Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 5, Chủ đề 3: Các bài toán về hợp số

 ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
 CHỦ ĐỀ 3:CÁC BÀI TOÁN VỀ HỢP SỐ
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.SỐ NGUYÊN TỐ
-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố 
là vô hạn.
-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.
-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
-Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố ( a 1),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho 
mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
 a p
-Nếu tích ab p (p là số nguyên tố)
 b p
-Đặc biệt nếu an  p a p (p là số nguyên tố)
-Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1(n N * )
-Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1(n N * )
-Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị.
2.HỢP SỐ
-Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để chứng tỏ một số tự nhiên a ( a 1) là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
-Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá 
nó.
-Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh.
-Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể 
thứ tự các thừa số) 
3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
-Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất 
bằng 1.
a,b nguyên tố với nhau (a,b) 1;(a,b N * )
- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
- Hai sô nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
- Các số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) 1 a) Ta có : 5.6.7 8.9 3 5.2.7 8.3 3 tổng trên là hợp số
b) Ta có : 5.7.9.11.13 2.3.7 7 5.9.11.13 2.3 7 tổng trên là hợp số
c) Ta có: 5.7.11 là 1 số lẻ và 13.17.19 cũng là 1 số lẻ, nên tổng là số chẵn 2 Là hợp số
d) Ta có: 4253 1422 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5. Vậy tổng trên là hợp số
Bài 3: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
a) 17.18.19.31 11.13.15.23
b) 41.43.45.47 19.23.29.31
c)987654 54321
Lời giải
a) Ta có: 17.18.19.31 11.13.15.23 3 17.6.19.31 11.13.5.23 3 17.18.19.31 11.13.15.23 là hợp số
b) Ta có: 41.43.45.47 là số lẻ, 19.23.29.31 là số lẻ, nên 41.43.45.47 19.23.29.31 là số chẵn 
nên 41.43.45.47 19.23.29.31 là hợp số
c) Ta có: 987654 54321 có chữ số tận cùng là 5 nên chia hết cho 5 nên tổng trên là hợp số
Bài 4: Các số tự nhiên abab; abcabc; ababab là số nguyên tố hay hợp số. 
Lời giải
Ta có abab 101.ab có nhiều hơn hai ước số.
abcabc 1001.abc 1.11.13.abc có nhiều hơn hai ước số.
ababab 101o1.ab 3.7.13.37.ab có nhiều hơn hai ước số.
Vậy các số tự nhiên abab; abcabc; ababab là hợp số. 
Bài 5: Nếu p là số nguyên tố thì
a. p2 p 2 là số nguyên tố hay hợp số 
b. p2 200 là số nguyên tố hay hợp số
 Lời giải:
a) Ta có: p2 p 2 p( p 1) 2
Vì p; p 1 là hai số liên tiếp nên p p 1 là số chẵn
Nên p2 p 2 là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số .
b) 
- Với p 2 p2 200 là số chẵn lớn hơn 2 p2 200 là hợp số
- Với p 3 p2 200 2097 p2 200 là hợp số
- Với p 3 p2 :3 dư 1; 2003dư 2 p2 200 3 p2 200 là hợp số
Vậy p2 200 luôn là hợp số. Bài 8: Cho p và p 8 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p 100 là số nguyên tố hay là hợp số?
Lời giải:
Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3n 1;3n 2,(n N * )
 *
TH1: p 3n 1,(n N ) thì p 8 3n 9 3(n 3)3
Mà p 8 là số lớn hơn 3 nên p 8 là hợp số ( Vô lí vì p 8 là số nguyên tố )
TH2: p 3n 2(n N * ) thì p 8 3n 10
Khi đó p 100 3n 2 100 6n 102 3(2n 34)3
Mà p 100 là số lớn hơn 3 nên p 100 là hợp số.
Bài 9: Cho p và 8p 1 là các số nguyên tố ( p 3) . Chứng minh 4 p 1 là hợp số.
Lời giải:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 p có dạng 3k 1;3k 2(k ¥ * ) 
Nếu p 3k 1 8p 1 24k 9 3 8k 3 3 8p 1 là hợp số ( Vô lí vì 8p 1 là số nguyên tố)
Vậy p 3k 2 khi đó 4 p 1 12k 9 3(4k 3)3 và 12k 9 3 nên là hợp số. 
Vậy nếu p và 8p 1 là các số nguyên tố ( p 3) thì 4 p 1 là hợp số. 
Bài 10 : Cho p và 2 p 1 là các số nguyên tố ( p 3) . Chứng minh 4 p 1 là hợp số.
Lời giải:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 p có dạng p 3k 1, p 3k 2 k ¥ * 
+) Nếu p 3k 1 thì 2 p 1 6k 33 và 6k 3 3nên là hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết 2 p 1 là các 
số nguyên tố)
Vậy p 3k 2 Khi đó 4 p 1 12k 93và12k 9 3 nên là hợp số.
Vậy nếu p và 2 p 1 là các số nguyên tố ( p 3) thì 4 p 1 là hợp số.(đpcm)
Bài 11: 
a) Cho p và p 2 là số nguyên tố ( p 3) . Chứng minh p 1 là hợp số và p 16
b) Cho p và p 4 là các số nguyên tố . Chứng minh p 2021 là hợp số.
Lời giải:
a) Với p 3 , ta có p, p 1, p 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp 
Do đó trong 3 số trên có 1 số chia hết cho 3 1 
Mà p; p 2 là các số nguyên tố nên p 13và p 3 p 1 là hợp số 
Lại có số nguyên tố p 3 
Nên p 1 là số chẵn p 12 2 
Từ (1)(2) p 16 1112111 1111000 1111 1111(103 1)
 n
111...12111...1 111...1000...0 1 1...1 111....1(1 0....0 1) 1 1...1(10 1) là hợp số
 n n n 1 n n 1 n 1 n n 1
Bài 16: Chứng minh rằng 1 1...122.....2(n 2) là hợp số.
 n n
Lời giải:
Ta có: 
1 1...122.....2 1 1...100.....0 22.....2
 n n n n n
1 1...122.....2 1 1...1.100.....0 2.11.....1
 n n n n n
1 1...122.....2 1 1...1. 100.....0 2 là hợp số
 n n n n 
Bài 17: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là hợp số. Tìm số dư đó
Lời giải:
Gọi p là số nguyên tố theo đầu bài, khi đó: p 42.k r 2.3.7k r(0 r 42) 
Vì r là hợp số 2 r 42
Vì p là số nguyên tố 
 r không chia hết cho 2,3,7
Mà r là hợp số nên r 25là giá trị cần tìm
Vậy r 25
Bài 18: Một số nguyên tố chia cho 60 có số dư là r . Tìm số dư, biết rằng r có thể là hợp số hay là số 
nguyên tố không?
Lời giải:
Giả sử p là số nguyên tố: 
 p 60k r(k N;0 r 60);60 22.3.5 p 22.3.5.k r r  2,3,5 
 r 1 hoặc r là số nguyên tố hoặc là hợp số và không chia hết cho 2, 3, 5
 r 1
 r 1 hoặc r là số nguyên tố khác 2, 3, 5 hoặc r = 49 
 r 49
Bài 19: Cho p và p 2 là các số nguyên tố ( p 3 ).Chứng minh rằng tổng của hai số nguyên tố đó chia 
hết cho 12.
Lời giải:
Đặt A p p 2 2 p 2 2 p 1 
Và p 2 p 1 3
Xét 3 số liên tiếp p 1, p, p 1 phải có 1 số chia hết cho 3 Bài 19: Cho F x ax3 bx2 cx d a ¢ , biết F 5 F 3 2010 . Chứng minh rằng: 
F 7 F 1 là hợp số.
Lời giải
Ta có 2010 F 5 F 3 53 33 a 52 32 b 5 3 c 98a 16b 2c
 16b 2c 2010 98a
 F 7 F 1 73 13 a 72 12 b 7 1 c 342a 48b 6c
 342a 3 16b 2c 342a 3 2010 98a 48a 6030 3. 16a 2010 3
Vì a nguyên dương nên 16a 2010 1.
Vậy F 7 F 1 là hợp số.
Bài 20: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3, sao cho 14p + 1 cũng là số nguyên tố thì 
7p + 1 là bội số của 6.
Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3
Khi đó 7 p 1 là 1 số chẵn nên chia hết cho 2
Mặt khác vì p không chia hết cho 3 nên p có dạng p 3k 1, p 3k 2, k ¥ * 
Với p 3k 1 giả sử là số nguyên tố, 14 p 1 45k 153 nên p 3k 1 l 
Với p 3k 2 14 p 1 42k 29 giả sử là số nguyên tố, khi đó: 7 p 1 21k 153 
Như vậy 7 p 16
Bài 21: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p 1 và p 1 không thể là các số 
chính phương
Lời giải
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không thể chia hết cho 4 (1)
- Giả sử p + 1 là số chính phương, đặt p 1 m2 m N 
Vì p chẵn nên p 1 lẻ m2 lẻ => m lẻ
Đặt m 2k 1 k N , ta có: m2 4k 2 4k 1 p 1 4k 2 4k 1 p 4k 2 4k 4k k 1 
Mâu thuẫn với (1)
=> p + 1 không thể là số chính phương
- Giả sử p 2.3.5.... là 3 p 1 có dạng 3k+2 p 1 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích của n n 1 số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không là số chính phương
Bài 22: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn : 10 p 1 cũng là số nguyên tố. CMR : 5p 16 c) Ta có : 
4525 có chữ số tận cùng là 5
3715 có chữ số tận cùng là 3
 4525 3715 có chữ số tận cùng là 8
 4525 3715 là 1 số chẵn 
 4525 3715 là hợp số
d) Ta có 
95354 có chữ số tận cùng là 5
5125 có chữ số tận cùng là 1
 95354 5125 có chữ số tận cùng là 6
 95354 5125 là 1 số chẵn 
 95354 5125 là hợp số
Bài 25: Chứng minh các số sau là hợp số
 a) 108 107 7 b) 175 244 1321 c) 42525 3715
Lời giải
a)Ta có : 108 107 7 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên là hợp số
b) Ta có : 175 244 1321 là số chẵn nên là hợp số
c) 42525 3715 là số chẵn nên là hợp số
Bài 26: Chứng minh các số sau là hợp số
 2n 1 4n 1
a) 1 27 311 513 717 1119 b) 195354 15125 c) 22 1,n ¥ d) 22 6,n ¥
Lời giải
a) 1 27 311 513 717 1119 là số chẵn nên là hợp số.
b) Ta có: 195354 15125 là số chẵn nên là hợp số
 2n 1 n n 2
c) Ta có : 22n 1 22n.2 4n.2 22 24 .2 24 
Ta có : 
 n
24 có chữ số tận cùng là 6
 n 2
 24 có chữ số tận cùng là 6
 2n 1
 22 1có chữ số tận cùng là 5
 2n 1 2n 1
 22 15 22 1 là hợp số 
 2n 1 n n 2
d) Ta có : 24n 1 24n.2 16n.2 24 216 .2 216 
Ta có :