Chuyên đề Hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt các phương pháp giải phương trình vô tỷ

 CHUYÊN ĐỀ:
 HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG LINH HOẠT CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT VÔ TỶ
GV thực hiện: Nguyễn Thị Lê Thanh 
Tổ: Khoa học tự nhiên.
A. Đặt vấn đề:
1. Lí do thực hiện chuyên đề.
 Trong chương trình toán học phổ thông, kiến thức về phương trình là một kho báu vô tận. Càng 
đi sâu vào nghiên cứu chúng ta càng thấy được cái khó, cái hay vô cùng của nó. 
 Trong kho báu vô tận đó thì phương trình vô tỉ chiếm một phần không nhỏ. Mặc dù trong 
chương trình cơ bản của toán 9, PT vô tỉ chỉ chiếm phần khá ''khiêm tốn'' chủ yếu tập trung ở 
chương I: ''Căn bậc hai - căn bậc ba''. Với hệ thống bài tập còn ít ỏi, tương đối đơn giản mà HS 
có thể áp dụng một vài phương pháp như nâng lên luỹ thừa, hay đưa PT về phương trình chứa ẩn 
trong dấu giá trị tuyệt đối . .. là có thể giải được . 
 Song thực tế trong các đề thi HS giỏi, đề thi chuyển cấp vào THPT và trường chuyên của tỉnh 
của mấy năm gần đây thì các bài toán về ''PT vô tỉ'' lại xuất hiện khá nhiều và rất đa dạng. Đòi hỏi 
HS phải nắm chắc các phương pháp giải về phương trình vô tỉ, từ đó biết vận dụng linh hoạt các 
phương pháp giải phù hợp với bài toán của mình. Thực tế HS lại rất hay lúng túng và gặp nhiều 
khó khăn trước điều này .
 Vì thế với kinh nghiệm bản thân đã từng gặp phải vấn đề này trong quá trình giảng dạy, tôi cố 
gắng tìm cách tháo gỡ điều này bằng cách tham khảo các tài liệu và rút ra CĐ là phải hướng dẫn, 
cung cấp cho HS các phương pháp giải thật đa dạng về phương trình vô tỉ; Phân tích ra các sai 
lầm mà các em có thể gặp phải trong quá trình tìm tòi và trình bày lời giải. Nhằm để các em nắm 
thật chắc mỗi phương pháp giải, chú ý tránh các sai lầm có thể xảy ra. 
 Từ đó hướng dẫn các em biết vận dụng thật linh hoạt các phương pháp đã biết tìm ra phương 
pháp giải phù hợp cho mỗi bài toán về ''phương trình vô tỉ'' của mình, đáp ứng với sự mong mỏi 
được khám phá; tự tin chiếm lĩnh tri thức; làm phong phú hơn hành trang về kiến thức các em 
mang theo khi học lên THPT.
2. Mục đích thực hiện chuyên đề.
 Nhằm nâng cao chất lượng giáo dục theo hướng đổi mối phương pháp giảng dạy của giáo viên 
và đổi mới cách học của HS theo hướng chủ động sáng tạo, phát huy được tính tích cực tối đa của 
học sinh. Rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung và giải các phương trình vô tỉ nói riêng một cách 
chủ động, linh hoạt hơn. Từ đó xây dựng được lòng say mê, hứng khởi với việc học toán của 
học.sinh. Qua đó góp phần vào việc giáo dục một thế hệ trẻ năng động, sáng tạo, giàu kĩ năng 
trong công việc đáp ứng với công cuộc xây dựng và bảo vệ đất nước theo yêu cầu mới của nước 
nhà hiện nay .
