Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 4, Chủ đề 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4:
 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
 CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên
Với a,b Z và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội 
của b và b là ước của a.
2. Nhận xét
- Nếu a bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a :b q .
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c).
4. Ước chung lớn nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
5. Các tính chất
- ¦CLN(a,1) 1;BCNN a,1 a
- Nếu ab ¦CLN(a,b) b;BCNN a,b a
- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) 1;a,b a.b
- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b))
 a dm
- Nếu ¦CLN(a,b) d; ¦CLN(m,n) 1;
 b dn
 10 2.5
Ví dụ ¦CLN(10,15) 5; ¦CLN(2,3) 1
 15 3.5
 c am
- Nếu BCNN a,b c; ¦CLN(m,n) 1;
 c bn Vậy n 3;2n 5 1.
 * 4(3n 7)7 12n 28d
b) Gọi ¦CLN(3n 3,4n 9) d(d N ) 
 3(4n 9)d 12n 27d
 12n 28 12n 27 d
 12n 28 12n 27 d
 1d d 1
Vậy ¦CLN 3n 3,4n 9 1 .
Bài 2: Cho a, b là số tự nhiên lẻ, b N . Chứng minh rằng ¦CLN(a,ab 128) 1.
Lời giải:
 ad
Đặt d ¦CLN(a,ab 128) và d lẻ 128d và d lẻ
 ab 128d
 27 d và d lẻ 2d và d lẻ d 1.
Vậy (a,ab 128) 1
Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 17n2 16(n N * ) thì ¦CLN(n,2) 1;¦CLN(m,3) 1.
Lời giải:
+) Theo đầu bài ta có: 17n2 16 17n2 12 17n2 1 chẵn n lẻ n 2 (n,2) 1 
+) Vì 17n2 16 17n2 13 n 3 (n,3) 1 
(nếu n3 17n2 3 17n2 13 lo¹i n 3 ). 
Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b . Chứng tỏ rằng 11a 2b và 18a 5b hoặc là số nguyên tố 
cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19.
 Lời giải
Gọi d (11a 2b,18a 5b) 
 5(11a 2b) 2(18a 5b)d Do đó ¦C 2n 1,3n 1 là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ¦C 2n 1,3n 1 ¦ 1 1;1 .
Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n 24 và 3n 4 .
Lời giải:
Gọi ¦CLN 9n 24,3n 4 d d N*
 9n 24d 9n 24d
Khi đó ta có: 
 3n 4d 9n 12d
 9n 24 9n 12 d 12d
 d ¦ 12 1; 2; 3; 4; 6; 12
Do 3n 4 d, mà 3n 4 không chia hết cho 3, nên d 3;6;13 (loại)
Do đó d 1;2;4
- Để d 2 thì n phải chẵn
- Để d 4 thì n phải chia hết cho 4
- Để d 1 thì n là số lẻ
Vậy n 4k 2 k N thì ¦CLN 9n 24,3n 4 2
n 4k k N thì ¦CLN 9n 24,3n 4 4
n 2k 1 k N thì ¦CLN 9n 24,3n 4 1.
Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 21n 5 và 14n 3
Lời giải:
a) Gọi ¦CLN 21n 5,14n 3 d N* a bd
 2bd d ¦ 2 hoặc d ¦ b 
 a bd 
 a bd
và 2ad hoặc d ¦ 2 hoặc d ¦ a 
 a bd
mà a,b 95, nên d 95 hoặc d 2
Vậy a b,a b 2 hoặc d 95.
Bài 12: Cho m, n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n , B là tập hợp các ước 
số chung của 11m 5n và 9m 4n . Chứng minh rằng A B
Lời giải:
Gọi d ¦CLN 11m 5n,9m 4n d N*
 11m 5nd 9 11m 5n d 99m 45nd
Khi đó ta có: 
 9m 4nd 11 9m 4n d 99m 44nd
 99m 45n 99m 44n d nd (1)
 11m 5nd 4 11m 5n d 44m 20nd
Tương tự ta có: 
 9m 4nd 5 9m 4n d 45m 20nd
 45m 20n 44m 20n md (2)
Từ (1) và (2) ta có : d ¦C(m,n) d ¦(A)
và B ¦ d ¦ A . Vậy A B
Bài 13: Tìm ƯC của 2n 1 và 3n 1 với n N 
Lời giải:
 Gọi d ¦CLN 2n 1,3n 1 d N* 
 Khi đó ta có : Mà là các số dương nên ta có : d 1 hoặc d 17 
 Vậy ¦CLN 2n 1, 9n 4 1 hoặc 17
Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
I. Phương pháp giải
Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ¦CLN a,b 1 
Phương pháp giải: Giả sử d ¦CLN a,b 
Cách 1: Chỉ ra d 1
Cách 2: 
+) Giả sử d 1(d 2) (phương pháp phản chứng)
+) Gọi p là ước nguyên tố của d
+) Chỉ ra rằng p 1 (vô lý)
+) Kết luận d 1
II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng hai số n 1 và 3n 4 n N là hai số nguyên tố cùng nhau. 
Lời giải:
Gọi d ¦CLN n 1,3n 4 d N* , nên ta có:
 n 1d 3n 3d
 3n 4 3n 3 d 1d
 3n 4d 3n 4d
Vậy hai số n 1 và 3n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với n N .
Bài 2: Chứng minh rằng 2n 1 và 2n 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. 
Lời giải:
Gọi d ¦CLN 2n 1,2n 3 d N* Gọi ¦CLN 8a 3,5b 1 d d N*
 8a 3bd 5(8a 3b)d 40a 15bd
 5a bd 8(5a b)d 40a 8bd
 40a 15b 40a 7b 7bd
 8a 3bd 8a 3bd
 và 
 3 5a b d 15a 3bd
 15a 3b 8a 3b d 7ad
Vì ¦CLN a,b 1 nên d 1 hoặc d 7 .
Bài 6: Chứng minh rằng 2n 1 và 6n 5 là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
 Gọi d ¦CLN 2n 1,6n 5 , d N* 
Khi đó ta có :
 2n 1d 3 2n 1 d 6n 3d
 6n 5d 6n 5d 6n 5d
 6n 5 6n 3 d 2d d ¦(2)= 1;2
 Do 2n 1d , mà 2n 1 lại là số lẻ nên d 2 loại, do đó d 1 
 Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi n N thì các số 7n 10 và 5n 7 ngyên tố cùng nhau
Lời giải:
 Gọi d ¦CLN 7n 10,5n 7 , d N* Khi dó ta có : 
 35n 50 35n 49 d 1d
 Do đó d 1 
 Vậy hai số 7n 10 và 5n 7 là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải:
 a) Giả sử a2 và a b cùng chia hết cho số nguyên tố d 
 Khi đó ad , do đó bd a,b cùng chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết 
 ¦CLN a;b =1 
 Vậy a2 và a b là hai số nguyên tố cùng nhau
 b) Giả sử ab và a b cùng chia hết cho số nguyên tố d
 Suy ra tồn tại một trong hai số a hoặc b chia hết cho d 
 Khi ad bd , hoặc bd ad 
 a và b cùng chia hết cho d , trái với a, b 1 
 Vậy ab và a b nguyên tố cùng nhau
Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 1: Tìm n N để: 7n 10 và 5n 7 là hai số sau ngyên tố cùng nhau.
Lời giải:
Gọi d 7n 10;5n 7 d N *
Khi dó ta có: 
 7n 10d 5 7n 10 d 35n 50d
 5n 7d 7 5n 7 d 35n 49d
 35n 50 35n 49 d 1d
Do đó d 1
Vậy với mọi n N hai số 7n 10 và 5n 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm n N để: 2n 3 và 4n 8 là hai số sau ngyên tố cùng nhau
Lời giải :
 Gọi d 2n 3;4n 8 d N * 7n 3d 8 7n 3 d 56n 24d
 8n 1d 7 8n 1 d 56n 7d
 56n 24 56n 7d 31d d 1 hoặc d 31. 
 Để d 1 thì d 31 hay 7n 331 7n 3 3131 7n 2831 
 7 n 4 31 n 431
 Hay n 4 31k n 31k 4 ( k là số tự nhiên)
 Vậy để 7n 3 và 8n 1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì n  31k 4 ( k là số tự nhiên)
Bài 4: Tìm n để 9n 24 và 3n 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (n N). 
Lời giải:
Gọi d ¦CLN 9n 24,3n 4 
 9n 24d 9n 24d
 3n 4d 3(3n 4)d
 9n 24 9n 12 d 12d
 d 1; 2; 3; 4; 6; 12
 Nếu d 2; 4; 6; 12 9n 24 chẵn và, 3n 4 chẵn d 2; 4; 6; 12 loại
 Nếu d 3 3n 43 Vô lý d=3(loại)
 Nếu d 1 9n 24,3n 4 là số lẻ 9n 24 lẻ n lẻ và 3n 4 lẻ n lẻ
 Vậy n lẻ
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4n 3 và 2n 3 nguyên tố cùng nhau. 
Lời giải:
 Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d, d N*
 4n 3d 4n 3d
 2n 3d 4n 6d Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên n để n 15 và n 72 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
 Gọi d ¦C n 15,n 72 57d , do n 15d,57d , 
 Nên tồn tại n sao cho n 15 57k 1 thì d 1, với k 1;2;3; 
 Vậy có vô số n
  HẾT