Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 9, Chủ đề 1: Hệ thống kiến thức cơ bản

 ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9 – PHÂN SỐ
 CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 a
Số có dạng , trong đó a,b ¢ ,b 0 gọi là phân số. 
 b
 n
Số nguyên n được đồng nhất với phân số . 
 1
 a a.m a : n
Tính chất cơ bản của phân số: với m,n ¢ ,m,n 0 và n ƯC a,b .
 b b.m b : n
 a m a
Nếu a,b 1 thì là phân số tối giản. Nếu là dạng tối giản của phân số thì tồn tại số 
 b n b
nguyên k sao cho a mk,b nk . 
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Áp dụng các tính chất chia hết để giải các bài toán về phân số
I.Phương pháp giải
 A n 
Bài toán tổng quát: Tìm số tự nhiên n sao cho có giá trị nguyên.
 B n 
Cách làm:
 A n 1 d 
 Ư d .
 b a,b,d ¢ C n 
B n a C n 
Nếu a 1 ta tìm được n và kết luận.
Nếu a 1 ta tìm được n cần thử lại rồi kết luận.
Bài toán tổng quát: Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản hoặc rút gọn được” ta 
làm như sau:
Gọi d là ước nguyên tố của tử và mẫu.
Dùng các phép toán cộng, trừ, nhân để khử n để từ đó tìm d .
Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản” ta tìm n để tử số hoặc mẫu số không chia 
hết cho các ước nguyên tố.
Đối với các bài toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được” ta tìm n để tử số hoặc mẫu số chia 
hết cho các ước nguyên tố.
II.Bài toán Ta có bảng sau:
 n 4 1 1 2 2 7 14
 n 5 3 6 2 11 18
 A 15 13 16 3 21 1
 4
 2 2 4 14
 ( loại ) ( loại) ( loại)
Vậy n 2;6;18 . 
Bình luận:
- Ngoài cách lập bảng trên ta có thể để ý rằng:
 n 10  2n 8 n 10  2 n 4 n 10 2 . 
Kết hợp với n 4 2; 1;1;2;7;14 n 2; 3; 5; 6;11; 18 n 2;6;18 .
    
- Đối với bài toán trên với n 5;3;11 đều là số nguyên nhưng khi thay vào A thì không được giá 
trị nguyên vì: theo bài ra thì n 10  2n 8 n 10  n 4 nhưng không có điều ngược lại.
 2n 3
Bài 3: Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số tự nhiên n .
 4n 8
Phân tích:
Để chứng minh một phân số là phân tối giản thì ta cần chứng minh ước chung lớn nhất của tử và mẫu 
phải bằng 1. 
Lời giải:
Điều kiện: n ¥ 
 2n 3d 4n 6d
Giả sử ƯCLN 2n 3,4n 8 d 2d d 1;2
 4n 8d 4n 8d
Vì 2n 3 là số tự nhiên lẻ nên d 2.
 2n 3
Vậy d 1 nên phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n . 
 4n 8
 21n 3
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A rút gọn được.
 6n 4
Lời giải: n 3
Để phân số có giá trị nguyên thì 
 2n 2
 n 3  2n 2 n 3  2 n 1 n 3  n 1 n 1 4  n 1 4 n 1 
Suy ra n 1 là ước của 4 .
Ư 4 1; 2; 4 mặt khác n là số tự nhiên nên n 1 1 nên n 1 1;1;2;4 
Ta có bảng sau:
 n 1 1 1 2 4
 n 0 2 3 5
 n 3 3 5 3 8
 1
 2n 2 2 2 2 8
 Loại Loại
 n 3
Vậy n 5 thì phân số có giá trị nguyên.
 2n 2
Cách 2:
 n 3
Để phân số có giá trị nguyên thì 
 2n 2
 n 3  2n 2 2 n 3 2n 2 2n 6  2n 2 2n 2 8  2n 2 8 2n 2 4 n 1 . 
Suy ra n 1 là ước của 4 
Ư 4 1; 2; 4mặt khác n là số tự nhiên nên n 1 1 nên n 1 1;1;2;4 
Ta có bảng sau:
 n 1 1 1 2 4
 n 0 2 3 5
 n 3 3 5 3 8
 1
 2n 2 2 2 2 8
 ( loại) ( loại)
 n 3
Vậy n 5 thì phân số có giá trị nguyên.
 2n 2 (loại)
 n 7
Vậy n 0;1;4; 7thì có giá trị nguyên.
 3n 1
b) Điều kiện: n ¢ 
 3n 2
Để phân số là số tự nhiên thì 
 4n 5
 3n 2  4n 5 4 3n 2  4n 5 12n 8  4n 5 hay 12n 15 23  4n 5 . 
 3 4n 5 23  4n 5 
Mà 3 4n 5  4n 5 nên 23  4n 5 4n 5 Ư 23 .
Ư 23 1; 23 .
Ta có bảng sau:
 4n 5 1 1 23 23 
 n 3 1 7 9
 2 2
 (loại vì n ¢ ) (loại vì n ¢ ) 
 A 5 1 0
 (loại) 
 3n 2
Vậy n 7 thì là số tự nhiên.
 4n 5
 8n 193
Bài 8: Tìm số tự nhiên n để phân số A .
