Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 7, Chủ đề 1: Số nguyên và tập hợp số nguyên

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 7 - SỐ NGUYÊN.
 CHỦ ĐỀ 1: SỐ NGUYÊN VÀ TẬP HỢP SỐ NGUYÊN.
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. TẬP HỢP SỐ NGUYÊN.
- Các số tự nhiên (khác 0) 1;2;3;4;... còn được gọi là các số nguyên dương.
- Các số 1; 2; 3;... gọi là các số nguyên âm.
- Tập hợp ¢ gồm các số nguyên âm, số 0, số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên. 
 ¢ ...; 3; 2; 1;0;1;2;3;...
- Tập hợp các số nguyên được biểu diễn trên trục số.
- Cho a,b ¢ . Trên trục số, các điểm a ; b cách đều điểm 0 thì a được gọi là số đối của b và ngược lại b
cũng là số đối của a , số đối của 0 là 0.
2. THỨ TỰ TRONG ¢
- Trên trục số nằm ngang, chiều dương của trục số hướng từ trái qua phải, chiều ngược lại là chiều âm.
- Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a .
- Cho a,b ¢ nếu điểm a nằm trước điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b (ký hiệu là a b ) 
- Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0, do đó nhỏ hơn mọi số nguyên dương.
- Nếu a;b là hai số nguyên dương và a b thì a b
* Nâng cao: Với a,b,c ¢ nếu a b ; b c thì a c (tính chất bắc cầu).
3. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ NGUYÊN.
- Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng phần số tự nhiên của chúng với nhau rồi đặt dấu " " trước kết quả.
- Hai số nguyên đối nhau thì có tổng bằng 0.
- Muốn cộng hai số nguyên khác dấu (không đối nhau), ta tìm hiệu hai phần số tự nhiên của chúng (số lớn 
trừ số nhỏ) rồi đặt trước hiệu tìm được dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.
- Phép cộng số nguyên có các tính chất:
* Giao hoán: a b b a
* Kết hợp: a b c a b c 
* Cộng với 0: a 0 0 a a
- Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b , ta cộng a với số đối của b
 a b a b 
- Quy tắc dấu ngoặc:
* Khi bỏ dấu ngoặc có dấu " "đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc.
* Khi bỏ dấu ngoặc có dấu " " đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu " " 
đổi thành dấu " " và dấu " " đổi thành dấu " " Cách 2: B x ¢ | x 5
 c) Cách 1: C 4; 3; 2; 1;0;1;2;...
 Cách 2: C x ¢ | x 5
 Bài 3: Viết các tập hợp sau bằng hai cách:
 a) Tập hợp A các số nguyên lớn hơn -100 và nhỏ hơn 100.
 b) Tập hợp B các số nguyên có 1 chữ số.
Lời giải: 
 a) Cách 1: A 99; 98; 97;...;97;98;99
 Cách 2: A x ¢ | 100 x 100
 b) Cách 1: B 9; 8; 7;...;7;8;9
 Cách 2: B x ¢ | 10 x 10
 Bài 4: Các phần tử của các tập hợp sau được viết theo quy luật nào? Viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính 
 chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
 a) A 1;3;5;7;9;...
 b) B 2; 7; 12; 17;...
Lời giải: 
 a)Tập hợp A gồm các số tự nhiên khác 0; các phần tử lập thành dãy số: 1;3;5;7;9;...
 Đây là dãy số cách đều, số hạng đầu là 1, khoảng cách là 2. Các số hạng của dãy là các số tự nhiên lẻ 
(chia 2 dư 1) nên có dạng 2n 1với n ¥
 A x ¥ | x 2n 1;n ¥ 
 b) Tập hợp B gồm các số nguyên âm; các phần tử lập thành dãy số: 2; 7; 12; 17;... 1 
 Xét dãy số 2;7;12;17;... 2 
 Dãy 2 là dãy số cách đều, số hạng đầu là 2, khoảng cách là 5. Các số này đều chia 5 dư 2 nên có dạng 
5n 2 với n ¥ . 
 Vậy các số hạng của dãy 1 có dạng là (5n 2) với n ¥ .
 B x ¥ | x (5n 2);n ¥ 
 Bài 5: Các phần tử của các tập hợp sau được viết theo quy luật nào? Viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính 
 chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
 a) A 1; 5;9; 13;...
 b) B 1;4; 7;10;...
Lời giải: 
 a)Các phần tử của tập A lập thành dãy số 1; 5;9; 13;... 1 1152 1152 374 374 65 28. 400 
 1152 1152 374 374 65 11200
 65 d) 53.5678910 53.5678909
 53. 5678910 5678909 
 53.1
 125
 Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
 a) 2021. 2020 2022 2020. 2021 2022 
 b) 2021. 2022 179 2022. 2021 179 
 c) 2.31.12 4.6.42 8.27.3
 d) 2021.74 2021.27 2021
Lời giải: 
 2.31.12 4.6.42 8.27.3
 a) 2021. 2020 2022 2020. 2021 2022 c) 
 2.12.31 4.6.42 8.3.27
 2021.2020 2021.2022 2020.2021 2020.2022
 24.31 24.42 24.27
 2021.2020 2020.2021 2021.2022 2020.2022
 24. 31 42 27 
 2022. 2021 2020 
 24.100 2400
 2022
 d) 2021.74 2021.27 2021
 b) 2021. 2022 179 2022. 2021 179 
 2021.74 2021.27 2021 
 2021.2022 2021.179 2022.2021 2022.179
 2021.74 2021.27 2021.1 
 2021.2022 2022.2021 2022.179 2021.179
 179. 2022 2021 2021 74 27 1 
 179 2021.100 202100
 Bài 3: Thực hiện phép tính:
 a) 1.2.3....9 1.2.3....8 1.2.3....7.82
 b) 25 .68 34 . 250 
 c) x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 với x 7
 d) 20212021. 2022 20222022. 2021 
Lời giải: 
 a) 1.2.3....9 1.2.3....8 1.2.3....82 c) x 6 x 6 x 6 x 6 x 6
 1.2.3...8.9 1.2.3....8.1 1.2.3....8.8 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 
 1.2.3...8. 9 1 8 5. x 6 
 0 Thay x 7 vào ta có 5. 7 6 65 Số số hạng của dãy ** là 100 1 :1 1 100
 Tổng D có 100 số hạng, khi nhóm 2 số hạng vào một nhóm ta được 50 nhóm.
 Ta có D 1 2 3 4 ... 99 100 
 1 1 ... 1 
 1.50
 50
 Bài 5: Tính:
 a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 2019 2020 2021 2022
 b) B 100 98 96 94 ... 2 99 97 95 93 ... 1
Lời giải: 
 a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 2019 2020 2021 2022
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2018 2019 2020 2021 2022
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2018 2019 2020 2021 2022
 Dãy các số tự nhiên liên tiếp 2;3;4;5;...;2021 có 2021 2 1 2020 số hạng, khi nhóm 4 số vào 
 một nhóm ta được 505 nhóm.
 Ta có A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2018 2019 2020 2021 2022
 1 0 0 ... 0 2022
 1 0.505 2022
 2023
 b) B 100 98 96 94 ... 2 99 97 95 93 ... 1
 100 99 98 97 96 95 ... 2 1
 100 99 98 97 96 95 ... 2 1 
 Từ 1 đến 100 có 100 số, khi nhóm 2 số vào một nhóm ta được 50 nhóm.
 Vậy B 1 1 1 ... 1 1.50 50
 Bài 6: Tính
 a) A 2 ( 4) 6 ( 8) ... 2018 ( 2020) 2022
 b) B 2022 2020 2018 2016 ... 2 2019 2017 2015 ... 1
Lời giải: 
 a) A 2 ( 4) 6 ( 8) ... 2018 ( 2020) 2022
 Số số hạng của A bằng số số hạng của dãy 2;4;6;...;2022
 A có 2022 2 : 2 1 1011 số hạng. Kể từ số hạng đầu tiên, khi nhóm hai số vào một nhóm 
 thì ta được 505 nhóm và dư số 2022 đứng một mình.
 Ta có A 2 ( 4) 6 ( 8) ... 2018 ( 2020) 2022
 A 2 ( 4) 6 ( 8) ... 2018 ( 2020) 2022
 2 2 ... 2 2022
 2 .505 2022 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2006 2007 2008 2009 2010
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2006 2007 2008 2009 2010 * 
 Từ 2 đến 2009 có 2009 2 1 2008 số, khi nhóm 4 số vào một nhóm ta được 502 nhóm, mỗi 
 nhóm ở * đều có tổng bằng 0.
 Vậy ta có C 1 0 0 ... 0 2010 1 0.502 2010 2009
 3 3 3 3
 d) D 2 4 6 ... 18
 2.1 3 2.2 3 2.3 3 ... 2.9 3
 23.13 23.23 23.33 ... 23.93
 23. 13 23 33 ... 93 **
 Vì 13 23 33 ... 93 2025 nên thay vào ** ta có D 23.2025 16200
 Vậy D 16200
 Bài 8: Cho A 550 548 546 544 ... 56 54 52 1
 a) Thu gọn A .
 b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A 1 5n .
 c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
Lời giải: 
 a) A 550 548 546 544 ... 56 54 52 1
 550 548 546 544 ... 56 54 52 1 
 548 52 1 544 52 1 ... 54 52 1 1 52 1 
 24. 548 544 ... 54 1 
 Đặt S 548 544 ... 54 1
 Ta có 54.S 54. 548 544 ... 54 1 552 548 ... 58 54
 54 S S 552 548 ... 58 54 548 544 ... 54 1 
 552 1
 624.S 552 1 S 
 624
 552 1 552 1
 Vậy A 24. 
 624 26
 552 1
 b) Theo ý a ta có A 26A 552 1 26A 1 552
 26
 Mặt khác theo đề bài ta có 26.A 1 5n nên suy ra 5n 552 n 52
 Vậy n 52
 c) Theo ý a ta có A 24. 548 544 ... 54 1 
 24. 548 544 ... 54 24
 6.4.52 546 542 ... 52 24
 100.6. 546 542 ... 52 24 a) 1 2 3 4 ... 98 99 x 100
 2
 b) 2016 : 25 3x 2 3 .7
 c) x 2 x 3 0
 d) x 2 2 5 x 2 0
Lời giải: 
 a) 1 2 3 4 ... 98 99 x 100
 1 2 3 4 ... 97 98 99 x 100
 1 1 ... 1 99 x 100
 1 .49 99 x 100
 50x 100
 x 2
 Vậy x 2
 2
 b) 2016 : 25 3x 2 3 .7
 2016 : 25 3x 2 63
 25 3x 2 2016 : 63
 25 3x 2 32
 3x 2 25 32
 3x 2 7
 3x 9
 x 3
 Vậy x 3
 c) x 2 x 3 0
 x 2 0 x 2
 x 3 0 x 3
 Vậy x 2;3
 d) x 2 2 5 x 2 0
 x 2 . x 2 5 0
 x 2 x 3 0
 x 2 0 x 2
 x 3 0 x 3
 Vậy x 2; 3
 Bài 2: Tìm x ¢ biết:
 a) x 5 x 10 x 15 ... x 60 450