Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 9, Chủ đề 3: So sánh hai phân số

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 9 - PHÂN SỐ
 CHỦ ĐỀ 3: SO SÁNH HAI PHÂN SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. SO SÁNH HAI PHÂN SỐ CÙNG MẪU
Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
2. SO SÁNH HAI PHÂN SỐ KHÔNG CÙNG MẪU
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu số, ta viết chúng dưới dạn hai phân số cùng mẫu 
dương rồi so sánh các tử số với nhau.
Tuy nhiên, nhiều bài toán sẽ gặp khó khăn khi quy đồng mẫu số các phân số. Bởi vậy, có rất 
nhiều cách khác nhau để so sánh các phân số, ta sẽ đi tìm hiểu ở phần sau.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: So sánh hai phân số cùng mẫu
I. Phương pháp giải
Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
II. Bài toán
 7 24 13 1 43 36
Bài 1: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: , , , , ,
 36 36 36 36 36 36
Lời giải:
Vì các phân số trên đều có cùng mẫu số nên ta được:
 1 7 13 24 36 43
 36 36 36 36 36 36
 5 11 7 13 9 27
Bài 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: ; ; ; ; ; .
 48 48 48 48 48 48
Lời giải:
Viết lại các phân số dưới dạng mẫu dương:
 11 11 13 13 9 9
 ; ; .
 48 48 48 48 48 48
 27 13 11 9 7 5
Vì 27 13 11 9 7 5 nên .
 48 48 48 48 48 48
Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là:
 5 7 9 11 13 27
 ; ; ; ; ; .
48 48 48 48 48 48
 15 36 2 7 1 72 97
Bài 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: , , , , , , .
 24 24 24 24 24 24 24 8 7 6 5 4
b) 
 34 34 34 34 34
Bài 9: Tìm số x nguyên thỏa mãn:
 1 x 4 11 x 8 3 x 2
a) b) c) 
 7 7 7 15 15 15 7 21 3
Lời giải:
 1 x 4
a) x 2;3
 7 7 7
 11 x 8
b) x 10; 9
 15 15 15
 3 x 2 9 x 14
c) x 10;11;12;13
 7 21 3 21 21 21
Dạng 2: So sánh hai phân số không cùng mẫu bằng cách quy đồng mẫu dương
I. Phương pháp giải
Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: Tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn 
II. Bài toán
 1 5 4 3
Bài 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu: a) và b) và 
 3 6 5 7
Lời giải:
 1 2 2 5 1 5
a) Ta có mà 
 3 6 6 6 3 6
 4 28 3 15 28 15 4 3
b) Ta có ; mà .
 5 35 7 35 35 35 5 7
Bài 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu: 
 3 4 5 63
 a) và b) và 
 11 13 6 70
Lời giải:
 3 39 4 44 39 44 3 4
a) Ta có ; mà 
 11 143 13 143 143 143 11 13
 5 50 63 9 54 50 54 5 63
b) Ta có ; mà .
 6 60 70 10 60 60 60 6 70
Bài 3: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu: 
 1 5 4 5
 a) và b) và 
 2 6 7 9 1. Quy dồng mẫu của các phân số ấy.
2. Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần.
Lời giải:
1) Quy đồng mẫu chung, ta được các phân số tương ứng là:
336 630 1260 1800 875
 ; ; ; ; .
840 840 840 840 840
2) Sau khi so sánh, ta xếp được các số theo thứ tư tăng dần như sau:
 42 144 25025 435 1950
 ; ; ; ; .
105 192 24024 290 910
 1 x 1
Bài 7: Tìm số nguyên dương x sao cho .
 5 30 4
Lời giải:
Trước tiên ta sẽ quy đồng mẫu số các phân số:
1 1.12 12 x x.2 2x 1 1.15 15
 , , 
5 5.12 60 30 30.2 60 4 4.15 60
 1 x 1 12 2x 15
Vì Suy ra 2x 13 hoặc 2x 14
 5 30 4 60 60 60
Mà x là số nguyên dương 2x 14 x 7 .
Bài 8: Tìm số nguyên dương x , biết:
 3 4 6 x 13
 a) 1 ; b) 1 2 ; c) .
 x x x 3 x
Lời giải:
 3 3 x
a) 1 x 3 x 1;2;3. 
 x x x
 4 x 4 2x
b) 1 2 x 4 2x 2 x 4 x 2;3. 
 x x x x
 6 x 13 18 x2 39
c) 18 x2 39 x2 25;36 
 x 3 x 3x 3x 3x
 x 5;6 (vì x 0). 
 9 a b 13
Bài 9: Tìm a,b ¢ sao cho .
 56 8 7 28
Lời giải:
 9 a b 12 9 7a 8b 26
Từ suy ra 9 7a 8b 26. 
 56 8 7 28 56 56 56 56
Vì a,b ¢ , từ đó ta tìm được a 2, b 2; a 2, b 3; a 3,b 3. 7 4 1 1
Ta tìm được hai phân số và có mẫu khác nhau, lớn hơn nhưng nhỏ hơn . 
 18 9 3 2
Nhận xét:
Có nhiều cặp phân số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Chẳng hạn, chọn mẫu chung là 120, 
 1 40 1 60
ta có: ; . 