 4n 3
 a) Có giá trị là số tự nhiên.
 b) Là phân số tối giản.
 c) Phân số A rút gọn được với 150 n 170 .
Lời giải:
Điều kiện: n ¥ 
a) Để phân số A là số tự nhiên thì Vì 150 n 170 nên:
TH1: 150 11k 2 170 148 11k 168 k 14;15
Với k 14 thì n 156 
Với k 15 thì n 167 
TH2: 150 17m 5 170 155 17m 175 m 10
Với m 10 thì n 165 
 8n 193
Vậy n 156;165;167 thì phân số A rút gọn được.
 4n 3
 18n 3
Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số có thể rút gọn được.
 21n 7
Lời giải:
Điều kiện: n ¥ 
Gọi d là ước nguyên tố của 18n 3 và 21n 7 thì:
 18n 3d 7 18n 3 d 126n 21d
 126n 42 126n 21  d 21d
 21n 7d 6 21n 7 d 126n 42d
 d 3;7 với n ¥ và d là số nguyên tố.
 18n 3
Với d 3 mà 18n 33 n ¥ nên để phân số có thể rút gọn được thì 21n 73
 21n 7
Mà 21n 73 n ¥ (vì 21n3 và 73 ) d 3 
 18n 3
Với d 7 thì 21n 7  7 n nên để phân số rút gọn được thì
 21n 7
18n 37 21n 3n 3 7 3 n 1 7 n 17 n 1 7k n 7k 1 k ¢ 
 18n 3
Vậy với n 7k 1 k ¢ thì phân số rút gọn được.
 21n 7
 4n 5
Bài 10: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên.
 2n 1
Lời giải
Điều kiện: n ¢ 
 4n 5
Để phân số là số nguyên thì 
 2n 1
 4n 5  2n 1 hay 4n 2 7  2n 1 2 2n 1 7  2n 1 Bài 12: Với giá trị nào của số tự nhiên a thì :
 8a 19
a) có giá trị nguyên
 4a 1
 5a 17
b) có giá trị lớn nhất.
 4a 23
Lời giải:
Điều kiện: a ¥ 
 8a 19
a) Để là số nguyên thì 
 4a 1
 8a 19  4a 1 hay 8a 2 17  4a 1 hay 2 4a 1 17  4a 1 
Mà 2 4a 1  4a 1 17 4a 1 4a 1 Ư 17 
Ư 17 1; 17.
Ta có bảng sau:
 4a 1 1 1 17 17 
 a 0 1 4 9
 2 2
 (loại vì a ¥ ) (loại vì a ¥ ) 
 A 19 3 
 8a 19
Vậy a 0;4 thì là số nguyên.
 4a 1
 5 5 47
 . a . a 
 5a 17 4 17 4 23 5 47
a) Ta có: 4 4 4 
 4a 23 4a 23 4a 23 4 4 4a 23 
 5a 17
 Để có giá trị lớn nhất thì 4a 23 có giá trị nhỏ nhất
 4a 23
 Mà a ¥ nên 4a 23 1 4a 24 a 6.
 5a 17
 Vậy a 6 thì có giá trị lớn nhất.
 4a 23
 x 6 z
Bài 13: Tìm x, y , z biết và x z 7 y .
 3 y 10
Lời giải: a b a b
Bài 15: Tìm các số tự nhiên a,b sao cho: .
 2 3 2 3
Lời giải: 
Ta luôn có: 
a a
 (xảy ra dấu bằng với a 0)
2 5
b b
 (xảy ra dấu bằng với b 0)
3 5
 a b a b a b
Do đó: .
 2 3 5 5 5
 a b a b
Xảy ra chỉ trong trường hợp a b 0.
 2 3 5
Dạng 2: Tìm phân số biết mối liên hệ giữa tử và mẫu
Một số điều kiện cho trước thường gặp:
  Biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn hơn phân số này và nhỏ hơn phân số kia.
  Viết phân số dưới dạng tổng các phân số đã biết cùng số tử (hoặc cùng số mẫu).
  Liên hệ về phép chia giữa phân số cần tìm với phân số đã cho.
  Biết phân số bằng phân số nào đó và biết quan hệ ƯCLN(Tử , Mẫu) hoặc tổng (hiệu) của tử và 
mẫu.
  Cộng một số vào tử hoặc mẫu được một phân số mới....
Phương pháp giải:
 - Nếu bài toán cho tử số (mẫu số), biến đổi sao cho ba phân số đồng tử (đồng mẫu) rồi so sánh các 
 phân số ta tìm được mẫu số(tử số) còn thiếu.
 -Ở dạng toán viết phân số dưới dạng tổng các phân số đã biết cùng số tử (hoặc cùng số mẫu) ta phải 
 tìm được bộ số thuộc các ước của mẫu sao cho tổng của chúng bằng tử. Khi đó ta tìm được bộ phân 
 số có tổng bằng phân số ban đầu, các phân số này có tử số là ước của mẫu nên khi viết dưới dạng 
 tối giản đều có tử số bằng 1. 
 - Từ các dữ kiện bài toán ta vận dụng linh hoạt các tính chất của phân số tối giản với tính chia hết để 
 giải toán.