Chuyên đề HSG Toán hình 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 3, Chủ đề 1: Điểm, đường thẳng, tia

 HH6. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC
 CHỦ ĐỀ 1: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, TIA
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
1. Vị trí của điểm và đường thẳng
 Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A a .
 a
 A
 Điểm B không thuộc đường thẳng a , kí hiệu B a .
 B
 a
2. Ba điểm D , E , F thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng; ba điểm M , N , P không 
thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào.
 P
 a
 a
 D E F M N
3. Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. 
4. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng.
5. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành 4, 5, 6... điểm thẳng hàng.
II. ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM
1. Có một đường thẳng và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A và B .
2. Có ba cách đặt tên đường thẳng:
 Dùng một chữ cái in thường: đường thẳng a , đường thẳng b , đường thẳng x , đường thẳng y ...
 a
 Dùng hai chữ cái in thường: đường thẳng xy , đường thẳng ab , đường thẳng uv ... Xét 3 điểm A , B , O thẳng hàng.
 Nếu tia OA và tia OB đối nhau thì điểm O nằm giữa A và B .
 A O B
 Ngược lại nếu O nằm giữa A và B thì:
 • Hai tia OA , OB đối nhau.
 • Hai tia AO , AB trùng nhau; hai tia BO , BA trùng nhau.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Bài toán trồng cây thẳng hàng.
I. Phương pháp giải
 Các cây thẳng hàng là các cây cùng nằm trên một đường thẳng.
 Giao điểm của hai hay nhiều đường thẳng là vị trí của 1 cây thỏa mãn bài toán.
II. Bài toán
Bài 1: Có 9 cây, hãy trồng thành 8 hàng sao cho mỗi hàng có 3 cây.
 Lời giải
 Theo hình 1 (mỗi điểm trên hình vẽ là một cây).
 Hình 1
Bài 2: Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây (Giải bằng 4 cách).
 Lời giải
 Cách 1 Cách 2 Vậy n 15.
Bài 3: Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , 
biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng.
 Lời giải
Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là: 
 19.20 : 2 190 .
Trong a điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là: (a 1)a : 2 .
Vì có a điểm thẳng hàng nên qua a điểm này ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng.
Ta có: 190 (a 1)a : 2 1 170 (a 1)a : 2 21 (a 1)a 42 (a 1)a 67
Vậy a 7 .
Bài 4:
a) Cho bốn điểm A1 , A2 , A3 , A4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một 
đường thẳng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng?
b) Cũng hỏi như trên với 5 điểm?
 Lời giải
a) Qua A1 kẻ được 3 đường thẳng A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 .
Qua A2 kẻ được 2 đường thẳng A2 A3 , A2 A4 .
Qua A3 kẻ được 1 đường thẳng A3 A4 .
Qua A4 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới.
Vậy số đường thẳng vẽ được là: 3 2 1 6 (đường thẳng).
b) Nếu cho 5 điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì 
Qua A1 kẻ được 4 đường thẳng A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A5 .
Qua A2 kẻ được 3 đường thẳng A2 A3 , A2 A4 , A2 A5 .
Qua A3 kẻ được 2 đường thẳng A3 A4 , A3 A5 .
Qua A4 kẻ được 1 đường thẳng A4 A5 .
Qua A5 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới.
Vậy số đường thẳng vẽ được là: 4 3 2 1 10 (đường thẳng). Vậy số đường thẳng tạo thành là: 499500 2 499498 (đường thẳng) 
Bài 8: Cho 2022 điểm trong đó chỉ có 22 điểm thẳng hàng. Tính số đường thẳng đi qua hai trong 2022 
điểm trên.
 Lời giải
Qua 2022 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được:
 2022.2021: 2 2043231(đường thẳng)
Do có 22 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt đi là: 22.21: 2 1 230 (đường thẳng)
Vậy qua 2022 điểm trong đó chỉ có 22 điểm thẳng hàng ta vẽ được: 
 2043231 230 2043001(đường thẳng)
Bài 9: Trên tia Ox vẽ các điểm M1 ; M 2 ; M 3 . Nếu trong mặt phẳng chứa tia Ox vẽ thêm các điểm M 4 ; 
M ; M ; ...; M ; M . Trong các điểm M ; M ; M ; ...; M ; M có đúng 3 điểm thẳng hàng và cứ 
 5 6 101 102 1 2 3 101 102 
qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng như thế? Tại sao?
 Lời giải
Giả sử trong các điểm M1 ; M 2 ; M 3 ; ...; M101 ; M102 1 không có ba điểm nào thẳng hàng.
Từ một điểm bất kỳ trong 1 ta vẽ được 101 đường thẳng qua các điểm còn lại trong 1 .
Làm như thế với 102 điểm ta được 101.102 10302 (đường thẳng).
Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần nên tất cả có 10302 : 2 5151 (đường thẳng).
Qua 3 điểm thẳng hàng chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Nếu 3 điểm này không thẳng hàng sẽ vẽ được số 
đường thẳng là: 3.2 : 2 3 (đường thẳng). 
Vì trong 1 có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 1 2 (đường thẳng)
Vậy số đường thẳng cần tìm là: 5151 2 5149 (đường thẳng).
