Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 5, Chủ đề 1: Định nghĩa, tính chất, số nguyên tố, hợp số

 ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ
 CHỦ ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.SỐ NGUYÊN TỐ
-Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1,chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
-Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
-Không thể giới hạn số nguyên tố cũng như tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố 
là vô hạn.
-Khi 2 số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không bao giờ là một số chính phương.
-Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
-Để kết luận số tự nhiên a là một số nguyên tố a 1 , chỉ cần chứng minh a không chia hết cho 
mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.
 a p
-Nếu tích ab p ( p là số nguyên tố)
 b p
-Đặc biệt nếu an  p a p ( p là số nguyên tố)
-Mọi số nguyên tố vượt quá 2 đều có dạng: 4n 1( n N * )
-Mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 6n 1( n N * )
-Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị.
2.HỢP SỐ
-Hợp số là số tự nhiên lớn lơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nguyên dương.
-Để chứng tỏ một số tự nhiên a a 1 là hợp số,chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.
-Ước số nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá 
nó.
-Một hợp số bằng tổng các ước của nó (không kể chính nó) được gọi là: Số hoàn chỉnh.
-Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể 
thứ tự các thừa số) 
3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
-Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất bằng 
1. b, Gọi A là một số tự nhiên lớn hơn 3.Khi đó A sẽ có dạng 6n,6n 1,6n 2,6n 3( n N * )
-Nếu A 6n hay A 6n 3 thì A3và A là hợp số.
-Nếu A 6n 2 thì A2 và A là hợp số.
Suy ra nếu A là số nguyên tố thì A sẽ có dạng 6n 1,6n 5
Vì 6n 5 6n 6 1 6(k 1) 1 nên suy ra mọi số nguyên tố vượt quá 3 đều có dạng: 
6n 1( n N * ) (đpcm)
Bài 2: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ?
Lời giải:
 Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn 
lại là số nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.
Bài 3: Tổng 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 được không ?
Lời giải:
Ta thấy 2003 là một số lẻ nên nếu 2003 là tổng của hai số nguyên tố thì một trong hai số phải là số 
chẵn và bằng 2. Vậy số còn lại là 2001 nhưng 2001 lại không là số nguyên tố vì 2001 69.29
Vậy tổng của hai số nguyên tó không thể bằng 2003.
Bài 4: Cho p và p 2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết 
cho 12.
Lời giải:
Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6n 1,( n N * )
 *
TH1: p 6n 1,( n N ) thì p 2 6n 3 3( 2n 1)3
Mà p 2 là số lớn hơn 3 nên p 2 là hợp số ( Trái với GT, loại )
TH2: p 6n 1( n N * ) thì p 2 6n 1
Khi đó p p 2 6n 1 6n 1 12n12
 ĐPCM
Bài 5: Cho p là số nguyên tố và một trong hai 8p 1,8p 1 là số nguyên tố .Hỏi số còn lại là số 
nguyên tố hay hợp số.
Lời giải:
-Nếu p 2 thì 8p 1 8.2 1 15là hợp số
-Nếu p 3 thì 8p 1 8.3 1 25 là hợp số *
TH1: p 6n 1,( n N ) thì p 8 6n 9 3( 2n 3)3
Mà p 8 là số lớn hơn 3 nên p 8 là hợp số ( Trái với GT, loại )
TH2: p 6n 1( n N * ) thì p 8 6n 7
Khi đó p 100 6n 1 100 6n 99 3(2n 33)3
Mà p 100 là số lớn hơn 3 nên p 100 là hợp số.
Bài 10: Cho p và 2 p 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 4 p 1 là số nguyên tố hay hợp số ?
Lời giải:
Ta thấy p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6n 1,( n N * )
 *
TH1: p 6n 1,( n N ) thì 2 p 1 2(6n 1) 1 12n 3 3(4n 1)3
Mà 2 p 1 là số lớn hơn 3 nên 2 p 1 là hợp số ( Trái với GT, loại )
TH2: p 6n 1(n N * ) thì 2 p 1 2(6n 1) 1 12n 1
Khi đó 4 p 1 4(6n 1) 1 24n 3 3(8n 1)
Mà 4 p 1 là số lớn hơn 3 nên 4 p 1 là hợp số.
