Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 3, Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết

 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ
 Chủ đề 2: Dùng các dấu hiệu để chứng minh bài toán chia hết
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phép chia hết
Với a, b là số TN và b khác 0. Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số TN q sao cho a b.q
2. Tính chất chung
 1) a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c 
 2) a ⋮ a với mọi a khác 0
 3) 0 ⋮ b với mọi b khác 0
 4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
3. Tính chất chia hết của tổng, hiệu
- Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m.
- Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
- Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia hết 
cho m.
4. Tính chất chia hết của 1 tích
- Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
- Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n.
- Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn
*) Chú ý:
 an bn (a b)n 2 an bn (a b)n chẵn 
5. Dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
- Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ của số số đó chia hết cho 3 (hoặc 9).
- Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng 
dư bấy nhiêu và ngược lại.
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
- Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
- Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25).
e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
- Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125).
f) Dấu hiệu chia hết cho 11 b) Ta có 423x7y45 5,9
 y 0;5 x 2;6
c) Ta có 1x8y236 4,9 
 y24 y 1;3;5;7;9 x 6;4;2;0;9;7
 có 6 cặp số x; y thỏa mãn bài toán
d) Ta có 21xy60 hay 2100 xy60
 xy 00; xy 60
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chia hết cho 9, biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn 
các điều kiện sau
 a) Là số có ba chữ số
 b) Là số chia hết cho 5
 c) Tổng của chư x số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9
 d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chữ số hàng chục là số chia hết cho 4
Lời giải:
Tổng của hai số tự nhiên chia hết cho 5 nên tận cùng là 5
Mà tổng của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng 9 nên chữ số hàng trăm phải bằng 4
Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng: 4a5
Mà a 44 a 0;4;8
Tổng của hai số đó là: 405 202 203;445 222 333;485 242 243
Bài 3: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b  45
Lời giải:
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 
để a56b  45 a56b 5; 9
Xét a56b  5 b 0; 5
Nếu b 0 ta có số a56b 9 
 a 5 6 0 9
 a 11 9 a 7
Nếu b 5 ta có số a56b 9 
 a 5 6 5 9
 a 16 9 a 2
Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560 Vậy: x = 1 và y = 6 ta có số 34156
 x = 4 và y = 2 ta có số 34452
b) 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = 2
Bài 7: Cho số N = dcba CMR
 a. N  4 a 2b  4
 b. N 16 a 2b 4c 8d 16 với b chẵn
 c. N  29 a 3b 9c 27 d  29
Lời giải:
 a. Ta có:
 N  4 ba  4 10b a  4
 8b 2b a 4 2b 4
b. N 16 1000d 100c 10b a 16
 992d 96c 8b 8d 4c 2b a 16
 a 2b 4c 8d 16
 với b chẵn
c.Ta có:
 100 d 3c 9b 27 a dbca  29
 1000; 29 1; dbca  29 d 3c 9b 27 a  29
Bài 8: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
Lời giải:
Gọi ab là số có 2 chữ số
 Theo bài ra ta có:
 ab 10a b 2ab(1)
 ab 2 b 0; 2; 4; 6;8
 Thay vào (1) a 3; b 6
Bài 9: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A 192021...7980 . Hỏi số A có 
chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Lời giải:
Có 1980 2 2.32.5.11
Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 4 và 5
 A  4; 5 b) B 391001 211000 10
Lời giải:
 Ta có A (210 1)11 102511 25
Bài 4: Giả sử S(a) là tổng các chữ số của số tự nhiên a. Chứng minh rằng
a) a S(a)9
b) Nếu S a S 2a thì a chia hết cho 9, điều ngược lại có đúng không?
Lời giải:
 n
a) Đặt a anan 1...a1a0 an.10 .... a1.10 a0 S(a) an an 1 an 2 ... a1 a0
 a S(a) a .(10n 1) a .(10n 1 1) ... 9a
 n  n 1  1
 (10 1) (10 1) 9
 a S(a)9
b. S(a) S(2a)
 a 2a S(2a) a S(a)
  
 9 9
 a9
Ví dụ: a 18 S(a) 9
 a S(a) 99;2a 36
 S(2a) 9
Bài 5: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ các chữ số của A để được 1 số B lớn gấp 3 lần 
số A. Chứng minh rằng B27
 Lời giải:
B 3A B3 S(A)3 S(A)3 A3
 B 3A
Mà  B9 S(B)9 S(A)9 A9
 A3 
 B 3A
Và  B27 đpcm.
 A9 
Bài 6: Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Số A có chia hết cho 99 không?
