Chuyên đề HSG Toán hình 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 3, Chủ đề 2: Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng

 HH6. CHUYÊN ĐỀ 3 - ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC
 CHỦ ĐỀ 2: ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN 
 THẲNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG.
1. Đoạn thẳng là hình gồm điểm A , điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B .
 A B
2. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
3. AB CD AB và CD có cùng độ dài.
 A B
 C D
AB CD độ dài đoạn thẳng AB nhỏ hơn độ dài đoạn thẳngCD .
 A B
 C D
AB CD độ dài đoạn thẳng AB lớn hơn độ dài đoạn thẳng CD .
 A B
 C D
4. Điểm nằm giữa hai điểm: 
 A M B
Nếu điểm M nằm giữa điểm A và điểm B thì AM + MB = AB .
Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B .
Nếu AM MB AB thì điểm M không nằm giữa A và . B ..
 A M N B
Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa hai điểm M và B thì 
AM MN NB AB
2. VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI
1. Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một điểm M sao cho OM a (đơn vị dài).
2. Trên tia Ox , OM a , ON b nếu 0 a b hay OM < ON thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N . Nên AC BC AB 3 BC 7
Suy ra BC 7 3 4 (cm)
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng BC
 BC 4
Nên BM 2 (cm).
 2 2
Bài 2: Cho đoạn thẳng AB 6cm. M là điểm nằm giữa hai điểm A và B . Gọi C và D lần lượt là trung 
điểm của các đoạn thẳng AM và MB . Tính độ dài đoạn thẳng CD .
Lời giải:
 A C M D B
Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên AM MB AB
Vì C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AM và MB nên ta có:
 AM MB
CM , MD .
 2 2
Vì M nằm giữa A và B , C nằm giữa A và M , D nằm giữa M và B , suy ra M nằm giữa C và D
 AM MB AB 6
Do đó CD CM MD 3 (cm).
 2 2 2 2
Bài 3: Trên tia Ox cho 4 điểm A , B , C , D biết rằng A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D ; 
OA 5 cm, OD 2 cm, BC 4 cm và độ dài đoạn AC gấp đôi độ dài đoạn BD . Tính độ dài các đoạn 
BD , AC .
Lời giải:
 O D B A C x
Vì A nằm giữa B và C nên BA AC BC BA AC 4 AC 4 AB 1 
Vì A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D B nằm giữa A và D .
Trên tia Ox , ta có OD OA ( 2 5 )
Nên điểm D nằm giữa hai điểm O và A .
Suy ra : OD DA OA
 2 DA 5
 DA 3(cm).
Vì B nằm giữa hai điểm A và D
Nên DB BA DA
 DB BA 3
 BD 3 AB 2 MN NP MN NP
Do đó ta có: FN NG (*)
 2 2 2
Theo đề bài, thứ tự các điểm chia và thứ tự trung điểm các đoạn thẳng thì N là điểm nằm giữa hai điểm 
F , G và N là điểm nằm giữa hai điểm M , P .
Do đó ta có: FN NG FG , MN NP MP
 MP 24
Thay vào (*) ta có: FG 12 (cm)
 2 2
Vậy độ dài đoạn thẳng FG là 12 (cm).
Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài 28 cm được chia thành ba đoạn thẳng không bằng nhau theo thứ tự 
AC , CD và DB . Gọi E , F là trung điểm của đoạn thẳng AC , DB . Biết độ dài đoạn EF 16 cm.
Tìm độ dài đoạn CD .
Lời giải: 
 A E C D F B
Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AC , CD và DB .
Vậy hai điểm C , D nằm giữa hai điểm A và B .
 AC
Vì E là trung điểm của AC nên AE 1 
 2
 DB
F là trung điểm của DB nên FB 2 
 2
 AC DB AC BD
Từ 1 và 2 có : AE FB AE FB 
 2 2 2
Vì điểm E và điểm F nằm giữa hai điểm A , B và điểm E nằm giữa hai điểm A , F
Nên: AE EF FB AB AE FB AB EF
 AC BD
Suy ra AE FB 28 16 12
 2
Suy ra: AC BD 24 (cm)
Vậy đoạn CD AB - (AC BD) 28- 24 4 (cm)
Bài 6: Cho đoạn thẳng AB 6 cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C . Biết E là trung điểm của đoạn 
thẳng CA , F là trung điểm của đoạn thẳng CB .
a) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn CB lớn hơn độ dài đoạn CA .
b) Tìm độ dài đoạn EF .
Lời giải: 
 C E A F B Trên tia Ox , ta có OA OB 2 8 nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B . 
Do đó: OA AB OB
 2 AB 8
 AB 8 2 6 (cm)
Vì I là trung điểm của đoạn thẳng OA
 OA 2
Nên OI IA 1 (cm) 
 2 2
Vì K là trung điểm của đoạn thẳng AB
 AB 6
Nên AK KB 3 (cm) 
 2 2
Mà điểm A nằm giữa hai điểm O và B , điểm I nằm giữa hai điểm O và A , K nằm giữa hai điểm A 
và B nên suy ra A nằm giữa hai điểm I và K .
Suy ra: AI AK IK
 IK 1 3 4 (cm).
