Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 4, Chủ đề 4: Các bài toán quy về tìm ƯCLN và BCNN

 ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 4 – ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
 CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TỐN QUY VỀ TÌM ƯCLN VÀ BCNN
PHẦN I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên
Với a,b Z và b 0. Nếu cĩ số nguyên q sao cho a bq thì ta nĩi a chia hết chob . Ta cịn nĩi a là bội 
của b và b là ước của a .
2. Nhận xét
- Nếu a bq thì ta nĩi a chia chob được q và viết a :b q
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0 . Số 0 khơng phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên.
3. Liên hệ phép chia cĩ dư với phép chia hết.
Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số a k b
4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đĩ.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ¦C a, b, c . 
5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đĩ.
Bội chung của các số a, b, c được kí hiệu là: BC a, b, c . 
6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đĩ.
- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác khơng trong tập hợp các bội chung của các 
số đĩ.
7. Các tính chất
- (a,1) 1;a,1 a
- Nếu ab (a,b) b;a,b a
- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) 1;a,b a.b
- ¦ C a, b ¦ ¦ CLN a, b   và BC a ,b B BCNN a, b 
 a dm
- Nếu (a,b) d với m,n 1
 b dn
 c am
- Nếu a,b c với (m,n) 1
 c bn
- ab (a,b).a,b
8. Phương pháp giải 150 2.3.52 
 ƯCLN(125,100,150) 52 25
 x 25 
 Vậy x 25
Bài 2.Tìm số tự nhiên x lớn nhất biết rằng 480 x, 600 x 
Lời giải 
Vì 480 x, 600 x và x lớn nhất nên x ƯCLN(480,600) 
Ta cĩ: 480 25.3.5 
 600 23.3.52 
 ƯCLN(480,600) 23.3.5 120
 x 120 
 Vậy x 120
Bài 3. Lan cĩ một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước 75 cm và 105 cm, Lan muốn cắt tấm bìa thành các 
mảnh nhỏ hình vuơng bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết khơng cịn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn 
nhất cạnh hình vuơng?
Lời giải 
Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuơng là a (cm) 
Theo bài ra ta cĩ: 75 a, 105 a và a lớn nhất nên a ƯCLN(75,105) 
Ta cĩ: 75 3.52 
 105 3.5.7 
 ƯCLN(75,105) 3.5 15
 a 15 
 Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuơng là 15cm .
Bài 4. Phần thưởng cho học sinh của một lớp học gồm128 vở, 48 bút chì, 192 nhãn vở. Cĩ thể chia được 
nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng như nhau, mỗi phần thưởng gồm bao nhiêu vở, bút chì, nhãn vở?
Lời giải 
Gọi số phần thưởng được chia là a (phần thưởng), a N * 
Theo bài ra ta cĩ: 128 a, 48 a,192 a và a lớn nhất nên a ƯCLN(128,48,192) 
Ta cĩ: 128 27 
 48 3.24 
 192 26.3 Theo bài ra ta cĩ:84 a, 63 a, 105 a và a lớn nhất nên a ƯCLN(84,63,105) 
Ta cĩ: 84 22.3.7 
 63 32.7
 105 3.7.5 
 ƯCLN(84,63,105) 3.7 21
 a 21 
 Vậy cĩ thể xếp được nhiều nhất 21 hàng dọc.
Bài 8.Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15, a 20 
Lời giải 
Vì a 15, a 20 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15, 20) 
Ta cĩ: 15 3.5 
 20 22.5 
 BCNN(15,20) 22.3.5 60
 a 60 
 Vậy a 60
Bài 9. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho15 và a chia hết cho18 .
Lời giải 
Vì a 15, a 18 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15, 20) 
Ta cĩ: 15 3.5 
 18 32.2 
 BCNN(15,20) 2.32.5 90
 a 90 
 Vậy a 90
Bài 10. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho15,18 và 25
Lời giải 
Vì a 15, a 18,a 25 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15, 20,25) 
Ta cĩ: 15 3.5 
 18 32.2 
 25 52
 BCNN(15,20,25) 22.3.52 300
 a 300 a 36 
 Vậy sau 36 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.
Bài 14. Ba con tàu cập bến theo cách sau: Tàu I cứ 15 ngày cập bến một lần, tàu II cứ 20 ngày cập bến 
một lần, tàu III cứ 12 ngày cập bến một lần. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến vào một ngày. Hỏi sau ít nhất 
bao nhiêu ngày cả ba tàu lại cùng cập bến ?
Lời giải 
Gọi số ngày ít nhất để ba tàu lại cùng cập bến là a ( ngày ), a N *
Vì a 15, a 20, a 12 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(15,20,12) 
Ta cĩ: 15 3.5
 20 22.5 
 12 22.3
 BCNN(15,20,12) 22.3.5 60
 a 60 
 Vậy sau 60 ngày ba tàu lại cùng cập bến.
Bài 15. : Ba ơ tơ chở khách cùng khởi hành lúc 6h sáng từ 1 bến xe đi theo ba hướng khác nhau, xe thứ 
nhất quay về bến sau 1h5 phút và sau 10 phút lại đi, xe thứ hai quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 
phút, xe thứ ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi, hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe 
cùng xuất phát lần thứ hai trong ngày và đĩ là lúc mấy giờ?
Lời giải. 