B. Giải quyết vấn đề:
I. Cơ sở khoa học 
1. Cơ sở lí thuyết.
 1 CHUYÊN ĐỀ:
 HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG LINH HOẠT CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT VÔ TỶ
Kết quả cụ thể :
Bài 1: Đa số các em biết cách giải và giải khá tốt vì các em đã được luyện nhiều dạng này trong 
chương trình 
Bài2: Một số ít các em khá giải tốt; còn đa số giải như sau :
Lời giải sai: Chuyển vế : x 1 5x 1 3x 2 (2)
 Bình phương hai vế ta được :
 x- 1 = 5x -1 +3x -2 +2 15x2 13x 2 (3)
 2-7x = 2 15x2 13x 2 (4)
 Bình phương 2 vế ta được :
 4 - 28 x + 49x2 = 4 ( 15x2 -13x +2 ) (5)
 Rút gọn : 11 x2 -24 x +4 =0 
 Giải ra : x1 = 2/11 ; x2 = 2 
Sai lầm của các em là : 
1- Bỏ qua một bước rất quan trọng là không đặt điều kiện đễ các căn thức có nghĩa ( ĐK : x = 1) 
nên không loại bỏ nghiệm x1 =2/11 
2- Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương các PT (4) và (5) . Đáng ra PT (4) tương đương 
 2 7x 0
với hệ : 2 2 tức là phải có thêm ĐK: x = 2/7 - Vì thế nghiệm x 2 = 2 
 (2 7x) 4(15x 13x 2)
cũng không phải là nghiệm của (1) 
Bài 3: Đa số các em không giải được vì không tìm ra lời giải đúng 
 Vì thế với trăn trở là làm thế nào học sinh của mình ''tự tin'' hơn với dạng toán này tôi đã mạnh 
dạn tìm tòi, thử nghiệm và rút ra kinh nghiệm là cần cung cấp các phương pháp giải phương 
trình vô tỉ một cách đa dạng, và thông qua một số ví dụ từ dễ đến khó nhằm hướng dẫn các em 
nắm chắc từng phương pháp giải ; từ đó rèn luyện hướng dẫn các em biết vận dụng một cách thật 
linh hoạt các phương pháp giải phù hợp nhất cho mỗi một phương trình vô tỉ cụ thể của mình .
II. Nội dung:
I. Các phương pháp giải và VD minh hoạ 
Nguyên tắc chung của việc giải PT vô tỉ là dùng các phép biến đổi đưa PT về dạng hữu tỉ để giải 
tìm nghiệm của nó, điều đó thể hiện ở mổi phương pháp khác nhau .
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa :
Bước 1: Nâng cả 2 vế lên cùng một luỹ thừa ta sẽ được một PT tương đương hoặc PT hệ quả (có 
thể 1 hoặc nhiều lần) có dạng hữu tỉ 
Bước 2: Giải PT tương đương hoặc PT hệ quả đó rồi đối chiếu điều kiện hoặc thử lại để xác định 
nghiệm của PT ban đầu 
VD1: Giải PT: 
 a) 3x 2 2 3 (BT77-SBT trang15)
 b) x 1 5x 1 3x 2
 c) 3 2x 1 3 x 1
 3 CHUYÊN ĐỀ:
 HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG LINH HOẠT CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT VÔ TỶ
 VD2: Giải các phương trình :
 a) x2 2x 1 = 2 
 b) x 2 x 1 x 2 x 1 2
 c) x 2x 1 x 2x 1 2
Hướng dẫn HS tìm tòi lời giải: Lời giải
a) Ta sẽ sử dụng kiến thức nào để có thể (x 1)2 2 x 1 2
giải được các PT dạng này ? 
 x 1 2
 2 A a) 
(Sử dụng HĐT: A A ) x 1 2
 A 
Hãy trình bày lời giải của câu a, ? x 1 2
 x 1 2
b) Các em hãy tìm cách đưa các căn thức b) ĐK:x = 1 
về dạng bình phương một tổng hoặc một 2
hiệu ? ( x 1 1)2 ( x 1 1) 2
Bây giờ hãy vận dụng phương pháp trên x 1 1 x 1 1 2 (*) 
giải tiếp ?
Ta sẻ giải PT (*) như thế nào để tìm + Nếu x = 2 PT trở thành :
nghiệm ? x 1 1 x 1 1 2
(Phá dấu giá trị tuyệt đối) x 1 1 x 2(TM )
 +Nếu 1 = x<2 PT trở thành :
 Kết luận về nghiệm của PT như thế 
 x 1 1 x 1 1 2
nào? 