Dạng 3: Tính số giao điểm của các đường thẳng
I. Phương pháp giải
 ➢ Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm (1 giao điểm).
 ➢ Nếu có n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường 
 thẳng nào đồng quy. 
 Ta thấy cứ một đường thẳng trong n đường thẳng đã cho cắt n 1 đường thẳng còn lại tạo thành 
 n 1 giao điểm.
 Vì có n đường thẳng nên số giao điểm sẽ là : n n 1 (giao điểm) a) Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm. 
b) Có đúng ba đường thẳng đồng quy:
Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm.
Không có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm.
b) Không có ba đường thẳng nào đồng quy.
Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm.
Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm.
Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm. Bài 3: Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng 
nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780 . Tính n .
 Lời giải
Trong n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào 
 n(n 1)
đồng quy, số giao điểm của các đường thẳng đó là . 
 2
 n(n 1)
Mà số giao điểm là 780 , nên : 780 n n 1 780.2 n n 1 40.39 .
 2
Vậy n 40 .
Dạng 4. Xác định tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau
I. Phương pháp giải
 Để xác định tia, hai tia đối nhau hay trùng nhau, cần lưu ý các điều sau: 
 • Để nhận biết tia cần để ý tới gốc và phần đường thẳng bị chia ra bởi gốc.
 • Hai tia đối nhau hoặc hai tia trùng nhau đều phải có điều kiện chung gốc. Mỗi điểm nằm trên đường 
 thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.
 • Hai tia trùng nhau là hai tia chung gốc và chung phần đường thẳng bị chia ra bởi gốc.
II. Bài toán
Bài 1: Vẽ hai tia Ox , Oy đối nhau. Lấy điểm M thuộc tia Ox , điểm N và điểm K thuộc tia Oy 
sao cho N nằm giữa hai điểm O và K . Vì sao có thể khẳng định được :
a) Hai tia OM , ON đối nhau.
b) Hai tia OM , OK đối nhau.
Lời giải
a) Điểm M thuộc tia Ox ; điểm N thuộc tia Oy . Vậy tia OM trùng với tia Ox ; tia ON trùng với tia 
Oy . Do hai tia Ox , Oy đối nhau nên hai tia OM , ON đối nhau 1 
b) Điểm N nằm giữa hai điểm O và K nên hai tia ON và OK trùng nhau 2 .
Từ 1 và 2 suy ra hai tia OM , OK đối nhau.
Bài 2: Vẽ hai đường thẳng xy và mn cắt nhau tại O .
1) Kể tên các tia đối nhau.
2) Trên tia On lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Kể tên các tia trùng nhau. Bài 4: Cho điểm A thuộc đường thẳng xy . Lấy điểm OA thuộc tia Ax , điểm C thuộc tia Ay .
a) Tìm các tia đối của tia Ax .
b) Tìm các tia trùng với tia Ax .
c) Trên hình vẽ có bao nhiêu tia? (Hai tia trùng nhau chỉ kể là một tia)
Lời giải
a) Các tia đối của tia Ax là tia AC và Ay (Hai tia này chỉ là một).
b) Tia trùng với tia Ax là tia AB .
c) Trên hình vẽ có tất cả có 6 tia, đó là: Tia Bx , tia By , tia Ax , tia Ay , tia Cx , tia Cy .
Bài 5: Trên tia Ox lấy 2021 điểm khác điểm O . Có bao nhiêu tia trùng với tia Ox trong hình vẽ?
 Lời giải
Với mỗi điểm khác điểm O trên tia Ox ta được một tia gốc O trùng với tia Ox .
Do đó, trên tia Ox có 2021 điểm khác điểm O thì có 2021 tia gốc O trùng với tia Ox .
Bài 6: Cho bốn đường thẳng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Trên hình có bao nhiêu 
tia? a) Tại mỗi giao điểm A , B , C có 4 tia nên trên hình vẽ có 12 tia.
 + Các tia gốc A : Ay , Ay ' , Az , Az '.
 + Các tia gốc B : Bx , Bx ', By , By '.
 + Các tia gốc C : Cx , Cx ', Cz , Cz ' .
b) Có 6 cặp tia đối nhau:
Bx và Bx '; By và By '; Az và Az '; Ay và Ay ' ; Cx và Cx '; Cz và Cz ' .
c) Các tia trùng nhau
 + Các tia trùng nhau gốc A : AB và Ay ; AC và Az '.
 + Các tia trùng nhau gốc B : BC và Bx '; BA và By '.
 + Các tia trùng nhau gốc C : CA và Cz ; CB và Cx . 
Dạng 5. Xác định điểm nằm giữa hai điểm
I.Phương pháp giải
 Để xác định điểm nằm giữa hai điểm khác, ta sử dụng lưu ý nếu hai tia OA và OB là hai tia đối 
nhau thì điểm O nằm giữa hai điểm A và B .
II.Bài toán
Bài 1: Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B ; điểm M nằm giữa hai điểm A và O ; điểm N nằm 
giữa hai điểm B và O .
a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc O .
b) Chứng tỏ rằng điểm O nằm giữa hai điểm M và N .