Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 4, Chủ đề 1: Các tính chất cơ bản và bài toán ƯCLN và BCNN

 phần III. Các công thức bị hoá ảnh
 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
 CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI
Ước: Số tự nhiên d 0 được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là ước 
của a.
Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư a d ¥ : d | a
Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của a 0 khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m.
Nhận xét: Tập hợp các bội của a a 0 là B a 0;a;2a;...;ka, k Z
2) Tính chất: 
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và 1 là ước của mọi số nguyên.
- Nếu Ư a 1;a thì a là số nguyên tố.
- Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x .b y .cz 
 thì số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 
Thật vậy ước của A là số có dạng mnp trong đó:
m có x 1 cách chọn (là1, a, a2 , ,a x )
n có y 1 cách chọn (là1, b, b2 , ,b y )
p có z 1 cách chọn (là1, c, c2 , ,cz ),
Do đó, số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 
II. Ước chung và bội chung 
1) Định nghĩa 
Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư a và Ư b có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là ước 
số chung của a và b. Kí hiệu: ƯC a;b . ● ka, kb k a,b;
● a;b. a;b a.b
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN
I. Phương pháp giải
Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x .b y .cz  thì số lượng các ước của A 
bằng x 1 y 1 z 1 
Thật vậy ước của A là số có dạng mnp trong đó:
m có x 1 cách chọn (là1, a, a2 , ,a x )
n có y 1 cách chọn (là1, b, b2 , ,b y )
p có z 1 cách chọn (là1, c, c2 , ,cz ),
Do đó, số lượng các ước của A bằng x 1 y 1 z 1 
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số ước của số 1896 .
Lời giải:
 96
Ta có : 1896 32.2 3192.296.
Vậy số ước của số 1896 là 96 1 192 1 97.193 18721.
Bài 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của 
nó là số lẻ. 
Lời giải:
Giả sử n pa1 .pa2 ....pak với p nguyên tố và a N*.
 1 2 k i i
 n là số chính phương khi và chỉ khi a ,a ,...,a là các số chẵn khi đó a 1 a 1 ... a 1 là số lẻ.
 1 2 k 1 2 k 
Mặt khác a 1 a 1 ... a 1 là số các số ước của n, do đó bài toán được chứng minh.
 1 2 k 
Bài 3: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n không 
thể có đúng 17 ước số.
Lời giải abcba
- 100a 10b(10b a) 99a10b a 99a10ak a 9910k 1 10k 1 11 
 c 0;b ak
 k 1 a b;c 0
Vì abcac abcbc đpcm
b) abc aa0 110a11 đpcm
Bài 4: Biết rằng a,b.(a,b) ab
a. a,b 600;(a,b) nhỏ hơn 10 lần (a, b). Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai 
b. (a, b) = 12, [a, b] lớn gấp 6 lần (a, b). Số thứ nhất là 24, tìm số thứ hai
c. Tổng cuả hai số bằng 60, tổng giữa UCLN và BCNN của chúng là 84. Tìm hai số đó
Lời giải
a. Ta có: (a,b) 600:10 60;(a,b).a,b ab 60.60 120.b b 300
b. Số thứ hai là 36
c. Gọi hai số phải tìm là: a và b
 (m,n) 1 ab d 2.m.n
 a dm;b dn
(a,b) d, đặt * ; a,b dmn
 m,n N (a,b) d
Có: d dmn 4 d(mn 1) 4(1)
Vì tổng của hai bằng 60 nên d(m n) 60(2)
Từ (1)(2) 1,2,3,4,6,12 d d 12(thoa.man) m 2;n 3  a 24;b 36 
Hoặc m 3;n 2 a 36;b 24
Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết
I. Phương pháp giải
Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần nguyên dư, sau đó để thỏa mãn 
chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ đó ta tìm được số nguyên n thỏa mãn 
điều kiện. 
II. Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để 5n 14 chia hết cho n 2 .
Lời giải:
Ta có: 5n 14 5. n 2 4 4n 5 7
Vì 2 là số nguyên nên để là số nguyên thì là số nguyên 
 2n 1 2n 1
Suy ra 2n – 1 Ư 7 –7;–1;1;7 
 2n –6;0;2;8 n –3;0;1;4
 4n 5
Vậy với n –3;0;1;4 thì có giá trị là một số nguyên.
 2n 1
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên:
 2n 2 5n 17 3n
 B 
 n 2 n 2 n 2
Lời giải
Ta có:
 2n 2 5n 17 3n 2n 2 5n 17 3n 4n 19 4(n 2) 11 11
B 4 
 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2
 11
Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên
 n 2
 11 n 2 n 2 Ư 11 11; 1;1;11 
Do n 2 1 nên n 2 11 n 9 .
