Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 9, Chủ đề 6: Dãy phân số theo quy luật

 ĐS6. CHUYấN ĐỀ 9-PHÂN SỐ
 CHỦ ĐỀ 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT
PHẦN I. TểM TẮT Lí THUYẾT
Lý thuyết nờu trong từng dạng bài tập ở phần II.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
 k
Dạng 1: Tổng dóy phõn số cú dạng .
 a. a k 
 1 1 1 1
1) Tớnh tổng : S = + + + ...+
 a1.a2 a2 .a3 a3.a4 an- 1.an
Với a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... = an - an- 1 = 1
Phương phỏp:
 1 a - a 1 1
Ta cú: = 2 1 = - ;
 a1.a2 a1.a2 a1 a2
 1 a - a 1 1
 = 3 2 = - ;
 a2 .a3 a2 .a3 a2 a3
 ....................................
 1 a - a 1 1
 = n n- 1 = - ;
 an- 1.an an- 1.an an- 1 an
Do đú: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 S = - + - + - + ...+ - = -
 a1 a2 a2 a3 a3 a4 an- 1 an a1 an
 1 1 1
Bài 1: Tớnh tổng: A ... 
 1.2 2.3 2014.2015
Lời giải:
Ta cú: ....................................
 k a - a 1 1
 = n n- 1 = - ;
 an- 1.an an- 1.an an- 1 an
Do đú: 
 1 ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử 1 ổ1 1 ử
 S = ỗ - + - + - + ...+ - ữ= ỗ - ữ
 ỗ ữ ỗ ữ
 k ốa1 a2 a2 a3 a3 a4 an- 1 an ứ k ốa1 an ứ
 2 2 2 2
Bài 4: Tớnh tổng A = + + + ...+
 1.3 3.5 5.7 99.101
Lời giải:
Ta cú:
 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100
A = + + + ...+ = - + - + - + ...+ - = - =
 1.3 3.5 5.7 99.101 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101
 100
Vậy S 
 101
 1 1 1 1 1
Bài 5: Tớnh tổng S ... 
 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99
Lời giải:
Ta cú:
 1 1 1 1 1
S ... 
 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99
 1 1 1 1 1
S ... 
 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99
 1 2 2 2 2 2 
S ... 
 2 1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
S ... 
 2 1 3 3 5 5 7 7 9 97 99 
 1 1 1 
S 
 2 1 99 
 1 98
S .
 2 99
 49
S 
 99 Bài 7: Tớnh giỏ trị của biểu thức : 
 ổ3 3 3 3 ử ổ 25 25 25 ử
A = ỗ + + + ...+ ữ- ỗ + + ...+ ữ
 ốỗ1.8 8.15 15.22 106.113ứữ ốỗ50.55 55.60 95.100ứữ
Lời giải:
 3 3 3 3
Đặt B = + + + ...+
 1.8 8.15 15.22 106.113
Ta cú :
 ổ7 7 7 7 ử
 7B = 3ỗ + + + ...+ ữ
 ốỗ1.8 8.15 15.22 106.113ứữ
 ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử
 7B = 3ỗ - + - + - + ...+ - ữ
 ốỗ1 8 8 15 15 22 106 113ứữ
 ổ1 1 ử 112 3.112 48
 7B = 3ỗ - ữ= 3. ị B = =
 ốỗ1 113ứữ 113 7.113 113
 25 25 25
Đặt C = + + ...+
 50.55 55.60 95.100
Ta cú :
1 5 5 5
 C = + + ...+
5 50.55 55.60 95.100
1 1 1 1 1 1 1
 C = - + - + ...+ -
5 50 55 55 60 95 100
1 1 1 1
 C = - =
5 50 100 100
 1
ị C =
 20
 48 1 847
Khi đú A = B - C = - =
 113 20 2260
 847
Vậy A .
 2260
 9 9 9 1
Bài 8: Tớnh nhanh : A = + + + ...+
 9.19 19.29 29.39 1999.2009
Lời giải:
 9 9 9 1
A = + + + ...+
 9.19 19.29 29.39 1999.2009 299 299 299 299
299A = + + + ...+
 1.300 2.301 3.302 101.400
 ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử
299A = ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ...+ ỗ - ữ
 ốỗ1 300ứữ ốỗ2 301ứữ ốỗ3 302ứữ ốỗ101 400ứữ
 ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1 1 ử
299A = ỗ + + + ...+ ữ- ỗ + + + ...+ ữ
 ốỗ1 2 3 101ứữ ốỗ300 301 302 400ứữ
 101 101 101 101
101B = + + + ...+
 1.102 2.103 3.104 299.400
 ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử ổ1 1 ử
101B = ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ỗ - ữ+ ...+ ỗ - ữ
 ốỗ1 102ứữ ốỗ2 103ứữ ốỗ3 104ứữ ốỗ299 400ứữ
 ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1 1 ử
101B = ỗ + + + ...+ ữ- ỗ + + + ...+ ữ
 ốỗ1 2 3 299ứữ ốỗ102 103 104 400ứữ
 ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1 ử
101B = ỗ + + ...+ ữ- ỗ + + ...+ ữ
 ốỗ1 2 3 101ứữ ốỗ300 301 400ứữ
 A 101
Khi đú 299A = 101B ị = .
