Chuyên đề HSG Toán hình 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 1, Chủ đề 1: Hình tam giác đều, hình lục giác đều

 HH6.CHUYÊN ĐỀ 1-MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TẾ
 CHỦ ĐỀ 1: HÌNH TAM GIÁC ĐỀU, HÌNH LỤC GIÁC ĐỀU
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. TAM GIÁC ĐỀU
Trong tam giác đều có: 3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60
 ABC đều có: AB BC AC ; µA Bµ Cµ 60 .
2. LỤC GIÁC ĐỀU
Hình lục giác đều có: 6 cạnh bằng nhau, 6 góc bằng nhau và mỗi góc bằng 120
Hình lục giác đều ABCDEF có: AB BC CD DE EF ; 6 góc ở đỉnh A, B,C, D, E, F bằng nhau và 
bằng 120.
Ba đường chéo chính bằng nhau: AD BE CF .
Ba đường chéo chính cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường:
OA OB OC OD OE OF .
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
1. Tam giác đều
Bài 1. Trình bày cách vẽ tam giác đều ABC có cạnh 4cm bằng thước thẳng và compa. Tính chu chu vi 
của tam giác vừa vẽ được?
Lời giải
* Để vẽ tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4cm bằng thước thẳng và compa, ta làm như sau: 1 2 3
Bước 1: Gấp hình theo hình 1
Bước 2: Gấp tiếp hình theo hình 2
Bước 3: Cắt theo đường gạch đỏ hình 3 ta được một tam giác đều.
Bài 4. Vẽ tam giác đều DEF có cạnh 6cm . Gọi M là điểm chính giữa cạnh DE , N là điểm chính giữa 
cạnh EF , P là điểm chính giữa cạnh DF .
a) Hãy kiểm tra xem tam giác MNP là tam giác gì? Tính chu vi tam giác MNP ?
b) Tính tỉ số giữa chu vi tam giác MNP và chu vi tam giác DE.F
Lời giải
 D
 M P
 E N F
a) Dùng thước thẳng (hoặc compa) kiểm tra ta thấy: MP PN MN nên tam giác MNP là tam giác đều.
Tương tự ta cũng kiểm tra được tam giác EMN cũng là tam giác đều nên MN NE EM .
 1 1
Vì M là điểm chính giữa của cạnh ED nên EM ED .6 3cm MN 3cm.
 2 2
Vậy chu vi tam giác MNP là 3.3 9 cm .
b) Ta có chu vi tam giác DEF là 6.3 18 cm .
 9 1
Suy ra, tỉ số giữa chu vi tam giác MNP và chu vi tam giác DE.F là .
 18 2 M A P
 D F
 C
 B E
 Q
Lời giải
a) Dùng thước thẳng (hoặc compa) kiểm tra ta thấy: DE EF DF , MP PQ MQ nên các tam giác 
DEF, MPQ là các tam giác đều.
 1 1
b) Ta có AD AB nên C C .
 2 DEF 2 ABC
 1 1
 AB MQ nên C C 
 2 ABC 2 MPQ
 1
 Ta suy ra C C hay C 4.C
 DEF 4 MPQ MPQ DEF
 Mà CDEF 9cm
 Vậy CMPQ 9.4 36 cm . 
2. LỤC GIÁC ĐỀU:
Dạng 1: Vẽ hình lục giác đều và một số yếu tố cơ bản của hình lục giác đều:
I. Phương pháp giải:
- Dựa vào cách vẽ một tam giác đều khi biết độ dài cạnh các cạnh của nó, để vẽ hình lục giác đều có độ dài 
cạnh xác định bằng thước và compa, hoặc bằng êke và compa.
- Dựa vào cách ghép sáu tam giác đều để tạo ra hình lục giác đều.
II. Bài toán:
Bài 1: Nêu cách tạo ra lục giác đều từ một miếng bìa? 
Lời giải:
Bước 1: Cắt miếng bìa đã cho thành sáu hình tam giác đều có cạnh bằng nhau. b) Hình lục giác đều MNPQRH có:
Sáu đỉnh là M , N, P, Q, R, H .
Sáu cạnh là MN, NP, PQ, QR, RH .
Sáu góc đỉnh M , N, P, Q, R, H .
Ba đường chéo chính là MQ, NR, PH
c) Theo cách vẽ trên ta có các tam giác đều OMN, ONP, OPQ, OQR, ORH, OHM vậy:
 MN NP PQ QR RH HM 4 cm 
M· NP N· PQ P· QR Q· RH R· HM H· MN 1200
MQ = MO+OR = 4+4 = 8 (cm); 
NR NO OR = 4+4 = 8 (cm); 
PH = PO+OH = 4+4 = 8 (cm);
Bài 3. Trình bày cách vẽ tam giác đều OAB có cạnh 5cm bằng thước ê kê có góc bằng 60. Từ đó nêu 
cách vẽ hình lục giác đều ABCDEF ?
Lời giải
* Để vẽ tam giác đều OAB có độ dài cạnh bằng 5cm bằng thước ê kê có góc 60, ta làm như sau:
Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB 5cm (dùng thước thẳng)
Bước 2: Vẽ góc BAx bằng 60 (dùng ê kê có góc 60)
Bước 3: Vẽ góc ABy bằng 60 (dùng ê kê có góc 60). Hai tia Ax và By cắt nhau tại O . 
