Chuyên đề HSG Toán hình 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 2, Chủ đề 2: Ứng dụng tính đối xứng trong tự nhiên

 HH6. CHUYÊN ĐỀ 2 - HÌNH HỌC TRỰC QUAN
 CHỦ ĐỀ 2: ỨNG DỤNG TÍNH ĐỐI XỨNG TRONG TỰ NHIÊN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. HÌNH CÓ TÍNH ĐỐI XỨNG
- Hình có trục đối xứng còn được gọi là hình đối xứng trục. Hình có tâm đối xứng còn được gọi là hình đối 
xứng tâm. Hình có trục đối xứng hoặc có tâm đối xứng hoặc vừa có trục đối xứng, vừa có tâm đối xứng 
được gọi là hình có tính đối xứng.
- Có đường thẳng d chia hình thành hai phần, mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng d thì hai phần đó 
“chồng khít” lên nhau. Những hình như thế gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng d được gọi là trục 
đối xứng của hình đó.
- Mỗi hình có một điểm O , mà khi quay hình đó xung quanh điểm O đúng một nửa vòng thì hình thu được 
“chồng khít” với chính nó ở vị trí ban đầu (trước khi quay). Những hình như thế gọi là hình có tâm đối 
xứng và điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình đó.
- Đoạn thẳng có 1 trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn 
thẳng đó. Tâm đối xứng của đoạn thẳng chính là trung điểm của nó.
- Hình thoi có 2 trục đối xứng chính là hai đường chéo của nó. Tâm đối xứng của hình thoi là giao điểm 
của hai đường chéo.
- Hình vuông có 4 trục đối xứng, đó là hai đường chéo và mỗi đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối 
diện của hình vuông. Tâm đối xứng của hình vuông là giao điểm của hai đường chéo.
- Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng. Mỗi đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện là một trục đối 
xứng của hình chữ nhật. Tâm đối xứng của hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo.
- Hình bình hành không có trục đối xứng. Tâm đối xứng của nó là giao điểm của hai đường chéo.
- Hình tròn có vô số trục đối xứng và mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng của hình tròn. Tâm 
của hình tròn chính là tâm đối xứng của hình tròn đó.
- Hình thang cân có 1 trục đối xứng và trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình 
thang cân. Hình thang cân không có tâm đối xứng.
- Tam giác đều có 3 trục đối xứng. Mỗi trục đối xứng là đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và trung 
điểm của cạnh đối diện trong tam giác đó. Tam giác đều không có tâm đối xứng.
- Hình lục giác đều có 6 trục đối xứng và trục đối xứng là các đường thẳng đi qua một cặp đỉnh đối diện 
và các đường thẳng đi qua các trung điểm của một cặp cạnh đối diện. Tâm đối xứng của hình lục giác đều 
là giao điểm của các đường chéo chính. - Trong nghệ thuật, trang trí hầu hết thiết kế về kiến trúc, đồ họa hay một tác phẩm nghệ thuật đều phải 
thực hiện tốt yếu tố cân bằng. Vì thế, bố cục đối xứng thường được sử dụng trong các tác phẩm nghệ thuật 
hay kiến trúc.
- Trong thiết kế, công nghệ, chúng ta cũng dễ dàng nhận ra các bố cục có tính đối xứng. Các công trình hay 
máy móc muốn tồn tại, ổn định, bền vững và có được vẻ đẹp, bắt mắt thì phải chú trọng đến tính cân xứng.
- Đối xứng là công cụ chủ yếu để kết nối giữa toán học với khoa học và nghệ thuật.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Xác định tính đối xứng của một hình trong tự nhiên
I. Phương pháp giải
- Để xác định tính đối xứng của một hình, ta cần xác định trục đối xứng hoặc tâm đối xứng của hình đó.
- Để xác định trục đối xứng của một hình, ta xác định một đường thẳng d chia hình thành hai phần mà nếu 
“gấp” hình theo đường thẳng d thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau.
- Để xác định tâm đối xứng của một hình, ta xác định một điểm O , mà khi quay hình đó xung quanh điểm 
O đúng một nửa vòng thì hình thu được “chồng khít” với chính nó ở vị trí ban đầu (trước khi quay).
II. Bài toán
Bài 1: Trong bảng các chữ cái in hoa, hãy chỉ ra các chữ cái có đối xứng trục thẳng đứng, các chữ cái có 
đối xứng trục nằm ngang, các chữ cái có hai trục đối xứng, các chữ cái có tâm đối xứng. Xác định các trục 
đối xứng, tâm đối xứng của nó.
Lời giải:
- Các chữ cái có đối xứng trục thẳng đứng là: A, Ă, Â, W, T, Y, U, I, O, Ô, H, X, V, M.
- Các chữ cái có đối xứng trục nằm ngang là: E, I, O, D, H, X, C, B, K.
- Các chữ cái có hai trục đối xứng là: I, O, H, X. Lời giải:
- Các động vật đối xứng hai bên là: hổ, rùa, châu chấu, chim, cá.
- Các động vật đối xứng tỏa tròn là: thủy tức, sao biển, san hô, sứa, hải quỳ.
- Các động vật không đối xứng là: bọt biển, placozoa.
Nhận xét: 
- Các động vật có biểu hiện đối xứng song phương (đối xứng hai bên) thường có vùng đầu và đuôi (trước 
và sau), trên và dưới (lưng và bụng) và hai bên trái và phải. Hầu hết đều có một bộ não nằm ở đầu, là một 
phần của hệ thần kinh phát triển tốt và thậm chí có thể có cả bên phải và bên trái. Ngoài việc có một hệ 
thống thần kinh phát triển hơn, động vật đối xứng hai bên có thể di chuyển nhanh hơn so với động vật có 
cơ thể khác. Cơ thể đối xứng hai bên này giúp động vật tìm kiếm thức ăn hoặc thoát khỏi những kẻ săn mồi 
tốt hơn.
- Nhiều loài động vật, kể cả con người, thể hiện tính đối xứng hai bên. Ví dụ, việc chúng ta có mắt, cánh 
tay và chân ở cùng một vị trí trên mỗi bên của cơ thể khiến chúng ta đối xứng song phương.
Bài 3: Trong hội họa, các nhà thiết kế cũng đã ứng dụng tính đối xứng để thiết kế các hoa văn trang trí, để 
thể hiện sự cân đối, hài hòa, mang tính thẩm mĩ. Xác định trục đối xứng và tâm đối xứng của các hình sau. Chùa Thiên Mụ Nhà thờ Đức Bà
 Văn miếu Quốc Tử Giám Cố đô Huế
 Lăng Khải Định Di tích Đồng Khởi Bến Tre
Lời giải: Hình 1 Hình 2 Hình 3
 Hình 4 Hình 5 Hình 6
Lời giải:
- Hình có tâm đối xứng là: hình 1, hình 4.
- Hình có trục đối xứng là: hình 1, hình 3, hình 4.
- Ý nghĩa:
Dạng 2: Vẽ hình có tính đối xứng và ứng dụng tính đối xứng trong tự nhiên. 
I. Phương pháp giải
- Vận dụng tính đối xứng trục và đối xứng tâm để vẽ thêm phần còn lại của 1 hình khi biết một nửa của nó.
- Sưu tầm những hình ảnh thực tế liên qua đến tính đối xứng để thấy được tính đa dạng của đối xứng trong 
tự nhiên và tìm hiểu ý nghĩa của đối xứng trong cuộc sống.
- Để cắt một chữ cái có trục đối xứng ta có thể gấp đôi tờ giấy theo trục đối xứng ấy để cắt. Khi đó ta chỉ 
phải cắt một nửa chữ cái và nhận được chữ cái khi mở ra. Bài 3: Vẽ hình đối xứng của các hình sau qua trục đối xứng d .
Lời giải:
Bài 4: Vẽ hình đối xứng với hình sau qua tâm O .
Lời giải: Bài 6: Vẽ hình đối xứng với hình sau lần lượt qua trục đối xứng d và qua tâm I .
Lời giải: Bài 8: Vẽ hình đối xứng với hình sau lần lượt qua trục đối xứng d và qua trục đối xứng d '.
Lời giải: * Nhận xét: Nét đứt trong hình đóng vai trò là trục đối xứng. Nhờ tính đối xứng tạo nên sự công bằng về 
khoảng cách của hai đội chơi.
Bài 10: Em hãy ứng dụng tính đối xứng để cắt chữ A, H, V bằng giấy.
Lời giải:
a) Chữ A
Bước 1: Chuẩn bị một mảnh giấy hình chữ nhật kích thước 3cmx5cm . Gấp đôi mảnh giấy như H1.1b.
Bước 2:Vẽ theo hình 1.1c rồi cắt theo nét vẽ , sau đó mở ra ta được chữ A (H1d).
b) Chữ H Lời giải:
- Hình 2a là chữ T.
- Hình 2b là chữ M.
- Hình 2c là chữ E.
Bài 12: Ứng dụng tính đối xứng em hãy gấp giấy và cắt để được hình dưới đây.
Lời giải:
Bước 1: Chuẩn bị một mảnh giấy hình vuông kích thước 4cmx4cm . Gấp đôi mảnh giấy hai lần sao cho 
các cạnh đối diện của nó trùng lên nhau (H3a)
Bước 2: Vẽ theo hình (H3b) rồi cắt theo nét vẽ, sau đó mở ra ta được hình (H3c) Theo quy luật xoay như trên lần xoay thứ tư sẽ quay trở về hình ban đầu, như vậy lần quay thứ năm sẽ 
giống lần xoay thứ nhất, lần xoay thứ sáu sẽ giống lần xoay thứ hai. Vậy sau sáu lần quay bạn ấy nhận được 
hình có dạng hình e
Bài 14: (Bài toán điền số do Philippine đề nghị trong kỳ thi IMSO 2019 dành cho học sinh 11-12 tuổi giải 
trong vòng 3 phút)
Alex và Betty đứng đối diện nhau, trên nền đất ở giữa họ có một dãy các số và các dấu cộng như hình dưới 
đây. Do vị trí nhìn khác nhau nên Alex và Betty nhìn thấy hai phép toán khác nhau. Ta có thể điền hai chữ 
số vào hai ô vuông trống sao cho kết quả của hai phép toán này là như nhau. Hỏi kết quả đó là bao nhiêu?
Lời giải:
Phép toán Alex thấy: 89 16 69 6a b8 88 .
Phép toán Betty thấy: 88 8b' a '9 69 91 68, với a khi lật ngược lại thành a ' và b khi lật ngược lại 
thành b' . Suy ra a,a ',b,b' 0;1;6;8;9 .
Nhìn hai phép toán trên, ta thấy đều có 88 và 69 nên ta loại ra trước. Với các số hạng còn lại thì
Dễ dàng nhận ra 4 bộ số này có các số giống nhau, suy ra a 1; a ' 1; b 9 ; b' 6 .
Phép toán Alex thấy: 89 16 69 61 98 88 421.
Phép toán Betty thấy: 88 86 19 69 91 68 421.
Vậy kết quả đó là 421.
Nhận xét: Ta cũng có thể chỉ dựa vào bộ 4 chữ số tận cùng Alex nhìn thấy và bộ 4 chữ số tận cùng Betty 
nhìn thấy để suy ra 2 bộ số này giống nhau, suy ra a 1; b' 6 , rồi từ đó suy ra a ' 1; b 9 . Bài 16: Điền số vào các ô trống sau với quy luật đã cho, biết các ô ngoài cùng bên trái và các ô ngoài cùng 
bên phải điền số 1. Em có nhận xét gì về các số đã điền?
 a b
 c = a + b
 c
Lời giải:
 1
 1 1
 1 2 1
 1 3 3 1
 1 4 6 4 1
 1 5 10 10 5 1
 1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1
 1 8 28 56 70 56 28 8 1
 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
- Nhận xét: Giá trị của các số trên cùng một hàng đối xứng với nhau.
- Chú ý: Có thể lập vô số hàng dãy số tương tự trong tam giác trên, tam giác này còn được gọi là tam giác 
Pa-xcan (Pascal).