Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 7, Chủ đề 2: Bội và ước của số nguyên

 ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 7-SỐ NGUYÊN
 CHỦ ĐỀ 2: BỘI VÀ ƯỚC CỦA SỐ NGUYÊN
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
A. Các định nghĩa
1. Ước và Bội của một số nguyên
Với a,b Z và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b . Ta còn nói a là bội 
của b và b là ước của a .
2. Nhận xét
- Nếu a bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a :b q
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên.
3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết.
Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số a k b
4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a,b,c được kí hiệu là ƯC a,b,c .
5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Bội chung của các số a,b,c được kí hiệu là: BC a,b,c .
6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các 
số đó.
B. Các tính chất
- (a,1) 1;a,1 a .
- Nếu ab (a,b) b;a,b a .
- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) 1;a,b a.b
- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b))
 a dm 10 2.5
- Nếu (a,b) d; (m,n) 1; Ví dụ: (10,15) 5; (2,3) 1.
 b dn 15 3.5
 c am 30 10.3
- Nếu a,b c; (m,n) 1; Ví dụ: 10,15 30; (2,3) 1.
 c bn 30 15.2
- ab (a,b).a,b .
- Nếu a là ước của b thì a cũng là ước của b .
- Nếu a là bội của b thì a cũng là bội của b . y - 3 - 7 3 - 17 - 50 - 1
 x : y 12 7 - 1 2 0 11 
 Bài 5: 
 1) Cho A 1 2 3 4 ... 99 100
 a) Tính A
 b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
 c) A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?
 2) Thay a,b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24a68b45
 3) Cho a là một số nguyên có dạng a 3b 7 b ¢ . Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá 
 trị sau:
 a 11;a 2002;a 2003;a 11570;a 22789;a 29563;a 299537
Lời giải:
 1a) A 50
 1b) A2cho5, A không chia hết cho 3
 1c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên.
 2)Ta có: 45 9.5 mà 5,9 1
 b 0
 Do 24a68b45 suy ra 24a68b5 
 b 5
 Th1: b 0 ta có số 24a680
 Để 24a6809 thì 2 4 a 6 8 0 9 a 209 a 7
 Th2: b 5 ta có số 24a685
 Để 24a6859 thì 2 4 a 6 8 5 9 hay a 259 a 2
 a 7,b 0
 Vậy 
 a 2,b 5
 3)Số nguyên có dạng a 3b 7 b ¢ hay a là số chia 3 dư 1
 Vậy a có thể nhận những giá trị là a 2002;a 22789;a 29563
Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (hoặc thỏa mãn số đã cho là số nguyên).
I.Phương pháp giải n 1
Vậy n 1;1;3;5 thì có giá trị là một số nguyên.
 n 2
 Bài 4: Tìm số nguyên n để 5 n2 2n chia hết cho n 2
Lời giải:
Ta có 5 n2 2n 5 n n 2 
Vì n n 2  n 2 , nên để 5 n2 2n  n 2 thì 5 n 2 
 n 2 phải là ước của 5 n 2 5; 1;1;5 n 3; 1;3;7
Vậy n 3; 1;3;7 thì 5 n2 2n chia hết cho n 2
 n 1
 Bài 5: Cho A . Tìm n nguyên để A là một số nguyên
 n 4
Lời giải:
 n 1
Ta có A là một số nguyên khi n 1  n 4 
 n 4
Ta có n 1 n 4 5, do đó n 1  n 4 khi 5 n 4 
 n 4 phải là ước của 5 n 4 5; 1;1;5 n 9; 5; 3;1
Vậy n 9; 5; 3;1 thì A là một số nguyên
 4n 5
 Bài 6: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên
 2n 1
Lời giải:
 4n 5
Ta có là một số nguyên khi 4n 5  2n 1 
 2n 1
Ta có 4n 5 2 2n 1 7, do đó 4n 5  2n 1 khi 7 2n 1 
 2n 1 là ước của 7 2n 1 7; 1;1;7 n 3;0;1;4
 4n 5
Vậy n 3;0;1;4 thì có giá trị là một số nguyên
 2n 1
 3n 2
 Bài 7: Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = có giá trị là số nguyên.
 n 1
Lời giải: 3 5 36 60
Vậy ta có hai cặp a;b là 12;180 , 36;60 .
 4n 1 2 2n 3 7 7
b) A 2 
 2n 3 2n 3 2n 3 2n 3
A có giá trị nguyên 2n 3 Ư 7 1; 7 .
Ta có bảng sau
 2n 3 1 1 7 7 
 n 1 2 2 5 
Vậy n 1; 2;2; 5 
 12n 1
 Bài 10: Cho A . Tìm giá trị của n để:
 2n 3
 a) A là một phân số b) A là một số nguyên
Lời giải:
 12n 1 n ¢
a) A là phân số khi 12n 1 ¢ ,2n 3 ¢ ,2n 3 0 
 2n 3 n 1,5
 12n 1 17
b) A 6 
 2n 3 2n 3
A là số nguyên khi 2n 3 Ư (17) 2n 3 1; 17 n 10; 2; 1;7
 Bài 11: 
 a) Tìm giá trị n là số tự nhiên để n 7 chia hết cho n 2
 b) Tìm x là số chia trong phép chia 235 cho x được số dư là 14
Lời giải:
a) x 7  x 2 5 x 2 x 2 Ư (5) 1; 5
 x 3; 1; 7;3 .