 B 299
 1 1 1 1 1 1
Bài 11: Rỳt gọn : A = - - - - ...- -
 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
Lời giải:
Ta cú:
 1 1 1 1 1 1
A = - - - - ...- -
 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
 1 ổ 1 1 1 1 1 ử
A = - ỗ + + + ...+ + ữ
 100 ốỗ100.99 99.98 98.97 3.2 2.1ứữ
 1 ổ1 1 1 1 1 ử
A = - ỗ + + ...+ + + + ữ
 100 ốỗ1.2 2.3 97.98 98.99 99.100ứữ
 1 ổ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ử
A = - ỗ - + - + ...+ - + - + - ữ
 100 ốỗ1 2 2 3 97 98 98 99 99 100ứữ
 1 ổ1 1 ử
A = - ỗ - ữ
 100 ốỗ1 100ứữ
 1 1 - 49
A = - 1+ =
 100 100 50
 49
Vậy A .
 50
Dạng 2: Tổng dóy phõn số cú mẫu là tớch n số tự nhiờn liờn tiếp n 3 . 1 ổ1 1 ử
 S = ỗ - ữ
 n 2 ốỗ1.2 (n + 1)(n + 2)ứữ
 1 1 1
Bài 1: Tớnh A ... 
 1.2.3 2.3.4 37.38.39
Lời giải:
Ta cú:
 1 1 1
A ... 
 1.2.3 2.3.4 37.38.39
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
A ... 
 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 37.38 38.39 
 1 1 1 1 1 1 1 
A ... 
 2 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 
 1 1 1 
A 
 2 1.2 38.39 
 185
A 
 741
 185
Vậy A .
 741
 1 1 1 1
Bài 2: Tớnh tổng S ... 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99
Lời giải:
Ta cú:
 1 1 1 1 2 2 2 2
S ... 2S ... 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 2S ... 
 2 1 3 3 2 4 4 3 5 98 97 99 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2425
 2S . . . . . . ... . . . 
 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 98 97 98 99 2 1 98.99 4851
 2425
 S 
 9702
 2425
Vậy A .
 9702
 1 1 1
2) Tớnh tổng sau: S = + + ...+
 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
- Nhận xột đề bài: 1 1 1
B ... 
 1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30
 1 1 4059
 3B 
 1.2.3 28.29.30 28.29.30
 1353
 B 
 8120
 1353
Vậy A .
 8120
 18 18
Bài 4: Tớnh D ... 
 10.11.12.13 96.97.98.99
Lời giải:
Ta cú:
 18 18
D ... 
 10.11.12.13 96.97.98.99
 1 1 
D 6 
 10.11.12 97.98.99 
 97.49.3 20
D 6.
 97.98.99.20
 14239
D 
 3136980
 14239
Vậy D .
 3136980
Dạng 3. Tớch dóy phõn số theo quy luật 
Bài 1: Tớnh tớch.
 22 32 42 202 12 22 32 102
a) A = . . ... b) B = . . ...
 1.3 2.4 3.5 19.20 1.2 2.3 3.4 10.11
Lời giải:
a) Ta cú:
 22 32 42 202 2.2 3.3 4.4 20.20 (2.3.4...20)(2.3.4...20) 20.2 40
A = . . ... = . . ... = = =
 1.3 2.4 3.5 19.20 1.3 2.4 3.5 19.20 (1.2.3....19)(3.4.5...21) 21 21
b) Ta cú:
 12 22 32 102 1.1 2.2 3.3 10.10 (1.2.3...10)(1.2.3...10) 1
B = . . ... = . . ... = =
 1.2 2.3 3.4 10.11 1.2 2.3 3.4 10.11 (1.2.3...10)(2.3.4...11) 11 ổ 1ử ổ 1ử ổ 1 ử ổ 1 ử
A = ỗ1- ữ.ỗ1- ữ.ỗ1- ữ...ỗ1- ữ
 ốỗ 4ứữốỗ 9ứữốỗ 16ứữ ốỗ 400ứữ
 3 8 15 399
A = . . ...
 4 9 16 400
 1.3 2.4 3.5 19.21
A = . . ...
 2.2 3.3 4.4 20.20
 (1.2.3...19)(3.4.5...21)
A =
 (2.3.4...20)(2.3.4...20)
 21
A =
 20.2
 21
A =
 40
 21
Vậy A 
 40
Bài 5: Tớnh:
 ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1ử ổ 1ử ổ 1 ử
a) A = ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ...ỗ1+ ữ b) B = ỗ1- ữ.ỗ1- ữ...ỗ1- ữ.
 ốỗ 1.3ứữốỗ 2.4ứữốỗ 3.5ứữ ốỗ 2018.2020ứữ ốỗ 5ứữốỗ 6ứữ ốỗ 100ứữ
Lời giải:
a) Ta cú:
 ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử ổ 1 ử
 A = ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ.ỗ1+ ữ...ỗ1+ ữ
 ốỗ 1.3ứữốỗ 2.4ứữốỗ 3.5ứữ ốỗ 2018.2020ứữ
 22 32 42 20192
 A = . . ...
 1.3 2.4 3.5 2018.2019 
 (2.3.4...2019)(2.3.4...2019)
 A =
 (1.2.3...2.18)(3.4.5...2019)
 A = 2.2019 = 4038
Vậy A 4038
b) Ta cú: