Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 9, Chủ đề 2: Phân số tối giản

 ĐS6.CHUYấN ĐỀ 9-PHÂN SỐ
 CHỦ ĐỀ 2:PHÂN SỐ TỐI GIẢN
PHẦN I.TểM TẮT Lí THUYẾT
-Phõn số tối giản hay cũn gọi là phõn số khụng thể rỳt gọn được nữa là phõn số mà tử và mẫu chỉ 
cú ước chung là 1 và -1.
 a a
-Giả sử ta cú phõn số . Phõn số được gọi là phõn số tối giản khi và chỉ khi ệCLN a,b 1. 
 b b
 a b
- Nếu phõn số là phõn số tối giản thỡ phõn số cũng là phõn số tối giản.
 b a
- Tổng (hiệu) của một số nguyờn và một phõn số tối giản là một phõn số tối giản.
-Tớnh chất:
 am
+ a bm 
 bm
+ am a.km 
-Thuật toỏn Ơclit tỡm ƯCLN(a;b):
 Ta tỡm UCLN(a ;b) bằng cỏch dựng thuật toỏn Euclide như sau :
 a = bq0 + r1 với 0 < r1 < b
 b = r1 q1 + r2 với 0< r2 < r1
 ....
 rn-1 = rnqn .
 Thuật toỏn phải kết thỳc với một số dư bằng 0
 Do đú ta cú: (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) =...=(rn-1; rn) = rn.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1:Chứng minh phõn số với tham số n là phõn số tối giản. 
I.Phương phỏp giải
 a
Chứng minh phõn số là phõn số tối giản, ta cần chứng minh ệCLN a,b 1, hoặc dựng 
 b
thuật toỏn Euclide hoặc tổng (hiệu) của một số nguyờn và một phõn số tối giản là một phõn số tối 
giản.
II.Bài toỏn Giả sử ệCLN n,2n 1 d 
 nd 2nd
 2n 1d 2n 1d
 (2n 1) 2n  d 
 2n 1 2n  d
 1d d 1
 n
Vậy phõn số là phõn số tối giản. 
 2n 1
 1
b. 
 7n 1
 1
Vỡ ệCLN 1,7n 1 1nờn là phõn số tối giản.
 7n 1
 n 5
c. 
 n 6
Giả sử ệCLN n 5,n 6 d.
 n 5d
 n 6d
 (n 6) (n 5)  d 
 n 6 n 5  d
 1d d 1
 n 5
Vậy phõn số là phõn số tối giản. 
 n 6
 n 1
d. 
 2n 3
Giả sử ệCLN n 1,2n 3 d.
 n 1d 2n 2d
 2n 3d 2n 3d
 (2n 3) (2n 2)  d (6n 21) (6n 20)  d 
 6n 21 6n 20  d
 1d d 1
 2n 7
Vậy phõn số là phõn số tối giản. 
 3n 10
 2n 3
h. 
 4n 4
Giả sử ệCLN 2n 3,4n 4 d.
 2n 3d 2(2n 3)d 4n 6d
 4n 4d 4n 4d 4n 4d
 (4n 6) (4n 4)  d 
 4n 6 4n 4  d
 2d
Vỡ 2n 3là số lẻ, 4n 4 là số chẵn nờn suy ra d 1
 2n 3
Vậy phõn số là phõn số tối giản. 
 4n 4
Bài 3: Chứng minh rằng cỏc phõn số sau tối giản:
 n2 1 n 7n 1 n 2n2 n 1
a. b. c. d. e. 
 n n2 1 7n2 n 1 n3 1 n
Lời giải 
 n2 1
a. 
 n
Ta cú: Theo thuật toỏn Euclide: ệCLN n2 1,n ệCLN n;1 1. 
 n2 1
Do đú: phõn số là phõn số tối giản.
 n
 n
b. 
 n2 1
 n2 1 n
Vỡ phõn số là phõn số tối giản nờn phõn số là phõn số tối giản.
 n n2 1 Suy ra: d 1
 a
Vậy phõn số là phõn số tối giản. 
 a 2
 a3 2a2 1
Bài 5: Chứng minh rằng nếu a là số nguyờn khỏc -1 thỡ giỏ trị của biểu thức A là phõn 
 a3 2a2 2a 1
số tối giản.
Lời giải
 2
 a3 2a2 1 a 1 a a 1 a2 a 1
Ta cú: A 
 a3 2a2 2a 1 a 1 a2 a 1 a2 a 1
Gọi d ệCLN(a2 a 1,a2 a 1) 
 a2 a 1d
 2
 a a 1d
 a2 a 1 a2 a 1 d 
 2d 
Mà a2 a 1 a(a 1) 1 là số lẻ nờn d lẻ d 1 
Vậy với a khỏc -1 thỡ giỏ trị của A là phõn số tối giản.
 2n 1
Bài 6: Chứng minh với mọi số nguyờn n khỏc khụng thỡ phõn số là phõn số tối giản.
 2n(n 1)
Lời giải
Giả sử d ệCLN 2n 1,2n n 1 
 2n 1d
 2n(n 1)d
 2n 1d
 n(2n 2)d
Mà ệCLN 2n 1,2n 2 1nờn 
 2n 1d 2n 1d
 nd 2nd
 2n 1 2nd 1d d 1 Giả sử d ệC 3n 2,7n 1 
 3n 2d 7(3n 2)d 21n 14d
 7n 1d 3(7n 1)d 21n 3d
 (21n 14) (21n 3)d 
 21n 14 21n 3d 
 11d d 1; 11 
 3n 2
Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 11
 7n 1 
Hay 7n 1 khụng chia hết cho 11.
Ta cú: 7n 1 11k 7n 1 22 11k (k Z) 
 7(n 3) 11k
 n 3 11k n 11k 3
 2n 3
Vậy: với n 11k 3 thỡ phõn số là phõn số tối giản.
 4n 1
 2n 7
c. 
 5n 2
Giả sử d ệC 2n 7,5n 2 
 2n 7d 5(2n 7)d 10n 35d
 5n 2d 2(5n 2)d 10n 4d
 (10n 35) (10n 4)d 
 10n 35 10n 4d 
 31d d 1; 31 
 2n 7
Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 31
 5n 2 
Hay 2n 7 khụng chia hết cho 31.
Ta cú: 2n 7 31k 2n 7 31 31k (k Z) 
 2(n 12) 31k n2 n 7
c. 
 n 1
 n2 n 7 7
Ta cú: n ( với n 1) 
 n 1 n 1
 n2 n 7 7
Để là phõn số tối giản thỡ là phõn số tối giản.
 n 1 n 1
 7
Mà là phõn số tối giản ta phải cú ệCLN 7,n 1 1
 n 1
Vỡ 7 là số nguyờn tố do đú nếu ệCLN 7,n 1 1 thỡ n 17 hay n 1 7k (k Z) do đú 
n 7k 1 (k Z) nờn ệCLN 7,n 1 1 khi n 7k 1 (k Z)
 n2 n 7
Vậy: phõn số là phõn số tối giản khi n 7k 1 (k Z)
 n 1
 3
Bài 3: Tỡm tất cả cỏc số nguyờn n để phõn số là phõn số tối giản.
 2n 3
Lời giải 
 3
Vỡ 3 là số nguyờn tố nờn là phõn số tối giản khi 2n 3 khụng chia hết cho 3.
 2n 3
Do 33 nờn 2n 3 khi n 3hay n 3k (k Z) 
Bài 4: Tỡm cỏc số tự nhiờn n để cỏc phõn số sau là phõn số tối giản.
 4n2 6n 3 18n 3 8n 193
a. b. c. 
 n 3 21n 7 4n 3
Lời giải 
 4n2 6n 3
a. 
 2n 3
Giả sử d ệC 4n2 6n 3,2n 3 
 4n2 6n 3d 4n2 6n 3d 4n2 6n 3d
 2
 2n 3d 2n(2n 3)d 4n 6nd
 (4n2 6n 3) (4n2 6n)d 
 4n2 6n 3 4n2 6nd 8n 193 8n 6d 
 187d d 11;17 
+ d 11 4n 311 4n 3 1111 4n 811
 4(n 2)11 n 211 n 11k 2 (k Z) 
+ d 17 4n 317 4n 3 1717 4n 2017 4(n 5)17
 n 517 n 17l 5 (l Z)
 8n 193
Vậy: với n 11k 2, n 17l 5 (k,l Z) thỡ phõn số là phõn số tối giản.
 4n 3
Bài 5: Tỡm tất cả số tự nhiờn n để cỏc phõn số sau là phõn số tối giản.
 3 2n 16n 5
a. b. 
 4n 5 6n 1
Lời giải 
 3 2n
a.
 4n 5
Giả sử d ệC 3 2n,4n 5 
 3 2nd 2(3 2n)d 6 4nd
 4n 5d 4n 5d 4n 5d
 (6 4n) (4n 5)d 
 6 4n 4n 5d 
 11d d 1; 11 
 3 2n
Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 11
 4n 5 
Hay 3 2n khụng chia hết cho 11.
Ta cú: 3 2n 11k 3 2n 11 11k (k Z)
 2(n 4) 11k (k Z)
 n 4 11k n 11k 4 (k Z)
 3 2n
Vậy: với n 11k 4 (k Z) thỡ phõn số là phõn số tối giản.
 4n 5 3n2 2n 3
Để phõn số là phõn số tối giản thỡ d 11
 2n 1 
Hay 2n 1 khụng chia hết cho 11.
Ta cú: 2n 1 11k 2n 1 11 11k (k Z)
 2(n 6) 11k (k Z)
 n 6 11k n 11k 6 (k Z)
 3n2 2n 3
Vậy: với n 11k 6 (k Z)thỡ phõn số là phõn số tối giản.
 2n 1
Dạng 3: Tỡm tham số n để phõn số khụng tối giản.
I.Phương phỏp giải
Để một phõn số khụng tối giản thỡ tử số và mẫu số phải cú ớt nhất một ước chung là một số nguyờn tố. 
II.Bài toỏn
 7
Bài 1: Tỡm tất cả cỏc số nguyờn n để n 1 là phõn số chưa tối giản.
 n 1
Lời giải 
 7
Để n 1 khụng là phõn số tối giản ta phải cú UCLN n 1;7 1
 n 1
Vỡ 7 là số nguyờn tố do đú nếu UCLN n 1;7 1thỡ n 17
hay n –1 7k k  ,k 0 , do đú n 7k 1 k  ,k 0 
 63
Bài 2: Tỡm tất cả cỏc số nguyờn n để A khụng là phõn số tối giản.
 3n 1
Lời giải 
Ta cú 63 32.7 nờn A khụng phải là phõn số tối giản khi 3n 1chia hết cho 3 hoặc 7 .
 Vỡ 3n 1khụng chia hết cho 3 nờn 3n 1phải chia hết cho 7 .
hay 3n 1 7 3 n 2 7 n 27 (vỡ 3;7 1)
do đú n 7k 2 k  ,k 0