Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 5, Chủ đề 2: Phương pháp dãy số để tìm số nguyên tố

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. SỐ NGUYÊN TỐ
-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố 
là vô hạn.
-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.
-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
-Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố ( a 1),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho 
mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
 ap
-Nếu tích abp (p là số nguyên tố)
 bp
-Đặc biệt nếu a n p ap (p là số nguyên tố)
-Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1(n N* )
-Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1(n N* )
-Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
 Dạng 1: Tìm số nguyên tố để một hay nhiều biểu thức đồng thời là số nguyên tố. 
I. Phương pháp giải
-Dựa vào các dấu hiệu chia hết và các tính chất về số nguyên tố ,hợp số, để giải các bài toán về chứng 
minh hoặc giải thích.
- Trong n số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số chia hết cho n.
- Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán.
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố.
a, p 10,p 14
b, p 2,p 6,p 8,p 12,p 14
Lời giải:
a,
- Với p 2 p 2 4 là hợp số, nên p 2 không thỏa mãn đề bài. 
- Với p 3 p 10 13, p 14 17 đều là số nguyên tố. Do đó p 3 thỏa mãn đề bài.
- Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N Ta thấy p1 ,p1 2,p1 4 là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp.
Theo câu 2 p1 3 p p1 2 5.
Thử lại: p 5 5 2 3 7 2.
Vậy số cần tìm là 5.
Bài 4: Tìm k N để dãy số k 1,k 2,.....,k 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất.
Lời giải:
-Nếu k 0 Ta có dãy số 1;2;3;...;10 có các số nguyên tố là 2;3;5;7 Có 4 số nguyên tố.
-Nếu k 1 Ta có dãy số 2;3;4;...;11có các số nguyên tố là 2;3;5;7;11 Có 5 số nguyên tố.
-Nếu k 2 Ta có dãy số 3;4;5;...;12 có các số nguyên tố là3;5;7;11 Có 4 số nguyên tố.
-Nếu k 3 Dãy số k 1,k 2,...,k 10 đều gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp và 5 sô 
chẵn liên tiếp.
Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn 
tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số.
Vậy k 1là giá trị cần tìm.
Bài 5: Tìm số nguyên tố p sao cho: p 94, p 1994cũng là số nguyên tố.
Lời giải:
- Với p 2 là số nguyên tố nên p 94 96 là hợp số. Do đó p 2 không thỏa mãn đề bài.
- Với p 3 là số nguyên tố p 94 97, p 1994 1997 đều là số nguyên tố. Do đó p 3 thỏa mãn 
đề bài.
- Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N,k 0 
+ Nếu p 3k 1 p 1994 3k 1 19943 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài.
+ Nếu p 3k 2 p 94 3k 2 943 là hợp số p 3k 2 không thỏa mãn đề bài.
Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm.
Bài 6: Tìm số nguyên tố p sao cho p 18, p 24, p 26, p 32 cũng là số nguyên tố. 
Lời giải:
- Với p 2 ta có p 94 96 là hợp số p 2 không thỏa mãn đề bài.
- Với p 3 ta có p 94 97, p 1994 1997 đều là số nguyên tố, do đó p 3 thỏa mãn đề bài.
- Với p 3 , p là số nguyên tố nên p có dạng p 3k 1hoặc p 3k 2, k N,k 0 
+ Nếu p 3k 1 p 1994 3k 1 19943 là hợp số p 3k 1 không thỏa mãn đề bài.
+ Nếu p 3k 2 p 94 3k 2 943 là hợp số, do đó p 3k 2 không thỏa mãn đề bài.
Vậy p 3 là số nguyên tố cần tìm.
Bài 7: Tìm số nguyên tố p sao cho: p 2, p 8, p 16 đều là số nguyên tố.
Lời giải:
- Với p 2 là số nguyên tố p 94 96 là hợp số p 2 không thỏa mãn đề bài. Bài 10: Tìm tất cả các số nguyên tố p , q sao cho 7 p q và pq 11 cũng là số nguyên tố
Lời giải:
Nếu pq 11 là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ vì nó là số nguyên tố lớn hơn 2
Suy ra pq là số chẵn, khi đó ít nhất 1 trong 2 số p hoặc q bằng 2
Giả sử p 2 7 p q 14 q là số nguyên tố
+ Nếu q 2 7 p q 7.2 2 16 là hợp số, p 2,q 2 không thỏa mãn.