Vậy AB 6 (cm), IK 4 (cm).
Bài 9: Cho ba điểm A , O , B sao cho OA 2 cm, OB 3 cm và AB 5 cm. Lấy điểm M nằm trên 
đường thẳng AB sao cho OM 1 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AM ?
 (Đề thi HSG huyện Hoa Lư 2020-2021)
Lời giải:
Vì OA OB AB do 2 3 5 nên điểm O nằm giữa hai điểm A và B .
 O nằm trên đường thẳng AB và hai tia OA , OB đối nhau.
+) Trường hợp 1: M nằm trên tia OB
 A O M B
Ta có: OM và OA là hai tia đối nhau nên O nằm giữa A và M
Khi đó: AM AO OM 2 1 3 (cm)
+) Trường hợp 2: M nằm trên tia OA
 A M O B
Trên tia OA , ta có OM OA(do 1 2 ) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và A
Khi đó: OM MA OA Bước 2: Chứng tỏ MA MB .
 AB
Cách 2. Chứng minh MA MB 
 2
Cách 3. Bước 1: Chứng tỏ điểm M nằm giữa A và B .
 AB AB
 Bước 2: Chứng tỏ MA hoặc MB .
 2 2
II. Bài toán
Bài 1: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA 4 cm, OB 6 cm. Trên tia BA lấy điểm C sao 
cho BC 3 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC .
Lời giải:
 C
 O A B x
Trên tia Ox , ta có: OA OB (4 6) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B
Suy ra AB OA OB AB OB OA; 
Mà OA 4 cm, OB 6 cm 
Nnên AB 6 4 2 (cm)
Trên tia BA , ta có BA BC (2 3) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C
Suy ra AC BA BC
 AC BC BA
Mà BC 3 cm, AB 2 cm. 
Do đó: AC 3 2 1 (cm)
Vậy AB 2 (cm), AC 1 (cm).
Bài 2: Trên tia Ox cho 4 điểm A , B , C , D . Biết rằng A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D ; 
OA 7 cm, OD 3 cm, BC 8 cm và AC 3BD .
a) Tính độ dài AC .
b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD .
Lời giải:
 B C
 O D A x
a) Đặt BD x (cm) AC 3x (cm)
Trên tia Ox có OD OA ( vì 3 7 ) Nên điểm D nằm giữa hai điểm O và A 
Suy ra: OD DA OA
 DA OA OD 7 3 4 (cm) TH2: P nằm giữa O và M .
 O P M N x
Vì P nằm giữa O và M
Nên OM OP PM
 3 OP 2
 OP 1 (cm).
c)Vì M nằm giữa O và P nên MO MP OP
 OP 3 2 5(cm)
 O M P N x
Trên tia Ox , ta có OP ON (5 7 ) nên P nằm giữa O và N
 OP PN ON
 5 PN 7
 PN 2 (cm).
Do đó: MP PN 1 
Trên tia Ox , ta có: OM OP ON 3 5 7 nên P nằm giữa M và N 2 
Từ 1 và 2 suy ra P là trung điểm của MN
Bài 4: Cho các điểm A , B , C nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm M , N lần lượt là trung điểm 
của các đoạn thẳng AB , AC . Chứng tỏ rằng: BC 2MN . Bài toán có mấy trường hợp, hãy chứng tỏ 
từng trường hợp đó?
Lời giải: 
- Trường hợp 1: Hai điểm B , C ở cùng phía với A , tức là hai tia AB , AC trùng nhau.
 A M N B C
* Trường hợp này có thể chia làm hai trường hợp nhỏ là : AB AC, AC AB (hai trường hợp chứng 
minh tương tự).
Giả sử: AC AB .
 AC
Vì N là trung điểm của AC , nên: AN NC 1 
 2
 AB
Vì M là trung điểm của AB , nên: AM MB 2 
 2
Từ 1 và 2 ta có : a) Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AP , PQ , QB nên suy ra
AB AP PQ QB .
Mà AP 2PQ 2QB 1 
Suy ra: PQ QB 2 
Vậy AB 2QB BQ QB 4QB 3 
 QB
Vì I là trung điểm của QB , nên : QI IB 4 
 2
I là trung điểm của QB , mà Q nằm giữa hai điểm A , B nên I cũng nằm giữa hai điểm A , B .
Suy ra: AB AI IB 5 
Từ 3 ta có:
 AB QB AB QB AB
AB 4QB QB IB QI 6 
 4 2 8 2 8
Thay 6 vào 5 có:
 AB
AB AI 
 8
 AB 8AB AB
 AI AB 
 8 8
 7AB 7a
 AI (cm)
 8 8
b) Theo 3 ta có: AB 4QB .
Theo 1 ta có: 2QB AP .
 AB
Vậy ta suy ra: AB 2AP AP 
 2
 AP AB
Mà E là trung điểm của AP , nên EP . 7 
 2 4
mà PQ QB , 
 AB
Vậy : PQ QB . 8 
 4
Theo đầu bài, đoạn AB được chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP , PQ , QB 
Suy ra EI EP PQ QI 9 
 AB AB AB
Thay 6 , 7 , 8 vào 9 có: EI 
 4 4 8
 5AB 5a
 EI EI (cm).
 8 8