Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 3, Chủ đề 3: Dùng tính chất chứng minh bài toán chia hết

 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ
 CHỦ ĐỀ 3: DÙNG TÍNH CHẤT CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. TÍNH CHẤT CHUNG
1) ab và bc thì ac
2) aa với mọi a khác 0
3) 0b với mọi b khác 0
4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU
- Nếu a,b cùng chia hết cho m thì a b chia hết cho m và a b chia hết cho m
- Tổng (Hiệu) của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho 
m .
- Nếu 1 trong 2 số a,b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia 
hết cho m .
3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA 1 TÍCH
- Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m thi bội của a cũng chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m , b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
- Nếu a chia hết cho b thì: am bm
4. CÁC TÍNH CHẤT KHÁC:
1) 0a (a 0)
2) aa;a1 (a 0)
3) ab;bc ac
4) am;bm pa qbm
5) a : (m.n) am;an
6) am;an;(m,n) 1 amn
7) am ; bn abmn
8) abm;(b,m) 1 am
9) ab p (p là số nguyên tố) thì hoặc a p hoặc b p
5. CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC
- Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ.
- Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
- Tích hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.
- Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Cách 2: 
 1028 8 có ba chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8
 1028 8 1028 1 9 A9 A72
  
 9 9
b) Ta có 817 ; 279 ; 913 chia hết cho 9 nên B chia hết cho 9
 Lại có 817 có tận cùng là 1
 279 278.27 ...1.27 có tận cùng là 7
 13 12
 9 9 .9 ...1.9 có tận cùng là 9
 nên B có tận cùng là 5 nên B chia hết cho 5.
 Mà (5;9) 1 B5.9 B45 
Bài 2: Chứng minh : A 220.24 220 chia hết cho 17.
 Lời giải
 A 220. 16 1 220.17
 A17
Bài 3: Chứng minh rằng: A 7.52n 12.6n chia hết cho 19
 Lời giải
 Thêm bớt 7.6n , ta được: A 7.25n 7.6n 19.6n 7. 25n 6n 19.6n
 Ta có: 25n  6n mod19 
 25n 6n  0 mod19 
 7. 25n 6n 19.6n 19.6n mod19 
 A  0 (mod19)
 Vậy A19
Ghi chú: Đối với một số bài toán lớp 8 nếu ta sử dụng đến hằng đẳng thức: an bn a b với n ¥
an bn a b với ( n ¥ ; n lẻ). Thì ta có thể giải được một cách dễ dàng, tuy nhiên với học sinh lớp 6 
thì chưa thể sử dụng những hằng đẳng thức đó. Vì vậy, ta có thể sử dụng Đồng dư thức để có được lời 
giải phù hợp với trình độ của học sinh lớp 6.
Bài 4: Chứng minh rằng: a) A 22225555 55552222 chia hết cho 7.
 b) B 19611962 19631964 19651966 2 chia hết cho 7.
 Lời giải
a) Ta có A 55552222 42222 22225555 45555 45555 42222 
 Mà 55552222 42222  5555 4 55552222 42222 7
 Tương tự: 22225555 45555 7
 1111 1111
 45555 42222 45 42  45 42 45555 42222 7
 Vậy A 22225555 55552222 chia hết cho 7. Nếu n là số lẻ thì n 152
 Nếu n là số chẵn thì n 102 
 Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì : n 10 n 15 2
b, Ta có: n n 1 n 2 là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có một số chia hết cho 2, một số chia hết 
cho 3.
c, Ta có: n(n 1) 1 là 1 số lẻ nên n(n 1) 1 4;2 và có chữ số tận cùng khác 0 và 5
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: 
 a. A n(2n 1)(7n 1)6 
 b. B n3 13n6 
 Lời giải
a) Ta có: n 7n 1 8n 1 là số lẻ nên n chẵn hoặc 7n chẵn, 
 n(2n 1)(7n 1)2 (1)
Xét các trường hợp :
n 3k n(2n 1)(7n 1)3
n 3k 1 n(2n 1)(7n 1)3 (do 2n 13)
n 3k 2 n(2n 1)(7n 1)3 (do 7n 13)
 n(2n 1)(7n 1)3 với mọi số tự nhiên n (2)
Từ (1) và (2) n(2n 1)(7n 1)2.3 ( Do 2; 3 là hai số nguyên tố cùng nhau)
 n(2n 1)(7n 1)6 
b) B n3 13n n3 n 12n n(n 1)(n 1) 12n Vậy B n3 13n6
  