Bước 4: Nối O với A , O với B ta được tam giác đều OAB . Bài 5: Trong các hình dưới đây, hình nào là hình lục giác đều.
 Hình 1 Hình 2 Hình 3 
 Hình 4 Hình 5
Lời giải:
Hình 1: Hình sáu cạnh PQRHKL không phải là lục giác đều vì các cạnh không bằng nhau.
Hình 2: Hình sáu cạnh ABCDGH không phải là lục giác đều vì các góc không bằng nhau.
Hình 3: Hình sáu cạnh EFIJKL là lục giác đều vì có 6 cạnh bằng nhau, 6 góc bằng nhau.
Hình 4: Đa giác ABCDEF không phải lục giác đều vì các cạnh không bằng nhau, các góc không bằng nhau.
Hình 5: Đa giác ABCDNM không phải là lục giác đều vì các cạnh không bằng nhau, các góc không bằng 
nhau.
Dạng 3: Tính chu vi, diện tích của hình lục giác đều
I.Phương pháp giải:
Thông qua công thức tính chu vi, diện tích của hình tam giác đều hoặc các hình tứ giác đã học ở tiểu học 
để tính chu vi, diện tích của hình lục giác đều.
Tính chu vi, diện tích của hình lục giác đều khi biết độ dài một cạnh của nó.
II.Bài toán:
Bài 6: Cho hình lục giác đều ABCDEF như hình sau, biết OA 6 cm , BF 10,4 cm .
a) Tính chu vi hình lục giác đều ABCDEF . 
b) Tính diện tích hình lục giác đều ABCDEF Lời giải: Các hình lục giác đều trong thực tế: nước Pháp trên bản đồ có hình lục giác đều – đất nước hình 
lục lăng, tổ ong, lịch gỗ để bàn, rubik 12 mặt, biển báo giao thông, hình hộp bánh, hình trang trí
Bài 9. Cho hình lục giác đều ABCDEF sau, hãy xác định số tam giác đều có trong hình ? 
Lời giải:
 Trong hình lục giác đều ABCDEF có 8 tam giác đều là :
CMN, DNP, EPQ, FQR, ARS, BSM , ACE, BDF
Bài 10. Hãy kể tên các hình thang cân, hình chữ nhật có trong hình lục giác đều sau: Bài 12. Người ta vẽ sáu hình vuông ở bên ngoài của một hình lục giác đều, mà mỗi hình vuông có chung 
một cạnh với hình lục giác đều như hình bên. Theo em các tam giác có phải là các tam giác đều không?
Lời giải:
Các cạnh của hình lục giác đều có độ dài bằng nhau, nên độ dài các cạnh của sáu hình vuông vẽ bên ngoài 
của hình lục giác đều cũng bằng nhau, do đó hai cạnh của tam giác cũng là hai cạnh cạnh chung với hình 
vuông cũng bằng nhau.
 Số đo góc tạo bởi hai cạnh hình vuông cũng là hai cạnh chung của tam giác là : 
 3600 1200 2.900 600
Vậy các tam giác là tam giác đều.
(Trong trường hợp cách giải thích do trừ góc không thỏa đáng vì giảm tải kiến thức về cộng trừ góc, ta mô 
hình hóa bài toán trên bằng cách vẽ hình trên giấy, bằng cách gấp giấy ta có độ dài của cạnh không chung 
với các hình vuông trùng khít với độ dài cạnh của lục giác).
Bài 13. Trong buổi tiệc sinh nhật bạn Na, mẹ đã đặt mua một cái bánh sinh nhật có hình lục giác đều. Em 
hãy giúp bạn Na cắt cái bánh để chia đều cho:
a) 6 bạn.
b) 12 bạn.
c) 24 bạn. Bài 14. Bạn An có một sợi dây ruy băng dài 48cm . Nếu bạn An gấp thành một hình lục giác đều thì độ dài 
mỗi cạnh của hình lục giác đều mà An tạo ra có độ dài bao nhiêu centimet?
Lời giải:
Bạn An gấp sợi dây ruy băng dài 48cm thành một hình lục giác đều, thì độ dài mỗi cạnh bằng:
 48: 6 8 cm 
Bài 15. Nhà bạn An có một cái hộp đựng bánh kẹo hình lục giác đều rất đẹp. Chiếc hộp được cấu tạo rất 
đặc biệt, ở giữa hộp có một khay nhỏ hình lục giác đều có độ dài một cạnh là 5cm . Độ dài cạnh của hình 
lục giác đều bên ngoài lớn hơn độ dài cạnh khay nhỏ ở giữa 5cm . Bạn An lấy băng keo quấn một vòng 
quanh mép chiếc hộp để bảo quản bánh kẹo bên trong. Hỏi độ dài đoạn băng keo bạn An dùng để quấn 
chiếc hộp?
Lời giải:
Độ dài cạnh của hình lục giác đều bên ngoài là: 5 5 10 cm 
Độ dài đoạn băng keo bạn An dùng để quấn chiếc hộp là : 106 60 cm 
  HẾT 