Bài 11: Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên 
tố.
Lời giải: 
Giả sử p là số nguyên tố và p có dạng p 30k r 2.3.5.k r(k N *,r N *,0 r 30)
Nếu r là hợp số thì r có ước nguyên tố q sao cho q2 30 q 2,3,5
Nhưng với q 2,3,5thì p lần lượt chia hết cho 2,3,5 ( Vô lý )
Vậy r 1 hoặc r là số nguyên tố.
Bài 12: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư là r .Tìm r biết rằng r không là số nguyên tố.
Lời giải:
Gọi số nguyên tố là p ( p N * )
Ta có: p 30k r 2.3.5.k r(k N *,r N *,0 r 30)
Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5.
Số nguyên dương không là số nguyên tố nhỏ hơn 30 và không chia hết cho 2,3,5 chỉ có số 1. Như vậy: Dãy số a1;a2 ;a3;....;an gồm có n số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố.
Bài 16: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số này là số chẵn hay số lẻ?
Lời giải: 
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số 
nguyên tố lẻ. Do đó tổng 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn. 
Bài 17: Chứng minh rằng nếu tổng của n lũy thừa bậc 4 của các số nguyên tố lớn hơn 5 là một số nguyên 
tố thì (n,30) 1
Lời giải:
Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là: 1,7,11,13,17,19,23,29
Với r 1 thì p2 1( mod30) tương tự với r 11, r 9 , r 19
Với r 7 thì p2 19( mod30) tương tự với r 13, r 17 , r 23
Suy ra p2 1( mod30)
Giả sử p1, p2 ,..., pn là các số nguyên tố lớn hơn 5
 4 4 4
Khi đó q p1 p2 ... pn  n(mod30)
 p 30k n(k N * ) là số nguyên tố nên (n,30) 1) .
Dạng 2:Tìm số nguyên tố p để thỏa mãn điều kiện.
I.Phương pháp giải
- Trong n số tự nhiên liên tiếp chỉ có một và chỉ một số chia hết cho n .
- Nắm chắc các tính chất đặc trưng của số nguyên tố để giải bài toán.
II.Bài toán
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a, p 10, p 14
b, p 2, p 6, p 8, p 12, p 14
Lời giải:
a, Vì p 10, p 14 là số nguyên tố và 10;14 là hợp số p 2
 p có dạng 3k,3k 1,3k 2(k N * ) .
-Nếu p 3k 1 p 14 3k 15 3(k 5)3 là hợp số (Loại)
-Nếu p 3k 2 p 10 3k 12 3(k 4)3 là hợp số (Loại) Ta có: p p 1 2 p3 2 p3 p1 4 .
Ta thấy p1, p1 2, p1 4 là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp.
Theo câu a p1 3 p p1 2 5 .
Thử lại: p 5 5 2 3 7 2.
Vậy số cần tìm là 5.
Bài 4:Tìm k N để dãy số k 1,k 2,.....,k 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất.
Lời giải:
-Nếu k 0 Ta có dãy số 1;2;3;...;10 có các số nguyên tố là 2;3;5;7 Có 4 số nguyên tố.
-Nếu k 1 Ta có dãy số 2;3;4;...;11có các số nguyên tố là 2;3;5;7;11 Có 5 số nguyên tố.
-Nếu k 2 Ta có dãy số 3;4;5;...;12 có các số nguyên tố là3;5;7;11 Có 4 số nguyên tố.
-Nếu k 3 Dãy số k 1,k 2,...,k 10 đều gồm các số lớn hơn 3 và bao gồm 5 số lẻ liên tiếp và 5 sô 
chẵn liên tiếp.
Vì các số trong dãy đều lớn hơn 3 nên suy ra 5 số chẵn liên tiếp đều là hợp số và trong 5 số lẻ liên tiếp tồn 
tại ít nhất một số chia hết cho 3 và số này cũng là hợp số.
Vậy k 1là giá trị cần tìm.
Bài 5: Ta gọi p,q là 2 số nguyên tố liên tiếp nếu giữa p và q không có số nguyên tố nào khác. Tìm 3 số 
nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho p2 q2 r 2 cũng là số nguyên tố.