 3 120 2 120
 41 59 41 42 21 44 11
Trong các phân số từ đến ta có thể chọn các cặp như: và hoặc và 
 120 120 120 120 60 120 30
 45 15
  đều thỏa mãn bài toán.
120 40
 1 1
Bài 13: Tìm các phân số có mẫu số là 5 và nhỏ hơn , lớn hơn 
 2 3
Lời giải:
 1 a 1 10 6a 15
Phân số có dạng : 
 3 5 2 30 30 30
Suy ra 6a 12 a 2
 2
Vậy phân số cần tìm là: 
 5
 1 1
Bài 14: Tìm ba phân số mà lớn hơn và nhỏ hơn .
 3 4
Lời giải:
 a 
Gọi phân số cần tìm a,b ¥ ,b 0 
 b 
 1 a 1 16 a 12
Ta có: 
 3 b 4 48 b 48
 13 14 15
Lấy b 48 và a 13. 14. 15 ta được các phân số: ; ; .
 48 48 48
Bài 15: Hãy tìm các phân số, thoả mãn mỗi điều kiện sau
 5 6
a) Có mẫu là 30 , lớn hơn và nhỏ hơn :
 17 17
 2 1
b) Có mẫu là 5 , lớn hơn và nhỏ hơn ;
 3 6
Trong mỗi trường hợp trên hãy sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
Lời giải: 8 9 10 25 26 27
b) Tương tự a), chọn mẫu chung là 42. Các phân số cân tìm là: , , ,, , , . 
 42 42 42 42 42 42
c) Có nhiều phân số thoả mãn đề bài. Các phân số cần tìm phụ thuộc vào cách tìm mẫu chung. Nếu mẫu 
 1 20
chung càng lớn thì số các phân số cần tìm càng lớn. Chẳng hạn chọn mẫu chung là 120, khi đó va 
 6 120
2 80 20 80 21 22 23 77 78 79
 , vì thế xen giữa hai phân số và có 59 phân số là: , , ,, , , .
3 120 120 120 120 120 120 120 120 120
 1019 1 1020 1
Bài 17: So sánh hai phân số sau: A và B 
 1020 1 1021 1
Lời giải:
Quy đồng mẫu hai phân số với MC : 1020 1 1021 1 , ta có :
 19 21
 10 1 10 1 1040 1021 1019 1
A ;
 1020 1 1021 1 1020 1 1021 1 
 20 20
 10 1 10 1 1040 1020 1020 1
B 
 1020 1 1021 1 1020 1 1021 1 
Hãy chứng tỏ rằng 1021 1019 1020 1020 để suy ra 1040 1021 1019 1 1040 1020 1020 1. 
Từ đó có A B .
Dạng 3: So sánh hai phân số không cùng mẫu bằng cách quy đồng tử
I. Phương pháp giải
Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu: Mẫu nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn 
II. Bài toán
Bài 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử.
 3 6 17 51
a) và b) và 
 4 7 21 31
Lời giải:
 3 6 6 6 3 6
a) Ta có mà 
 4 8 8 7 4 7
 17 51 51 51 17 51
b) Ta có mà .
 21 63 63 31 21 31
Bài 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử.
 4 3 4 6
a) và b) và 
 9 13 11 19
Lời giải: Lời giải:
Trước tiên ta sẽ quy đồng tử số các phân số:
5 5.4 20 4 4.5 20 5 5.4 20
 , , 
8 8.4 32 y y.5 5y 7 7.4 28
 5 4 5 20 20 20
Vì Suy ra 5y 31,5y 30 hoặc 5y 29
 8 y 7 32 5y 28
Mà y là số tự nhiên 5y 30 y 6 .
Bài 7: Tìm số x ¥ *thỏa mãn:
 7 7 7 17 17 17 2 10 5
a) b) c) 
 6 x 3 5 x 10 3 x 6
Lời giải:
 7 7 7
a) 3 x 6 x 5;4
 6 x 3
 17 17 17 17 17 17
b) 10 x 5 x 9;8;7;6
 5 x 10 5 x 10
 2 10 5 10 10 10
c) 12 x 15 x 14;13 .
 3 x 6 15 x 12
 1 1
Bài 8: Tìm phân số có tử số là 4 và lớn hơn , nhỏ hơn .
 7 5
Lời giải:
 1 4 1 4 4 4
Phân số cần tìm có dạng : 
 7 b 5 28 b 20
Suy ra: 20 b 28 b 21;22;23;24;25;26;27
 4 4 4 4 4 4 4
Ta có 7 phân số: ; ; ; ; ; ; .
 21 22 23 24 25 26 27
Dạng 4: So sánh hai phân số bằng cách so sánh phần bù (hoặc phần hơn) với 1.
I. Phương pháp giải
 a a a b a
+ Định nghĩa: Cho phân số 1, ta gọi phần bù đến đơn vị của phân số là hiệu 1 , tức là .
 b b b b
 a c a c
+ Nếu M 1; N 1 mà M N thì 
 b d b d
 • M , N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho .
 • Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
 a c a c
+ Nếu M 1; N 1 mà M N thì 
 b d b d
 • M , N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đó.
 • Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.