Chuyên đề HSG Toán hình 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 1, Chủ đề 6: Hình thang cân

 HH6.CHUYÊN ĐỀ 1-MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN
 CHỦ ĐỀ 6: HÌNH THANG CÂN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. HÌNH THANG CÂN
- Hình thang cân có:
 Hai cạnh bên bằng nhau.
 Hai đường chéo bằng nhau.
 Hai đáy song song với nhau.
 Hai góc kề một đáy bằng nhau.
2. CHU VI VÀ DIỆN TÍCH HÌNH THANG
Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh của hình thang đó. 
 C AB BC CD DA
Diện tích hình thang bằng tổng độ dài hai cạnh đáy nhân với chiều cao rồi chia đôi.
 AB CD . AH
 S 
 2
*) Chú ý 1: Cho hình thang ABCD như hình vẽ bên dưới 
Hình thang cân ABCD có 
 • Hai cạnh đáy AB, CD song song với nhau
 • Hai cạnh bên bằng nhau: AD BC
 • Hai đường chéo: AC BD
 • Hai góc kề với cạnh đáy AB bằng nhau tức là góc DAB và góc CBA bằng nhau, 
 hai góc kề với cạnh đáy CD bằng nhau tức là góc ADC và góc BCD bằng nhau. 
II.Bài toán
Bài 1: Trong các hình sau, hình nào là hình thang cân? Vì sao
Lời giải:
Hình 3 là hình thang cân vì có hai đường chéo bằng nhau, hai góc kề một đáy bằng nhau.
Bài 2: Cho hình vẽ sau, biết các đoạn thẳng MN, PQ, EF song song với nhau, MP NQ , PE QF . Có 
bao nhiêu hình thang cân? Kể tên các hình thang cân đó. 
Lời giải: 
 Tứ giác MNQP là hình thang cân vì tứ giác MNQP có HÌNH 1 HÌNH 2 HÌNH 3 HÌNH 4
Lời giải:
 Hình 4 có mặt bàn là hình thang cân 
Bài 5: 
Cho hình thang cân ABCD có hai cạnh AB, CD song song với nhau, biết góc ADC bằng 60o , Tính số đo 
góc BCD .
Lời giải:
Hình thang cân ABCD có hai góc kề với cạnh đáy CD bằng nhau tức là góc ADC và góc BCD bằng 
nhau.
.
Mà góc ADC bằng 60o nên số đo góc BCD bằng 60o .
Bài 6: Nêu tên cạnh đáy, cạnh bên, các góc bằng nhau của hình thang cân ABCD 
Lời giải:
- Cạnh đáy AB; CD.
- Cạnh bên AD;BC.
- Các góc bằng nhau góc ADC bằng góc BCD, góc BAD bằng góc ABC 
Bài 7: Cho hình lục giác đều ABCDEF như hình vẽ. Hãy quan sát và cho biết có bao nhiêu hình thang cân 
trong hình vẽ, đọc tên các hình thang cân đó. H
Chiều cao CH của tam giác BEC (hay chiều cao của hình thang AECD ) là: 114.2 :12 19 (m) .
Tổng độ dài hai đáy của hình thang là: 34.2 68 (m) .
Diện tích ban đầu của hình thang ABCD là: 68.19 : 2 646 (m2 ) .
Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB là 27 cm , đáy lớn CD là 48 cm . Nếu kéo dài đáy nhỏ thêm 
5 cm thì được diện tích của hình thang tăng thêm 40 cm2 . Tính diện tích hình thang đã cho.
Lời giải
 H
Chiều cao CH của tam giác BEC (hay chiều cao của hình thang AECD ) là: 40.2 : 5 16 (m) .
 (27 48).16
Diện tích ban đầu của hình thang ABCD là: S 600 (m2 ).
 2
Bài 3: Cho một hình thang vuông có đáy lớn dài 18 m , chiều cao 6 m . Nếu kéo dài đáy bé về một phía để 
trở thành hình chữ nhật thì diện tích tăng thêm 12 m2 . Tìm diện tích của hình thang.
Lời giải: A B
 K
 O
 H
 C
 D I
Hai tam giác ABC và ADC có đường cao bằng nhau nên tỉ số diện tích sẽ bằng tỉ số hai cạnh đáy 
 S AB 2
 ABC 
 SADC CD 3
 S 2 BH
Hai tam giác ABC và ADC có chung cạnh đáy AC ABC 
 SADC 3 DK
Hai tam giác BOC và DOC có chung cạnh đáy OC
 SDOC DK 3 SDOC 3 3 2
 SDOC .15 22,5 (cm )
 SBOC BH 2 15 2 2
 2
 SBDC 15 22,5 37,5 (cm )
 SBAD AB 2 SBAD 2 2 2
Mà SBAD .37,5 25 (cm )
 SBCD CD 3 37,5 3 3
 2
Vậy SABCD 25 37,5 62,5 (cm ) .
Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và DC , MA MC ( M AC ); MN//BD ( N CD ). Chứng 
minh rằng đoạn thẳng BN chia hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
Lời giải: 
 1
Cần chứng minh S S
 ABND 2 ABCD
Do BDNM là hình thang SMBD SNBD
SMBD SABD SNDB SABD Hai tam giác AKO và BKO lại có chung cạnh KO và chiều cao hạ từ A xuống KO bằng chiều cao hạ từ 
B xuống KO .
Hai tam giác AKI và BKI lại có chung cạnh KI và chiều cao hạ từ A bằng chiều cao hạ từ B xuống KO 
( KI ) SAKI SBKI .