 Đổi 1h5 phút = 65 phút
Gọi thời gian ngắn nhất để ba xe cùng xuất lần thứ 2 trong ngày là a ( phút ), a N *
Thời gian xe thứ nhất đi chuyến thứ 2 là 65 10 75 ( phút)
Thời gian xe thứ hai đi chuyến thứ 2 là 56 4 60 ( phút)
Thời gian xe thứ ba đi chuyến thứ 2 là 48 2 50 ( phút)
Vì a 75, a 60, a 50 và a nhỏ nhất khác 0 nên a BCNN(75,60,50) 
Ta cĩ: 
 75 3.52 60 22.3.5 
 50 2.52
 BCNN(75,60,50) 22.3.52 300
 a 300 ( phút) 5 (giờ) 
 Vậy sau 5 giờ thì ba xe lại cùng xuất phát lần thứ 2 . Lúc đĩ là 11h trưa.
Dạng 2. Bài tốn đưa về tìm BCNN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước. 
I. Phương pháp giải. Vì số sách khi xếp thành từng bĩ 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên x 10, x 12, x 18 
 x BC(10,12,18)
Ta cĩ: 10 2.5
 12 22.3
 18 2.32
 BCNN(10,12,18) 22.32.5 180
 BC(10,12,18) B 180 0; 180; 360; 540; ... 
 Vì 200 x 500 nên x 360 
 Vậy số sách cần tìm là 360 cuốn.
Bài 4. Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp 
35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ.
Lời giải 
Gọi số học sinh cần tìm là x ( học sinh) ,800 x 900, x N * 
Vì xếp 35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ nên x 35, x 40 
 x BC(35,40)
Ta cĩ: 35 5.7
 40 23.5 
 BCNN(35,40) 23.5.7 280
 BC(35,40) B 280 0; 280; 560; 840;1120;... 
 Vì 800 x 900 nên x 840 
 Vậy trường đĩ cĩ 840 học sinh.
Bài 5. Một trường tổ chức cho khoảng 700 đến 800 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp 
40 người hoặc 45 người lên xe ơ tơ thì vừa đủ.
Lời giải 
Gọi số học sinh của trường là: n n N * 
Theo bài ta cĩ: 700 n 800
Vì n45;n40 n BC(40,45) n B(BCNN(40,45))
Ta cĩ: 40 23.5
 45 32.5
 3 2 n B(360)
BCNN(40,45) 2 .3 .5 360 n 700
 700 n 800 n 65 8k 728
 n 65 31m 9331
 BCNN(8,31) 8.31 248
 BC(8,31) B 248 0; 248; 496; 744;992;1240;... 
 Vì n là số tự nhiên lớn nhất cĩ ba chữ số nên n 65 992 
 n 927 
 Vậy n 927
Bài 9. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500 , sao cho chia nĩ cho15 ; cho35cĩ số dư lần lượt 8 và 13.
Lời giải 
Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x N , x 500
 Vì x chia cho 15 ; 35cĩ số dư lần lượt 8 và 13 nên 
 x 15k 8
 với k,m N 
 x 35m 13
 x 232 15k 240 15
 x 232 35m 245 35
 x 232 BC 15;35 
Ta cĩ: 15 3.5 
 35 5.7
 BCNN(15,35) 3.5.7 105
 BC(15,35) B 105 0; 105;210;315;420;525;630;735;... 
Vì 0 x 500 nên 232 x 232 732
 x 232 315;420;525;630 
 x 83;188;293;398 
 Vậy x 83;188;293;398 
Bài 10. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 12 , cho 18,cho 23 cĩ số dư theo thứ tự là 11,17,9.
Lời giải 
Gọi số tự nhiên cần tìm là: a ( a N )
Theo bài ta cĩ: a 12k 11 18q 17 2.3.p 9 (k, p,q N)
 a 37 12k 4812;a 37 18q 5418;a 37 23p 4623 a 37 BC(12,18,23)
Vì a nhỏ nhất 
 a 37 BCNN(12,18,23);12 22.3;18 2.32 ;23 23 BCNN(12,18,23) 22.32.23 828 Vì x nhỏ nhất, x chia hết cho 23 nên x = 598.
 Vậy x = 598
Bài 13. Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2,3,4,5 đều thừa 1 người, Tính số đội viên biết số đĩ nằm trong 
khoảng 100 đến 150 ?
Lời giải 
Gọi số đội viên cần tìm là x ( đội viên) , 100 x 150 , x N * 
Đội thiếu niên khi xếp hàng 2,3,4,5 đều thừa 1 người nên x chia cho 2,3,4,5đều dư 1
 x 1 2,x 1 3, x 1 4, x 1 5
 x 1 BC(2,3,4,5) 
 BCNN(2,3,4,5) 22.3.5 60
 BC(2,3,4,5) B 60 0; 60; 120; 180; ... 
 Vì 100 x 150 nên x 120 
 Vậy số đội viên là 120 đội viên
Bài 14. Số học sinh khối 6 của một trường THCS trong khoảng từ 200 đến 400 , khi xếp hàng12,15 và 
18 đều thừa 5 học sinh. Tính số học sinh của trường đĩ.
Lời giải 
 Gọi số học sinh của trường đĩ là x ( học sinh), 200 x 400 , x N *
Khi xếp hàng 12,15,18 đều thừa 5 học sinh nên x chia cho 12,15,18 đều dư 5
 x 5 12, x 5 15, x 5 18
 x 5 BC(12,15,18) 
 Ta cĩ: 
 12 22.3 
 15 3.5 
 18 2.32
 BCNN(12,15,18) 22.32.5 180
 BC(12,15,18) B 180 0; 180; 360; 540; ... 
 Vì 200 x 400 nên x 360
 Vậy số học sinh của trường đĩ là 360 học sinh.
Bài 15. Một trường học cĩ số lượng học sinh khơng quá 1000. Khi xếp hàng 20,25,30 thì đều dư 15 . 
Nhưng khi xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường đĩ.
Lời giải 
Gọi số học sinh của trường đĩ là: n ( n N * )