 6 6
Bài 9: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
 Lời giải
 Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a 1, a 2
 Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là 
 a a 1 a 2 a a a 1 2 3a 3 3 (Tính chất chia hết của một tổng).
Nâng cao: Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?
Bài 10: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
 Lời giải
 Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a 1, a 2, a 3 .
 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
 a a 1 a 2 a 3 a a a a 1 2 3 4a 6 .
 Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên 4a 6 không chia 
hết cho 4 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Kết luận nâng cao: Vậy không phải lúc nào tổng n số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho n Dạng 2: Cho một biểu thức chia hết cho m chứng minh một biểu thức khác chia hết cho m
I. Phương pháp giải
- Vận dụng tính chất: AC ; BC pA qBC từ đó tìm giá trị p và q thích hợp.
II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x, y thì:
a. 2x 3y17 9x 5y17 b. 7x 9y13 x 5y13 
c. x 4y19 13x 14y19 d. 20x 7y31 x 5y31
 Lời giải
a) Gợi ý: Tìm p, q sao cho 
 2 p 9q17
 p(2x 3y) q(9x 5y)17x, y (2 p 9q)x (3p 5q)y17x, y 
 3p 5q17
Chọn p 4;q 1 4(2x 3y) (9x 5y)17 x, y
Trình bày bài:
Cách 1: 
 * Chứng minh: 2x 3y17 9x 5y17
 Từ 2x 3y17 4(2x 3y)17
 Mà 17x 17y17 nên 17x 17y 4(2x 3y)17 9x 5y17
 * Chứng minh: 9x 5y17 2x 3y17
 Từ 9x 5y17 17x 17y (9x 5y)17 8x 12y17
 4(2x 3y)17 2x 3y17 (Vì 4 và 17 nguyên tố cùng nhau)
Cách 2: 
 *Chứng minh: 2x 3y17 9x 5y17
 Vì 17x 17y17 (8x 12y) (9x 5y)17 4(2x 3y) (9x 5y)17 (1)
 Mà (2x 3y)17 4(2x 3y)17 (2)
 Từ (1), (2) suy ra 9x 5y17
 * Chứng minh: 9x 5y17 2x 3y17
 Vì 17x 17y17 (8x 12y) (9x 5y)17 4(2x 3y) (9x 5y)17
 Mà (9x 5y)17 4(2x 3y)17 2x 3y17 (Vì 4 và 17 nguyên tố cùng nhau) 
 7 p q13
b) chọn p 1;q 6 
 9 p 5q13
 p 6
c) 
 q 13
 p 3
d) 
 q 1
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 2x y9thì 5x 7y9 a, 2a -5b 6c17 nếu a 11b 3c17 (a,b,c Z) 
 b, 3a 2b17 nếu 10a b17 (a,b Z)
 Lời giải
a, Ta có: a 11b 3c17 và 17a 34b 51c17
 nên 18a 45b 54c17 9 2a 5b 6c 17
b, Ta có: 3a 2b17 và 17a 34b17 
 nên 20a – 32b17 10a – 16b17
 10a 17b – 16b17
 10a b17
Bài 8: Chứng minh rằng:
 a, abcd29thì a 3b 9c 27d29
 b, abc21 thì a 2b 4c21
 Lời giải
a, Ta có: abcd 1000a 100b 10c d29 2000a 200b 20c 2d29
 2001a – a 203b 3b 29c 9c 29d 27d29
 2001a 203b 29c 29d a 3b 9c 27d 29
 a 3b 9c 27d 29
b, Ta có: abc 100a 10b c 21
 100a 84a 10b – 42b c 63c21
 16a 32b 64c21 16 a 2b 4c 21
Bài 9: Cho a,b là các số nguyên. CMR nếu 6a 11b chia hết cho 31 thì a 7b cũng chia hết cho 31
 Lời giải
 Ta có: 6a 11b31 6 a 7b 31b31 a 7b31
Bài 10: Cho a,b là các số nguyên. CMR : 5a 2b17 9a 7b17
 Lời giải
 Ta có: 5a 2b17
 5a – 68a 2b 51b17 63a – 49b17 7 9a 7b 17 9a 7b 17
 Ngược lại ta có: 9a 7b 17 7 9a 7b 17 63a 49b17
 68a 5a 51b 2b17 5a 2b17 (5a 2b)17 (5a 2b)17
Bài 11: Cho a,b là các số nguyên. CMR nếu 2a 3b7 thì 8a 5b7 và ngược lại.
 Lời giải
 Ta có: 2a 3b7 4 2a 3b 7 8a 12b7 8a 12b 7b7 8a 5b7 n 15 n 3  n 3 .
 12 n 3 (n 3) Ư (12) {1;2;3;4;6;12}
 n {0;1;3;9}
 n 15
 Vậy với n {0;1;3;9} thì là số tự nhiên.
 n 3
Bài 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 4n 52n 1
 Lời giải
 Ta có 4n 5 2 2n 1 3 
 Để 4n 52n 1 thì 32n 1 
 Với 2n 1 1 n 1
 Với 2n 1 3 n 2 
 Vậy n 1; 2 
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n2 3n 6 n 3.
 Lời giải
 n2 3n 6 n 3
 n n 3 6 n 3 6 n 3 
 n 3 Ư 6 1;2;3;6
 n 0; n 3 
Bài 5: Tìm a ¥ để a 1 là bội của a –1
 Lời giải
 a 1 a 1 2
 Để a 1 là bội của a – 1 thì là số nguyên 1 
 a 1 a 1 a 1
 a –1 Ư 2 1;1;2
 a 0;2;3 (thỏa mãn a ¥ )
 2
Bài 6: Tìm số nguyên n để: 5 n 2n chia hết cho n 2
 Lời giải
 Ta có 5 n2 2n 5 n n – 2 
 5 n2 2n n – 2 khi 5 n – 2 
 n – 2 Ư 5 5; 1;1;5
 n 3; 1; 3; 7
 n 1
Bài 7: Tím tất cả các số nguyên n để phân số n 2 có giá trị là một số nguyên
 Lời giải
 n 1
 là số nguyên khi n 1  n 2 
 n 2