SAIKD SADK SAKI
SBIKC SBCK SBKI
 SAIKD SBIKC .
Bài 8: Cho hình thang ABCD có hai đáy BC và AD , M là trung điểm của BC , E là trung điểm của AD . 
Hai đoạn thẳng AM và BE cắt nhau tại K , hai đoạn thẳng MD và CE cắt nhau tại N (như hình vẽ). Biết 
diện tích hình tam giác ABK bằng 5 cm2 , diện tích hình tam giác CND bằng 3 cm2 . Tính diện tích hình 
tứ giác EKMN .
Lời giải 
Ta có: SABM SBME V× cïng chung ®¸y BM, chiÒu cao b»ng nhau 
SABM SABK SBMK  2
  SABK SKME 5 (cm )
SBME SKME SBMK 
Ta có: 
SMCE SMCD V× cïng chung ®¸y MC, chiÒu cao b»ng nhau 
 SMCE SENM SMNC  2
Mµ :  SENM SCND 3 (cm )
 SMCD SCND SMNC 
 2
 SEKMN SENM SKME 3 5 8 (cm ) .
Bài 9: Cho hình thang ABCD có hai đáy BC và DA . Điểm M là điểm chính giữa các cạnh BC, điểm E 
là điểm chính giữa cạnh AD . Hai đoạn thẳng AM và BE cắt nhau tại K , hai đoạn thẳng MD và CE cắt 
nhau tại N . Hãy so sánh diện tích các hình thang AMCE, BMDE và ABCD .
 Lời giải: Vì sau khi cắt ghép thì hình thang ABCD biến thành tam giác NEF nên:
- Diện tích hình thang ABCD bằng diện tích hình tam giác NEF . Bởi vì M là trung điểm của NE nên 
diện tích tam giác MNQ bằng diện tích tam giác MEQ hay S1 S2 S6 .
- Tương tự: S3 S4 S5 .
- Suy ra: S1 S2 S3 S4 S5 S6 .
Vậy diện tích tứ giác MNPQ bằng một nửa diện tích hình tam giác NEF và do đó bằng một nửa diện tích 
hình thang ABCD .
Cách 2: 
Vì M là trung điểm của AB nên diện tích tam giác AMD bằng một nửa diện tích tam giác ABD .
Vì Q là trung điểm của AD nên diện tích tam giác AMQ bằng một nửa diện tích tam giác AMD .
 1
Vậy diện tích S bằng diện tích hình tam giác ABD .
 1 4
 1
Giải thích tương tự, ta thấy S bằng diện tích hình tam giác BCD .
 3 4
 1
Suy ra S S bằng diện tích hình thang ABCD .
 1 3 4
 B N C
 2
 M P
 4
 A Q D
 1
Giải thích tương tự ta thấy S S (xem hình vẽ ở cách 1) bằng diện tích hình thang ABCD .
 2 4 4
 1 1
Vậy S S S S bằng diện tích hình thang ABCD . Suy ra diện tích hình MNPQ bằng diện tích 
 1 2 3 4 2 2
hình thang ABCD .
Bài 11: Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở O . Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh của hình thang đó. 
 C AB BC CD DA
Diện tích hình thang bằng tổng độ dài hai cạnh đáy nhân với chiều cao rồi chia đôi.
 AB CD . AH
 S 
 2
II.Bài toán
Bài 1: Một chiếc bàn khung thép được thiết kế như hình dưới đây. Mặt bàn là hình thang cân có hai đáy lần 
lượt là 1200 mm , 600 mm và cạnh bên 600 mm . Chiều cao bàn là 730 mm . Hỏi làm một chiếc khung bàn 
nói trên cần bao nhiêu mét thép (coi mối hàn không đáng kể).
Lời giải:
Số mét thép cần dùng làm khung mặt bàn là: P1 1200 600 2.600 3000 (mm) .
Số mét thép cần dùng làm chân bàn là: P2 4.730 2920 (mm) .
Vậy tổng số mét thép cần dùng làm khunng bàn là: 
 P P1 P2 3000 2920 5920 (mm) 5,92 (m) .
Bài 2: Một thửa ruộng có dạng như hình dưới đây. Nếu trên mỗi mét vuông thu hoạch được 0,8 kg thóc thì 
thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc. Lời giải:
 54 72 .45
Diện tích của mái hiên là: S 2835 dm2 .
 2
 2835.150000
Chi phí để làm hiên nhà là: 47 250 000 (®ång).
 9
Bài 5: Một mảnh vườn có hình dạng như hình bên dưới. Để tính diện tích mảnh vườn, người ta chia nó 
thành hình thang cân ABCD và hình bình hành ADEF có kích thước như sau: BC 30m ; AD 42m ; 
BM 22m ; EN 28m . Hãy tính diện tích mảnh vườn này.
Lời giải:
 30 42 .22 2
Diện tích hình thang cân ABCD là: S1 792 m .
 2
 2
Diện tích hình bình hành ADEF là: S2 42.28 1176 m .
 2
Vậy tổng diện tích mảnh vườn là: S S1 S2 792 1176 1968 m .
Bài 6: Thân đê kè bờ sông thường có dạng một hình thang cân để tạo nên sự cân đối, bền vững khi chịu áp 
lực rất lớn của nước. Mặt cắt một bờ đê có dạng hình thang cân mà bề rộng thân đê phía mặt trên là 10m, 
chân đê có độ rộng 25m, đê cao 5m. Mặt cắt của bờ đê được biểu diễn như hình vẽ bên. Em hãy tìm diện 
tích của phần mặt cắt đó?