Chuyên đề HSG Toán hình 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 1, Chủ đề 3: Hình chữ nhật

 CHUYÊN ĐỀ 1 – MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN
 CHỦ ĐỀ 3: HÌNH CHỮ NHẬT
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Một số tính chất của hình chữ nhật
 M N
 Q P
Hình chữ nhật MNPQ có: 
 * Hai cạnh đối bằng nhau: MN PQ;MQ NP
 * Hai cạnh đối MN và PQ song song với nhau; MQ và NP song song với nhau.
 * Hai đường chéo bằng nhau: MP NQ .
 M,N,P,Q
 * Bốn góc ở các đỉnh đều là góc vuông.
2. Công thức tính chu vi, diện tích của hình chữ nhật
 Hình chữ nhật có chiều dài là a và chiều rộng là b , ta có:
 * Chu vi hình chữ nhật: C 2 a b 
 * Diện tích hình chữ nhật: S ab
Chú ý: 
 * Nếu chiều dài tăng n lần, chiều rộng không đổi thì diện tích hình chữ nhật tăng lên n lần.
 * Nếu chiều rộng tăng lên n lần, chiều dài không đổi thì diện tích hình chữ nhật tăng lên n lần.
 * Nếu chiều dài và chiều rộng tăng lên n lần thì diện tích hình chữ nhật tăng n2 lần. 
 * Nếu một chiều tăng n lần, chiều kia giảm n lần thì diện tích hình chữ nhật không đổi.
 * Nếu chiều dài của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều rộng không đổi thì chu vi tăng 
thêm 2m (đvđd). 
 * Nếu chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều dài không đổi thì chu vi tăng 
thêm 2m (đvđd). 
 * Nếu chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều dài giảm đi m (đvđd) thì chu vi 
không đổi. Vì đám đất hình chữ nhật có diện tích từ 60cm2 đến 80cm2 nên 60 3a2 80
 80
 20 a2 27 a2 5 hay a 5
 3
Chu vi đám đất là 2. 3.5 5 40 m 
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi 100cm ( AB AD ). Lấy điểm M trên cạnh AB , điểm N 
trên cạnh CD sao cho AMND là hình vuông còn BMNC là hình chữ nhật có chu vi 60cm .
a) Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD
b) Tính diện tích tam giác DMC
 Lời giải:
a) Nửa chu vi hình chữ nhật ABCD là AB BC 100 : 2 50 cm 
Nửa chu vi hình chữ nhật BMNC là BM BC 60 : 2 30 cm 
Suy ra AB BC BM BC 20 hay AM 20(cm)
Chiều rộng hình chữ nhật ABCD là AD AM 20(cm) (do AMND là hình vuông)
Chiều dài hình chữ nhật ABCD là AB 50 20 30(cm)
b) Ta có MN AM 20(cm) (do AMND là hình vuông)
 DC AB 30(cm) (do ABCD là hình chữ nhật)
Diện tích tam giác DMC là 30.20 : 2 300 (cm2 )
Bài 4: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45m thì được 
chiều dài của hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính chu vi hình chữ nhật ban 
đầu. 
 Lời giải:
Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a 0
Vì chiều dài gấp 4 chiều rộng nên chiều dài là 4.a (m)
Chiều rộng mới là a 45(m)
Khi tăng chiều rộng thêm 45m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn 
chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới.
Theo đề bài thì hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng (tức là chiều dài cũ) nên ta có 
 a 45 4.4a
 a 45 16a
 15a 45 hay a 3 Số ô vuông của hình chữ nhật MNPQ là: 6.4 24 (ô vuông)
Vì 48: 24 2 (lần) nên hình chữ nhật MNPQ có diện tích đúng bằng diện tích hình cắt đi. Mặt khác 
các cạnh của hình chữ nhật MNPQ song song và cách đều các cạnh tương ứng của miếng bìa ABCD . 
Vì vậy hình MNPQ đúng là hình chữ nhật bị cắt đi. Mỗi cặp cạnh tương ứng của hìnhA BCD và MNPQ 
cách nhau 5cm .