b)235: x dư 14 235 14x x 14 
 221x x 14 x 17;221
 Bài 12: Tìm n ¢ biết: 3n 8  n 1 
Lời giải: 3. 1 3 32 34. 1 3 32 ..... 388. 1 3 32 
 13. 3 34 ..... 388 13 A13
b) xy 2x y 1 0 x y 2 y 2 3
 x 1 y 2 3 1. 3 3 .1
Từ đó suy ra x; y 0; 1 ; 4;3 
 Bài 15: Tìm tất cả các số nguyên n để:
 n 1
 a)Phân số có giá trị là một số nguyên
 n 2
 12n 1
 b)Phân số là phân số tối giản
 30n 2
Lời giải:
 n 1
a) là số nguyên khi n 1  n 2 
 n 2
Ta có: n 1 n 2 3, vậy n 1  n 2 khi 3 n 2 
 n 2 U (3) 3; 1;1;3 n 1;1;3;5
b)Gọi d là ƯC của 12n 1và 30n 2 d ¥ * 12n 1d,30n 2d
 5 12n 1 2 30n 2 d 60n 5 60n 4 d 1d
mà d ¥ * d 1
Vậy phân số đã cho tối giản
 2n 7
 Bài 16: Tìm số nguyên n để phân số M có giá tri là số nguyên
 n 5
Lời giải:
 2n 7 2n 10 3 3
a)M 2 ¢ n 5 Ư (3) 1; 3
 n 5 n 5 n 5
 n 2;4;6;8
 n 3
 Bài 17: Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị là số nguyên
 2n 2
Lời giải: x; y 40;0 ; 0;40 ; 2; 42 ; 42; 2 
 Bài 3: Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn 2x 3y 14
Lời giải:
Xét 2x 5y 14 (1)
Ta có: 142;2x2 5y2 y2
Ta có 5y 14 y 14 :5 y 2 , mà y chẵn nên y 2
Thay vào (1) x 2
Vậy x 2; y 2
 Bài 4: Tìm số tự nhiên x, y biết: 2x 1 y 3 12
Lời giải:
a) 2x 1 y 3 12 1.12 3.4 (do 2x 1lẻ)
2x 1 1 x 0 y 15
2x 1 3 x 1 y 4
 Bài 5: Tìm các số nguyên x, y sao cho: x 1 xy 1 3
Lời giải:
Vì x 1 xy 1 3, x ¢ , y ¢ x 1 ¢ , xy 1 ¢
Do đó, x 1 U (3) 1; 3
Ta có:
 x 1 1 -1 3 -3
 xy 1 3 -3 1 -3
 x 0 -2 2 -4
 y ktm 1 1 0
Vậy các cặp x; y thỏa mãn là: 2;1 ; 2;1 ; 4;0 
 a 1 1
 Bài 6: Tìm các số nguyên a,b biết rằng: 
 7 2 b 3
Lời giải: y 54 18 6 2
Vậy x; y 1;54 ; 2;18 ; 5;6 ; 14;2 
 Bài 11: Tìm số nguyên x và y,biết: xy x 2y 3
Lời giải:
xy x 2y 3 xy x 2y 2 1
 x y 1 2 y 1 1 y 1 x 2 1
 y 1 1 y 2
*) 
 x 2 1 x 1
 y 1 1 y 0
*) 
 x 2 1 x 3
Vậy x 1; y 2 hoặc x 3; y 0
 Bài 12: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho 2x 1 y 5 12 
Lời giải:
Ta có: 2x 1; y 5 U (12) 1.12 2.5 3.4
 2x 1 1 x 0; y 17
Do 2x 1lẻ 
 2x 1 3 x 1; y 9
Vậy x; y 0,17 ; 1,9 
 Bài 13: Tìm x, y nguyên biết: 2x 3y 2 3y 2 55
Lời giải:
2x 3y 2 3y 2 55
 3y 2 2x 1 55
Ta có bảng sau:
 3y 2 1 55 5 11
 2x 1 55 1 11 5
 x 27 0 5 2
 1 53
 y KTM KTM 1 3
 3 3 
Vậy ta có các cặp x; y là 5; 1 , 2; 3 . (x 2)2 1 x 2 1 x 3
TH1: 
 y 3 4 y 1 y 1
 x 2 1 x 1
hoặc 
 y 1 y 1
 (x 2)2 22 x 2 2 x 4
TH2: 
 y 3 1 y 2 y 2
 x 2 2 x 0
hoặc 
 y 2 y 2
 Bài 17: Tìm các số x, y N biết: x 1 2 y –1 12
Lời giải:
 x 1 2y –1 12 1.12 2.6 3.4 12.1 6.2 4.3 ;x, y N
Mà 2y –1 là số lẻ 2y –1 1; 2y –1 3
Với 2y –1 1 y 1 thì x 1 12 x 11
Ta được x 11; y 1
Với 2y –1 3 y 2 thì x 1 4 x 3
Ta được x 3; y 2
Kết luận: với x 11; y 1 hoặc x 3, y 2 thì x 1 2y 1 12 .
 5 y 1
 Bài 18: Tìm số nguyên x, y biết: .
 x 3 6
Lời giải:
5 1 y 5 1 2y
 x 1 2y 5.6 30 (4) x, 1 2y Ư(30) (1)
 x 6 3 x 6
Mà Ư(30 ) 30; 15; 10; 6; 5; 3; 2; 1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30  (2)
Mặt khác 1 2y là số lẻ (3)
Từ (1, (2), (3), (4) ta có bảng sau:
 1 2y 15 5 3 1 1 3 5 15
 x 2 6 10 30 30 10 6 2
 y 8 3 2 1 0 1 2 7