Lời giải:
Ta có 90 số thảo mãn bài toán: 10,11,.....;99
Tổng các chữ số hàng đơn vị là: (0 1 2 ... 9).9 45.9 405
Tổng các chữ số hàng chục là: (1 2 ... 9).10 45.10 450
Tổng các chữ số của A là: 405 450 855 9 A 9
Bài 7: Chứng minh với mọi n là STN lẻ thì số A n2 4n 5/ 8 b, Ta có : abc27 abc027
 1000a bc027
 999a a bc027
 27.37a bca27
 Nên bca27
Bài 4: Chứng minh rằng:
 a, Nếu (ab cd eg)11 thì abcdeg11
 b, Nếu abc deg37 thì abc deg37
 c, Nếu abcd99 thì ab cd99
Lời giải:
a, Ta có : abcdeg 10000.ab 100cd eg
 9999ab 99cd (ab cd eg)11
b, Ta có : abcdeg 1000abc deg
 999abc (abc deg)37
c, Ta có : abcd 100.ab cd
 99.ab ab cd 99 ab cd9
Câu 5: Chứng minh rằng: với n ¢ .
 2
 A n3 n2 7 36n 7
 Lời giải
 2
Ta có: A n3 n2 7 36n 
 2 2 
 n n n 7 6 n n 7 6 
 n n3 7n 6 n3 7n 6 
 n n3 n 6n 6 n3 n 6n 6 
 2 2 
 n n 1 6 n 1 n n 1 6 n 1 
 n n 1 n2 n 6 n 1 n2 n 6 
 n n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 
 Do đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp A7 n ¢
Câu 6: Chứng minh rằng: 20092008 20112010 chia hết cho 2010
 Lời giải Vì a b chia hết cho 3 nên a b 2 3ab chia hết cho 3
 2
 Do vậy a b a b 3ab chia hết cho 9
Câu 9: Chứng minh n3 17n chia hết cho 6 với mọi n ¢
 Lời giải
 n3 17n n3 n 18n n n 1 n 1 18n
Vì n n 1 n 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, 2,3 1 nên chia hết cho 6
 18n6 , suy ra điều phải chứng minh
Câu 10: Chứng minh rằng: 
 A 1 3 32 33 ... 311 chia hết cho 40.
 Lời giải
 A 1 3 32 33 ... 311
 1 3 32 33 34 35 36 37 38 39 310 311 
 1 3 32 33 34. 1 3 32 33 38 1 3 32 33 
 40 34. 40 38. 40
 40. 1 34 38 40
 Vậy A 40
Câu 11:
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A 5n 2 26.5n 82n 1 59
 Lời giải
a) Ta phải chứng minh A n3 n 1 3 n 2 3 9 với n ¢
 A n3 n3 3n2 3n 1 n3 6n2 12n 8
 3n3 9n2 15n 9
 3n3 3n 9n2 18n 9
 3n n 1 n 1 9 n2 2n 1 
Nhận thấy n n 1 n 1 3 3n n 1 n 1 9 và 9 n2 2n 1 9
Vậy A9
b) 5n 2 26.5n 82n 1 25.5n 26.5n 8.82n
 5n 59 8 8.64n
 59.5n 8 64n 5n Chứng minh: a3 a a 1 a a 1 6 với mọi số nguyên a .
Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm.
Câu 16: Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45 
 Lời giải
Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45.
HD: Đặt M 2130 3921
Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1)
Vậy để c/m M 45 ta cần c/m M 5 và M 9
Thật vậy, M 2130 3921 2130 130 3921 1 5 (2)
(Vì 2130 130  21 1 5 và 3921 1  39 1 5)
Mặt khác, 213 2130 9 và 393 3921 9 . Do đó, M 9 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.
* Chú ý: an bn  a b 
Câu 17: Chứng minh rằng: B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6 
 Lời giải 
Chứng minh rằng: B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6
Ta có: 
B n3 6n2 19n 24 n3 n 6n2 18n 24
 n n2 1 6 n2 3n 4 
 n 1 n n 1 6 n2 3n 4 
Vì n 1 n n 1 6 và 6 n2 3n 4 6 nên B n3 6n2 19n 24 chia hết cho 6
 (đpcm)
Câu 18: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20n 16n 3n 1 chia hết cho 6
 chia hết cho 323 chia hết cho 6
 Lời giải 
 n n n
Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: A 20 16 3 1 
chia hết cho 323
Ta có: 323 17.19 và 17;19 1. Ta cần c/m: A17;19
Ta có A 20n 16n 3n 1 20n 3n 16n 1 
 Mà 20n 3n  20 3 17 1