Lời giải:
+Nếu p,q,r đều khác 3 mà p,q,r là các số nguyên tố.
 p,q,r chia 3 dư 1 hoặc dư 2 ( hay dư -1 ).
 p2 ,q2 ,r 2 chia 3 dư 1.
 p2 q2 r 2 chia hết cho 3.
 Vậy tồn tại 1 số bằng 3.
 2 2 2
TH1: Ba số nguyên tố đó là 2, 3, 5 Khi đó 2 3 5 38 là hợp số ( Loại )
TH2: Ba số nguyên tố đó là 3, 5, 7 Khi đó32 52 72 83là số nguyên tố ( Thỏa mãn )
Vậy 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: 3,5,7 .
Bài 6: Tìm 3 số nguyên tố p,q,r sao cho: pq q p r . Lời giải:
Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và 
bằng 2. Khi đó số còn lại là 2003 ( là số nguyên tố, thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là 2 và 2003.
Bài 9: Tìm 2 số nguyên tố có tổng bằng 309.
Lời giải:
Ta thấy tổng số nguyên tố hai số cần tìm là số lẻ nên một trong hai số cần tìm phải là số nguyên tố chẵn và 
bằng 2. Khi đó số còn lại là 307 ( là số nguyên tố, thỏa mãn)
Vậy hai số cần tìm là 2 và 307.
Bài 10: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số.
Lời giải:
Trong ba số nguyên tố có tổng bằng 1012, phải có một số chẵn, là số 2. Đó là số nhỏ nhất trong ba số. 
Bài 11: Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4 p 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
Lời giải:
Vì p là số nguyên tố nên p 2 4 p 11 19
Mà 4 p 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30 nên 4 p 11 19;23;29  
+ Nếu 4 p 11 19 thì p 2 là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy )
+ Nếu 4 p 11 23 thì p 3 là số nguyên tố ( Thỏa mãn, lấy )
 9
+ Nếu 4 p 11 29 thì p không là số nguyên tố ( Trái với GT, loại )
 2
Vậy số nguyên tố cần tìm là 2 và 3.
Bài 12: Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn x2 2y2 1 0
Lời giải:
x2 2y2 1 0 
 ( x 1)( x 1) 2y2 
Do y là số nguyên tố và x 1 x 1 nên chỉ xảy ra các trường hợp sau:
 x 1 2y x 3
TH1: 
 x 1 y y 2 Dạng 3: Các bài toán chứng minh số nguyên tố,hợp số
I.Phương pháp giải
-Dựa vào các tính chất đặc trưng của số nguyên tố và hợp số để giải các bài toán về chứng minh số nguyên 
tố, hợp số.
II.Bài toán
Bài 1: Cho p và p 4 là các số nguyên tố ( p 3 ).Chứng minh rằng p 8 là hợp số .
Lời giải:
Ta có: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k 1,3k 2( k N * )
+Nếu p 3k 2 thì p 4 3k 63 là hợp số ( Trái với GT,loại )
Vậy p có dạng 3k 1, khi đó p 8 3k 9 3(k 3)3 là hợp số
 ĐPCM
Bài 2: Cho p và 8p 1 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 8p 1 là hợp số.
Lời giải:
Ta xét các trường hợp: p 3k; p 3k 1; p 3k 2( k N * )
TH1: p 3k 2 thì 8p 1 8(3k 2) 1 24k 15 3(8k 5)3 là các hợp số ( Trái với giả thiết,loại )
TH2: p 3k p 3( vì p là số nguyên tố ) 8p 1 23 là số nguyên tố 
Và khi đó 8p 1 25 là hợp số (1)
TH3: p 3k 1thì 8p 1 24k 7
Và khi đó 8p 1 24k 9 3(8k 3)3 là hợp số (2)
Từ (1) , (2) ta suy ra 8p 1 là hợp số ĐPCM
Bài 3: Chứng minh rằng ( p 1)! chia hết cho p nếu p là hợp số, không chia hết cho p nếu p là số 
nguyên tố.
Lời giải:
+TH1: p là hợp số:
Nếu p là hợp số thì p là tích các thừa số nguyên tố nhỏ hơn p và số mũ các lũy thừa này không thể lớn 
hơn số mũ của chính các lũy thừa ấy trong ( p 1)!.
Vậy: ( p 1)! p ( ĐPCM )