+ Nếu q 3 p.q 11 2.3 11 17 và 7 p q 7.2 3 17 đều là các số nguyên tố, p 2,q 3 
thỏa mãn đề bài.
+ Nếu q 3 , q là số nguyên tố nên có dạng q 3k 1 hoặc q 3k 2, k N * 
+ Với q 3k 1 7 p q 14 3k 13 là hợp số q 3k 1 không thỏa mãn.
+ Với q 3k 2 pq 11 2q 11 2 3k 2 11 6k 153 là hợp số q 3k 2 không thỏa mãn.
Vậy p 2,q 3 .
Xét tiếp TH q 2 làm tương tự ta được p 3 .
Vậy p 2,q 3 hoặc p 3,q 2 .
Bài 11: Tìm số nguyên tố p sao cho 5p 7 là số nguyên tố.
Lời giải:
- Nhận thấy p 2 là số nguyên tố, và 5p 7 17 cũng là số nguyên tố
- Với p 2 và p là số nguyên tố thì p có dạng p 2k 1, k N * 
Nếu p 2k 1 5p 7 5 2k 1 7 10k 122 là hợp số, nên p 2k 1 không thỏa mãn.
Vậy p 2 là số nguyên tố cần tìm.
Bài 12: Ta gọi p,q là hai số tự nhiên liên tiếp, nếu giữa p và q không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số 
nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho p2 q2 r 2 cũng là số nguyên tố.
Lời giải:
Nếu 3 số nguyên tố p,q,r đều khác 3 thì p,q,r đều có dạng 3k 1 suy ra p2 q2 r 2 chia cho 3 đều dư 
1. Khi đó p2 q2 r 2 3 và p2 q2 r 2 3 nên p2 q2 r 2 là hợp số. Vậy p 3,q 5,r 7 , khi đó 
 p2 q2 r 2 32 52 72 83 là số nguyên tố.
Bài 13: Tìm các số nguyên tố a sao cho 6a 13 là số nguyên tố và 25 6a 13 45
Lời giải:
Ta có : Từ 25 đến 45 có 5 số nguyên tố là : 29;31;37;41;43
Nên ta có bảng sau :
 6a 13 29 31 37 41 43
 8 14
 a 3 4 5
 3 3
Mà a là số nguyên tố nên a 3hoặc a 5 .
Vậy a 3hoặc a 5 .
Bài 14: Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a.b.c 3(a b c) .
Lời giải:
Vì a.b.c 3(a b c) abc3 ( Loại2q vìq q2 là3 số nguyên tố nên q2 3 r 3 )
+Nếu q 3 thì r 32 23 17 là số nguyên tố ( Thỏa mãn ).
Vậy (p,q,r) (2,3,17);(3,2,17) .
Bài 17: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng bình phương của ba số này cũng là số 
nguyên tố.
Lời giải:
Gọi bộ ba số nguyên tố liên tiếp đó là p,s,r, (p s r)
Nếu p,s,r đều không chia hết cho 3 thì p2 ,s2 ,r2 đều chia 3 dư 1 p2 s2 r2 3
Mà p2 s2 r2 3 nên p2 s2 r2 là hợp số ( Trái với GT, loại )
Do đó có ít nhất một trong 3 số p,s,r chia hết cho 3.
+ Nếu p 3 thì s 3,r 5 
Khi đó p2 s2 r2 32 52 72 83 là số nguyên tố ( Thỏa mãn )
+ Nếu s 2 thì p 2,r 5 
Khi đó p2 s2 r2 22 32 52 28 không là số nguyên tố ( Trái với GT, loại )
+Nếu r 3 thì s 2;p 2 (Vô lí vì p là số nguyên tố, loại )
Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là : 3;5;7 
Bài 18: Tìm tất cả các bộ ba số a,b,c sao cho abc ab bc ac
Lời giải:
Vì a,b,c có vai trò như nhau nên giả sử a b c khi đó
ab bc ac 3bc 
 abc 3bc 
 a 3 a 2 vì a là số nguyên tố.