 2=2 ( Đúng vói mọi x )
 Vậy PT b, có vô nghiệm : 1 = x = 2
 c) PTrình c có đưa được về dạng như c) ĐK: x = 1/2 
PT b không ? 
 Làm thế nào để đưa được các biểu thức 2x 1 2 2x 1 1 2x 1 2 2x 1 1 2
dưới dấu căn về dạng Hằng đẳng thức ? 
 2x 1 1 2x 1 1 2
 Bây giờ các em hãy giải tiếp như PT 
b,và cho biết kết quả về nghiệm của PT ? Giải ra ta có nghiệm của PT là: 1/2 = x = 1 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ :
Bước1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ .
Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT chứa ẩn phụ ; Giải PT chứa ẩn phụ - Đối chiếu điều kiện của ẩn 
phụ đã nêu để tìm nghiệm thích hợp cho PT này 
Bước 3: Tìm nghiệm của PT ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ .
Trong 3 bước thì bước 1 là quan trọng nhất, vì nó quyết định đến tính chính xác ; ngắn gọn và 
độc đáo của lời giải .
 5 CHUYÊN ĐỀ:
 HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG LINH HOẠT CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT VÔ TỶ
Đặt 25 x2 a ; 10 x2 b thì ĐK của Lại có: 
a, b là gì ? a2-b2 = (25-x2) -(10 -x2) =15(2)
PT ban đầu trở thành hệ PT như thế nào? a b 3
 Ta có hệ PT: 2 2
Nếu bình phương mỗi cănthức rồi lấy hiệu a b 15
để khữ ẩn ta sẽ được điều gì ? Giải hệ PT này ta được :
Hãy giải hệ PT đó ? a = 4 ; b= 1 
Qua giá trị nghiệm của ẩn phụ hãy tìm giá 
 2
trị nghiệm của ẩn chính ? và trả lời bài 25 x 3
 Suy ra x1 = 3; x2=-3
 2
toán? 10 x 1
b) Mặc dầu bài b, có các căn bậc khác 
 b) TXĐ: x = 1 
nhau song áp dụng cách giải trên cũng tỏ 
ra rất hiệu quả . Đặt 3 2 x a; x 1 b ( b = 0 ) 
GV hướng dẫn các bước như trên các em Theo PT đã cho thì : a +b = 1 
sẽ dễ dàng giải được PT này Lại thấy : a3 +b2 = 1 
 a b 1
 Chuyển về hệ : 3 2
 a b 1
 GIải hệ này ta được : (a = 0; b =1)
 (a =1; b = 0) ; (a =-2; b =3)
 Từ đó suy ra các nghiệm của PT ban 
 đầu là: x1= 2; x2 =1; x3 = 10 
5. Phương pháp bất đẳng thức:
Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỷ được thể hiện dưới nhiều dạng khác nhau:
Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không đồng nhất, khi đó phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: giải pt: x 1 5x 1 = 3x 2 (1)
Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải: Lời giải
Điều kiện của phương trình có ngiã là gì? Điều kiện: x = 1
Với điều kiện đó giá trị của vế trái như thế Vì với x = 1 thì x < 5x x - 1 < 5x -1 
nào? Nên x 1 5x 1 0
(Hãy so sánh x và 5x)
 Vậy nên phương trình vô nghiệm
Còn vế phải có giá trị ra sao? 
Qua đó em có nhận xét gì về nghiệm của 
phương trình này?
Dạng 2: Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Ví dụ: Giải pt: 3x2 6x 7 5x2 10x 14 = 4 - 2x - x2
Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải: Lời giải
Hãy tìm điều kiện của phương trình? Điều kiện: -1 - 5 = x = -1 + 5 (*)
Các biểu thức 3x2 +6x +7; 5x2 +10x +14 có Ta thấy: vế trái 
giá trị như thế nào? 
 7