Vậy n 9 thì B là số tự nhiên.
 k 1 2
Bài 6: Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số n là một số nguyên dương.
 k 23
Lời giải
 2
 k 1 k 2 2k 1 k 23 k 21 484 484
Ta có: n k 1 ,k Z n là một số 
 k 23 k 23 k 23 k 23
nguyên dương khi và chỉ khi k 23 | 484, k 23 23
 k 23 121 k 98
Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21 
 k 23 44 k 21
Với k 98 , ta có n 81
Với k 21, ta có n 11
Vậy giá trị k lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98.
Dạng 3: Tìm số tự nhiên khi biết điều kiện về tổng, tích, thương các số và dữ kiện về ƯCLN, BNCC.
I. Phương pháp giải Kết luận: Các số cần tìm là: 18;144 ; 36;126 ; 72;90 
Bài 3: Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15
Lời giải:
Gọi hai số cần tìm là a;b a,b ¥ ;a,b 200 
Ta có: a b 90; a,b 15
 a 15m m, n 1 m, n 1
Đặt 
 b 15n 15 m n 90 m n 6
 15m 200 m 13
Lại có: a,b 200 
 15n 200 n 13
 m n a b 
 13 7 195 105
 11 5 65 75
 7 1 85 15
Vậy: a,b 195;105 , 65;75 , 85;15 .
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6.
Lời giải: 
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a,b . Điều kiện: a,b ¥ .
Ta có: ab 432; a,b 6 a b 
 Đặt a 6m, b 6n với (m, n) = 1 và m ≤ n 36mn 432 mn 12 
Ta được:
 m n a b
 1 12 6 72
 3 4 18 24
Vậy a, b 6;72 , 18, 24 .
Bài 5: Tìm hai số a,b biết 7a 11b và ƯCLN a;b 45 .
Lời giải
Từ 7a 11b suy ra a b 
 a 45a1
Từ ƯCLN a;b 45 a1;b1 1, a1 b1 
 b 45b1 đó vế phải của (1) chứa p với số mũ x y . Còn ở vế trái, [a, b] chứa p với số mũ x, (a, b) chứ p với số 
mũ y nên vế trái cũng chứa p với số mũ x y.
Cách 2. Gọi d (a,b) thì a da ',b db (1) , trong đó (a ',b') 1.
 ab
 Đặt m 2 , ta cần chứng minh rằng a,b m .
 d
Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho m ax , m by và (x, y) = 1.
 b
Thật vậy từ (1) và (2) suy ra m a. ab' ,
 d
 a
m b. ba'. Do đó, ta chọn x b' , y a' , thế thì x, y 1 vì a' ,b' 1.
 d
 ab
Vậy a,b, tức là a,b. a,b ab.
 d
Bài 7: Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10 , BCNN của chúng bằng 900.
Lời giải
Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: a,b ¥ . Giả sử a b . 
Ta có (a,b) 10 nên. a 10a' , b 10b' , (a' ,b' ) 1,a b'. Do đó ab 100a 'b' (1) . Mặt khác 
ab a,b.(a,b) 900.10 9000 (2).
Từ (1) và (2) suy ra a 'b' 90. Ta có các trường hợp :
 a' 1 2 3 4
 b' 90 45 18 10
Suy ra: 
 a 10 20 50 90
 b 900 450 180 100
Bài 5: Tìm hai số tự nhiên a,b sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15.
Lời giải
Điều kiện: a,b ¥ . Giả sử a b .
 a d.a1
Gọi d = ƯCLN( a; b) a1 b1 , a1;b1 1 , và d < 15
 b d.b1
Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d
Theo bài ra ta có: d a1.b1d 15 d 1 a1.b1 15 d U 15 1;3;5;15 , Mà d < 15, Nên
 a1 1 a 1 a1 2 a 2
TH1 : d 1 a1.b1 14 hoặc 
 b1 14 b 14 b1 7 b 7 Biết BCNN a,b 72 m.n.d 72 2 
 d là ước chung của 42 và 72 d 1;2;3;6
Lần lượt thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d 6 thì m n 7 và 
mn 12
 m 3;n 4 (thỏa mãn các điều kiện của m và n)
Vậy d 6 và a 3.6 18;b 4.6 24 .
Bài 11: Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab 180 , BCNN a,b 60 .
Lời giải
Điều kiện: a,b ¢ 
Đặt ƯCLN a,b d a md;b nd với ƯCLN m,n 1 BCNN a,b m.n.d
 ab 180
Biết ab 180 m.n.d 2 180 d ¦CLN a,b 3
 BCNN a,b 60
Từ đây bài toán đã biết ab 180 và ¦CLN a,b 3
 a 3;b 60 hoặc a 12;b 15.
 a 4
Bài 12: Tìm a,b biết và BCNN a,b 140 .
 b 5
Lời giải
Đặt ƯCLN a,b d .
 a 4
Vì , mặt khác ¦CLN 4,5 1 a 4d;b 5d
 b 5
Mà BCNN a,b 140 , nên ¦CLN a,b 7
 a 4
Từ đây bài toán đã biết và ¦CLN a,b 7
 b 5
 a 28;b 35 .
Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a,b biết a b 7 và BCNN a,b 140
Lời giải
Điều kiện: a,b ¥ .