Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 9, Chủ đề 7: Bất đẳng thức liên quan đến phân số

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9 – PHÂN SỐ 
 CHỦ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
I. Khái niệm bất đẳng thức
1. Định nghĩa : Số a gọi là lớn hơn số b , ký hiệu a b nếu a b là một số dương, tức là a b 0 . Khi 
đó ta cũng ký hiệu b a
 Ta có: a b a b 0
 Nếu a b hoặc a b , ta viết a b . Ta có: a b a - b 0
2. Quy ước : 
 • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.
 • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 
II. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 
 a b
1. Tính chất 1: a c
 b c
2. Tính chất 2: a b a c b c
Từ đó ta suy ra
 a b a c b c
 a c b a b c
 a b
3. Tính chất 3: a c b d
 c d
 ac bc neáu c > 0
4. Tính chất 4: a b 
 ac bc neáu c < 0
Từ đó ta suy ra
 a b a b
 a b
 neáu c > 0
 c c
 a b 
 a b
 neáu c < 0
 c c
 a b 0
5. Tính chất 5: ac bd
 c d 0 96 96 1 1
 Ta có: bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số với 96 để được hai phân số 
 505 576 6 6
 96 96 1
cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: A 1 
 505 567 6
 1 1 1 1 1 1
 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A ... 
 52 62 72 992 1002 4
 Ta làm tương tự như sau:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... ... 
 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100
 1 1 1
 A 2 
 4 100 4
 1 1
 Từ 1 và 2 ta có: A 
 6 4
 1 1 1 1 3
Bài 3: Chứng tỏ rằng: ... 
 22 32 42 1002 4
Lời giải:
Ta biến đổi: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A ... ... 
 4 3.3 4.4 99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5 99.100 
 1 1 1 3 1 3
A 
 4 2 100 4 100 4
 1 1 1 1 1
Bài 4: Chứng tỏ rằng: A ... 
 22 42 62 1002 2
Lời giải:
 Nhận thấy bài này là tổng lũy thừa mà cơ số ở mẫu là các số chẵn nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa mà 
cơ số ở mẫu là các số tự nhiên liên tiếp như sau:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A 2 1 2 2 2 ... 2 1 ... 
 2 2 3 4 50 4 1.2 2.3 3.4 49.50 
 1 1 1 1 1
 A 1 1 
 4 50 2 200 2
 1 2 3 100
Bài 5: Chứng tỏ rằng: A ... 2
 2 22 23 2100
Lời giải:
 Nhận thấy bài này có dạng tổng các phân số có mẫu là các lũy thừa cùng cơ số nên ta sẽ thực hiện 
phép tính tổng A 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A 2 1 2 3 ... 2 1 1 
 2 2 2 n 4 n 2 4n 2
 1 1 1 1 1
Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n 2 thì A ... không là số tự nhiên
 12 22 32 42 n2
Lời giải:
 1 1 1
 Ta có: A 1 ... 2 . Mặt khác ta thấy A 1 
 1.2 2.3 n 1 n
 Vậy ta có: 1 A 2 .
 1 1 1 1 2020
Bài 11: Chứng tỏ rằng: A ... 
 22 32 42 20212 2021
Lời giải:
 1 1 1 1 1 2020
 A ... 1 
 1.2 2.3 3.4 2020.2021 2021 2021
 1 1 2 3 2016 1
Bài 12 : Chứng tỏ rằng: ... 
 4 5 52 53 52016 3
Lời giải:
 1 2 3 2016
Đặt A ... 
 5 52 53 52016
 1 1 1 2016
 4A 1 2 ... 2005 2016 .
 5 5 5 5
 1 1 1
 Đặt B ... 
 5 52 52005
Ta có:
 1
 4B 1 
 52015
 1 1
 B , thay vào A ta được:
 4 4.52015
 1 1 2016 5
 4A 1 
 4 4.52015 52016 4
 5 5 1
 A (1)
 16 15 3
 1 2 2016 1 2 7 7 1
 Mặt khác: A ... (2)
 5 52 52016 5 25 25 28 4
 Từ (1) và (2) ta suy ra ĐPCM
 1 2 3 4 99 100 3
Bài 13 : Chứng tỏ rằng: A ... 
 3 32 33 34 399 3100 16 1 1 1 1 1
 B ... 
 3 32 33 34 32021
 1 2B 1 1 1
 B B 
 3 3 3 32021 3
 1
 Hay B 
 2
 1 2 3 2021
Bài 18: Chứng tỏ rằng: M ... có giá trị không nguyên
 3 32 33 32021
Lời giải:
 1 2 3 2021
 Ta có: M ... 0 1 
 3 32 33 32021
 1 2 3 2021
 Ta có M ... 
 3 32 33 32021
 2 3 2021
 3M 1 ... 
 3 32 32020
 2 3 2021 1 2 3 2021 
 3M M 1 2 ... 2020 2 3 ... 2021 
 3 3 3 3 3 3 3 
 1 1 1 1 2021
 2M 1 ... 
 3 32 33 32020 32021
 1 1 1 1 1 1 1
 Đặt N ... 3N 1 ... 
 3 32 33 32020 3 32 32019
 1 1 1 1 1 1 1 
 3N N 1 2 ... 2019 2 3 ... 2020 
 3 3 3 3 3 3 3 
 1 1 1
 2N 1 N 
 32020 2 2.32020
 1 1 2021 3 1 2021 3
 2M 1 
 2 2.32020 32021 2 2.32020 32021 2
 3
 M 1 2 
 4
 Từ 1 và 2 0 M 1
 1 2 3 2021
 Vậy M ... không có giá trị nguyên
 3 32 33 32021
 2 2 2 2 1003
Bài 19: Chứng tỏ rằng: A ... 
 32 52 72 20072 2008
Lời giải: Mặt khác: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 191 200 4
 A ... ... 
 3.3 4.4 5.5 50.50 9 3.4 4.5 49.50 9 3 50 450 450 9
 1 4
 Vậy A 
 4 9
 1 1 1 7 5
Bài 24: Cho A ... , chứng tỏ rằng: A 
 1.2 3.4 99.100 12 6
Lời giải:
 1 1 1
 Ta có A ... 
 51 52 100
 1 1 1 1 1 1 
 A ... ... 
 51 52 75 76 77 100 
 1 1 1 1 7
 TH1: A .25 .25 
 75 100 3 4 12
 1 1 1 1 5
 TH2: A .25 .25 
 50 75 2 3 6
Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN
I. Phương pháp giải.
 Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối 
và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường.
II. Bài toán.
 1 1 1 1 1 1 1 1
Bài 1: Chứng tỏ rằng: .
 4 16 36 64 100 144 196 2
 Lời giải:
 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có 
 4 16 36 64 100 144 196
 1 1 1 1
 ... 
 22 42 62 142
 1 1 1 1 1 
 2 2 2 2 ... 2 
 2 1 2 3 7 
 1 1 1 1 1 
 2 2 ... 
 2 1 1.2 2.3 6.7 
 1 1 1 1 1 1 
 1 1 ... 
 4 2 2 3 6 7 20 20 1 1 7
 60 80 3 4 12
 2018 2019 2020 1 1 1 1
Bài 5: So sánh A và B biết: A và B ... 
 2019 2020 2018 3 4 5 17
Lời giải:
 1 1 2 
 A 1 1 1 
 2019 2020 2018 
 1 1 1 1 
 3 3
 2018 2019 2018 2020 
 1 1 1 1 1 1 5 5 5
 B ... ... ... 3
 3 7 8 12 13 17 3 8 10
Vậy A B 
 1 1 1 1
Bài 6: Cho M ... , chứng tỏ rằng: M 2 .
 5 6 7 17
Lời giải:
 1 1 1 1 1 1
 Ta có: .5 1 
 5 6 7 8 9 5
 1 1 1 1
 và ... .8 1 
 10 11 17 8
 Vậy M 2 
 3 3 3 3 3
Bài 7: Cho S . Chứng tỏ rằng: 1 S 2 . 
 10 11 12 13 14
Lời giải:
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15
 S 1. 
 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15
 Suy ra S 1.
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15
 S 1,5 2 . 
 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10
 Suy ra S 2 .
 Vậy 1 S 2 .
 5 5 5 5
Bài 8: Cho S ... . Chứng tỏ rằng: 3 S 8 .
 20 21 22 49
Lời giải:
 Tổng trên có 30 số hạng:
 5 5 5 5
 Ta có: S ... 30. 3 
 50 50 50 50