Bài 7: Cho một hình chữ nhật, biết nếu tăng chiều dài, chiều rộng mỗi chiều 2 cm thì diện tích hình chữ 
nhật tăng thêm 50cm2 . Tìm chu vi hình chữ nhật ban đầu. 
 Lời giải:
Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (cm), b (cm) . 
Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab(cm2 )
Diện tích sau khi tăng mỗi chiều 2 cm là (a 2)(b 2) ab 2a 2b 4(cm2 )
 2
Theo bài ra chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm 2 cm thì diện tích tăng thêm 50cm 
nên: 2a 2b 4 50 2 a + b = 46 
Vậy chu vi hình chữ nhật ban đầu là 46 cm.
Dạng 2: Các bài toán về diện tích hình chữ nhật.
I. Phương pháp giải
 * HS nắm chắc công thức diện tích của hình chữ nhật.
 * HS phân tích kĩ đề bài để tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong đề.
 * HS vận dụng tốt tính chất tỉ số diện tích của hai tam giác có cùng chiều cao (chiều cao bằng 
nhau) hoặc cùng cạnh đáy (cạnh đáy bằng nhau).
II. Bài toán
Bài 1: Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 180 m2 , chu vi 58 m . Hãy tính chiều dài và chiều rộng 
mảnh đất đó (biết số đo các cạnh là số tự nhiên)?
 Lời giải:
Cách 1:
 Ta có tổng của chiều rộng và chiều dài là: 58 : 2 29 m 1
 Ta phân tích diện tích hình chữ nhật thành tích của số đo chiều rộng và chiều dài được như sau:
180 = 1.180 = 2.90 = 3.60 = 4.45 = 5.36 = 6.30 = 9.20 = 10.18 = 12.15 2
 Dùng phương pháp đối chiếu, từ 1 ta thấy tổng số đo của chiều rộng và chiều dài là 29m , đem 
đối chiếu với kết quả cặp số đo chiều rộng và chiều dài ở 2 ta thấy cặp số 9 và 20 thỏa mãn yêu cầu.
 Như vậy chiều rộng là 9m ; chiều dài là 20m .
Cách 2:
Gọi số đo chiều rộng là a m ; số đo chiều dài là b m a,b ¥ ,a b 
Theo đề bài ta có: a b 58: 2 29 1 , suy ra 0 a 15; 14 b 29 Diện tích của hình chữ nhật là: 12.18 = 216 m2 .
Bài 4: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Nếu mỗi chiều tăng thêm 1 m thì được hình 
chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 26 mét vuông. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu.
 Lời giải:
Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (m), b (m) . 
Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab (m2 )
Diện tích sau khi tăng mỗi chiều 1 m là (a 1)(b 1) ab a b 1 (m2 )
 2
Theo bài ra chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm 1m thì diện tích tăng thêm 26 m nên
a + b +1 = 26 a + b = 25 
Theo bài ra: a = 1,5.b 1,5b + b = 25 2,5b = 25 b = 10
Từ đó a = 15 
Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 15 m và 10 m .
 MB
Bài 5: Tính tỉ số diện tích hình MBND với hình chữ nhật ABCD . Biết AM , BN = NC .
 3
 Lời giải:
 SABCD
Ta có SABD SCBD . 
 2
 MB 3 3 1 3
Ta có AM S .S  S S 
 3 MBD 4 ABD 4 2 ABCD 8 ABCD
 1 1 1 1
Tương tự BN NC S .S  S S
 NBD 2 CBD 2 2 ABCD 4 ABCD
 1 3 5
 SDMBN SMBD S S S
 CBD 4 8 ABCD 8 ABCD
 S 5
Vậy DMBN .
 SABCD 8
Bài 6: Một miếng bìa hình vuông cạnh 24cm . Cắt miếng bìa đó dọc theo một cạnh ta được hai hình chữ 
 4
nhật có tỉ số chu vi là . Tìm diện tích mỗi hình chữ nhật đó.
 5
 Lời giải: Lời giải:
Diện tích mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích mảnh trồng rau mà hai mảnh có chung một cạnh nên cạnh 
còn lại của mảnh trồng ngô gấp 6 lần cạnh còn lại của mảnh trồng rau. 
Gọi cạnh còn lại của mảnh trồng rau là a (m) thì cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là 6a (m). 
Chu vi mảnh trồng rau là 2 a 5 (m) 
Chu vi mảnh trồng ngô là 2 6a 5 (m) 
Vì chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau nên 2 6a 5 4.2 a 5 
 12a 10 8a 40 4a 30 a 7,5
Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng rau là: 7,5 (m)
Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là: 7,5.6 45 (m) 
Diện tích thửa ruộng ban đầu là: 7,5 45 .5 262,5 (m 2 ) .
Bài 9: Một tờ giấy hình chữ nhật được gấp theo đường chéo như hình vẽ. Diện tích hình nhận được bằng 
5
 diện tích hình chữ nhật ban đầu. Biết diện tích phần tô màu là 18 cm2 . Tính diện tích tờ giấy ban đầu. 
8
 Lời giải:
Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo (đường nét đứt) thì phần hình tam giác được tô màu bị 
xếp chồng lên nhau. Do đó diện tích hình chữ nhật ban đầu lớn hơn diện tích hình nhận được chính là 
diện tích tam giác được tô màu. 
 5 3
Diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm đi bằng 1 diện tích hình chữ nhật ban đầu. 
 8 8
 3 3
Do vậy diện tích tam giác tô màu bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu, hay diện tích hình chữ 
 8 8
nhật ban đầu bằng 18cm2 . 
 3
Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 18: 48 (cm2 ) 
 8 Ta có AN AB KN BK , vì AB KN 120 : 2 60 (m) ; BK 10 (m) nên AN 70 (m) . Vậy 
 2
diện tích phần mới mở thêm là: 70.10 700 (m ) . 
Bài 12: Một mảnh đất hình chữ nhật được chia thành 4 hình chữ nhật nhỏ hơn có diện tích được ghi 
như hình vẽ. Tính diện tích hình chữ nhật còn lại .
 Lời giải:
Hai hình chữ nhật AMOP và MBQO có chiều rộng bằng nhau và có diện tích hình MBQO gấp 3 lần 
diện tích hình AMOP ( 24 gấp 8 là 3 lần), do đó chiều dài hình chữ nhật MBQO gấp 3 lần chiều dài 
hình chữ nhật AMOP OQ 3.PO (1) .
Hai hình chữ nhật POND và OQCN có chiều rộng bằng nhau và có chiều dài hình OQCN gấp 3 lần 
chiều dài hình POND (do (1) ). Do đó diện tích hình OQCN gấp 3 lần diện tích hình POND . 
Vậy diện tích hình chữ nhật OQCN là: 16.3 48 (cm 2 ) . 
Bài 13: Một vườn trường hình chữ nhật có chu vi 360m . Tính diện tích của mảnh vườn đó biết nếu xóa 
chữ số 1 ở bên trái số đo chiều dài ta được số đo chiều rộng.
 Lời giải:
Vì xóa chữ số 1 ở bên trái số đo chiều dài ta được số đo chiều rộng nên chiều dài hơn chiều rộng là 
100m
Nửa chu vi hình chữ nhật là 360 : 2 180(m)
Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a 0 thì chiều dài hình chữ nhật là a 100 (m)
Ta có a a 100 180
 2a 100 180
 2a 80 hay a 40
Diện tích của mảnh vườn là 40(100 40) 5600 (m 2 )
Bài 14: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu giảm chiều dài đi 28 m , 
tăng chiều rộng thêm 10 m thì khu vườn đó trở thành hình vuông. Tính diện tích khu vườn ban đầu.
 Lời giải:
Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a 0
Vì chiều dài gấp ba chiều rộng nên chiều dài là 3.a (m)
Vì giảm chiều dài đi 28m nên chiều dài mới là 3.a 28 (m)
Vì tăng chiều rộng thêm 10 m nên chiều rộng mới là a 10 (m)