABCDE có 6 mặt là những tam giác. 
+ Khối bát diện ABCDEF có 8 mặt là các tam giác. 
+ Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm MN, ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác. Khi đó 
khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là các tam giác. 
 Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia thành những khối tứ diện. 
 Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. 
 Kết quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. 
Tổng quát : Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh 
là một số chẵn. 
 Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh. 
 Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện ó 7 cạnh 
 Kết quả 11: Với mỗi số nguyên k 3 luôn tồn tại một hình đa diện có 2k cạnh. 
 Kết quả 12: Với mỗi số nguyên k 4 luôn tồn tại một hình đa diện có 21k cạnh. 
 Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có 
+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh ; 
+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh ; 
 Kết quả 14: Tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều. 
Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều. Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một mặt của tứ 
diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện H 6 có 6 mặt là các tam giác đều. 
Ghép thêm vào H 6 một khối tứ diện đều nữa ta được khối đa diện H8 có 8 mặt là các tam giác đều. 
Bằng cách như vậy ta được khối đa diện 2n mặt là những tam giác đều. 
 H6 H8 
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 DẠNG 1: Nhận diện hình đa diện, khối đa diện 
 3 Hình học lớp 12 | 
 Ví dụ 3 
 Hình nào không phải là hình đa diện? 
 Hình Hình Hình Hình 
 Lời giải 
 Hình 4 có một cạnh là giao của bốn đa giác nên hình 4 không là hình đa diện. 
 Ví dụ 4 
 Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện? 
 Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 
 Lời giải 
 Hình 2 có một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác nên nó không là hình khối đa diện. 
Bài tập luyện tập 
Câu 1. Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa 
 diện là 
 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất : 
 a. Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một 
 cạnh chung. 
 b. Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. 
 Ta thấy có ba hình thỏa mãn hai tính chất trên. 
 5 Hình học lớp 12 | 
 Chọn C 
Câu 6. (CỤM 2 TP.HCM)Hình nào sau đây không phải là hình đa diện? 
 A. Hình trụ. B. Hình tứ diện. C. Hình lập phương. D. Hình chóp. 
 Lời giải. 
 Chọn A. 
Câu 7. (THPT YÊN LẠC) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 
 A.Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh 
 B. Mỗi hình đa diện có ít nhất ba đỉnh 
 C. Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó 
 D. Số mặt của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó 
 Lời giải 
 Chọn A 
 C và D sai (Ví dụ hình tứ diện); B sai vì không có hình đa diện nào ba đỉnh. 
Câu 8: (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề 
 nào đúng ? 
 A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh. 
 B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau. 
 C. Số đỉnh và số mặt của hình đa diện luôn bằng nhau. 
 D. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau. 
 Lời giải 
 Chọn D 
 Hình tứ diện có 4 đỉnh và mặt. 
Câu 9. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho một hình đa diện. Khẳng định nào sau đây 
 sai? 
 A. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. 
 B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. 
 C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. 
 D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh. 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Hình tứ diện có đỉnh và mặt. 
Câu 10: (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả 
 bao nhiêu cạnh ? 
 A. 20 . B. 25 . C. 10. D. 15. 
 Lời giải 
 Chọn D 
 Hình vẽ. 
 7 Hình học lớp 12 | 
 DẠNG 2: Xác định số đỉnh, số cạnh, số mặt các khối đa diện. 
 Ví dụ 1 
 Tìm số đỉnh, số mặt, số cạnh của khối đa diện sau đây. 
 Lời giải 
Khối đa diện trên có 7 đỉnh, 10 mặt, 15 cạnh. 
 Ví dụ 2 
 Chứng minh rằng một khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt là số chẵn? 
 Lời giải 
Gọi số mặt khối đa diện là M . 
Gọi số cạnh khối đa diện là C . 
Theo giả thiết mỗi mặt là tam giác nên số cạnh của khối đa diện là 3M . 
Mà theo định nghĩa khối đa diện, mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai mặt nên trong 
cách tính trên mỗi cạnh được lặp hai lần. 
 3M
Do đó 23CMC mà UCLN của 2 và 3 là 1 nên chia hết cho hay là số 
 2
chẵn. 
 Ví dụ 3 
 Cho hình chóp có cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó. 
 Lời giải 
Số cạnh bên của hình chóp bằng số cạnh đáy. 
 20
Suy ra số cạnh bên của hình chóp là: 10 cạnh. 
 2
Vậy hình chóp có mặt bên và mặt đáy. 
 9