Với a 2 thì ta có 2bc 2b 2c bc bc 2(b c) 4c 
 b 2
b 4 ( vì p là số nguyên tố )
 b 3
+ Nếu b 2 thì 4c 4 4c thỏa mãn với c là số nguyên tố bất kì
+ Nếu b 3 thì 6c 6 5c c 6 c 3;5
Vậy các cặp số (a,b,c) cần tìm là (2,2,p);(2,3,3);(2,3,5) và các hoán vị của chúng, với p là số nguyên 
tố. Với p 3 ta có p2 2 p ( p2 1) (2 p 1) . Vì p lẻ và p không chia hết cho 3 nên ( p2 1)3 và 
(2 p 1)3 , do đó 2 p p2 là hợp số. Vậy với p 3 thì 2 p p2 là số nguyên tố.
Dạng 2 : Các bài toán chứng minh về số nguyên tố.
Bài 24: Chứng minh rằng với n N,n 2 thì 2n 1,2n 1 không thể đồng thời là số nguyên tố.
Lời giải:
Xét dãy số: 2n 1;2n ;2n 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Vì (2,3) 1 (2n ,3) 1
Vì dãy số: 2n 1;2n ;2n 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3. 
Mà (2n ,3) 1 nên một trong hai số 2n 1;2n 1 chia hết cho 3.
Suy ra n N,n 2 thì 2n 1,2n 1 không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài 25: Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n,(n 1) luôn tìm được n số tự nhiên liên tiếp đều là hợp 
số.
Lời giải:
Chọn số tự nhiên a 2.3.4....n. n 1 
Khi đó ta có n số tự nhiên liên tiếp là a 2,a 3,a 4,.....,a n,a n 1 đều là hợp số vì n số trên 
lần lượt chia hết cho 2,3,4,....,n,n 1 ( điều phải chứng minh).
Bài 26: Chứng minh rằng nếu a,a m,a 2m đều là các số gnuyeen tố lớn hơn 3 thì m chia hết cho 6.
Lời giải:
Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều là số lẻ.
Nếu m là số lẻ thì a m là số chẵn lớn hơn 3 nên không là số nguyên tố. Suy ra m là số chẵn.
Đặt m 2 p,( p N * ) .
Nếu p 3k 1,(k N) thì ba số đã cho là: a,a 6k 2,a 12k 4
Nếu a chia cho 3 dư 1 thì a 6k 23, không thỏa mãn đề bài.
Nếu a chia cho 3 dư 2 thì a 12k 43, không thỏa mãn đề bài.
Vậy p không có dạng p 3k 1,(k N)
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được p không có dạng p 3k 2,(k N)
Do đó p 3k,(k N) m 6k m6
Vậy m chia hết cho 6. 
Bài 27: 
a) Chứng minh rằng số dư trong phép chia của một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên 
tố. Khi chia cho 60 thì kết quả ra sao? Dạng p 3k 1không xảy ra vì nếu p 3k 1thì p 2 3k 33là hợp số (Loại)
 p 3k 2 p 1 3k 33 (2)
Từ (1) , (2) p 16 ĐPCM
Bài 31: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên 
tố.
Lời giải:
Giả sử p là số nguyên tố và p có dạng p 30k r 2.3.5.k r(k N* ,r N* ,0 r 30)
Nếu r là hợp số thì r có ước nguyên tố q sao cho q2 30 q 2,3,5
Nhưng với q 2,3,5 thì p lần lượt chia hết cho 2,3,5 ( Vô lý )
Vậy r 1 hoặc r là số nguyên tố.
Bài 32: Cho dãy số nguyên dương a1,a2 ,...,an được xác định như sau:
a1 2,an là ước nguyên tố của a1a2a3...an 1 1với n 2 . Chứng minh rằng ak 5,k N *.
Lời giải:
Ta có a1 2,a2 3 , giả sử với n 3 nào đó mà có số 5 là ước nguyên tố lớn nhất của số 
 m
A 2.3.a3...an 1 1 thì A không thể chia hết cho 2, cho 3. Vậy chỉ có thể xảy ra A 5 với m 2 .
 Suy ra A 1 5m 14 .
Mà A 1 2.3.a3...an 1 không chia hết cho 4 do a3...an 1 là các số lẻ (vô lí).
Vậy A không có ước nguyên tố của 5, tức là a 5,k N *.
Bài 33: Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay 
không ?
Lời giải:
Chọn dãy số:
a1 1998! 2 a1 2
a 2 1998! 3 a 2 3
a3 1998! 4 a3 4
............. .
a1997 1998! 1998 a1997 1998
Như vậy: Dãy số a1;a 2 ;a3 ;....;a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố.