Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 3, Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết

 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ
 Chủ đề 1: Phương pháp phân tích thành thừa số để chứng minh các bài toán chia hết
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.PHÉP CHIA HẾT
Với a, b là các số tự nhiên và b khác 0. Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho 
a = b. q .
2.TÍNH CHẤT CHUNG
1) ab và bc thì ac .
2) aa với mọi a khác 0.
3) 0b với mọi b khác 0.
4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1.
3.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU
- Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m.
- Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho 
m.
- Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không 
chia hết cho m.
4.TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TÍCH
- Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n .
- Nếu a chia hết cho b thì: a n bn .
*) Chú ý:
 an - bn  a b , n 2 . 
 an - bn (a b),n chẵn. 
5.DẤU HIỆU CHIA HẾT
a) Dấu hiệu chia hết cho 2: một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ của số số đó 
chia hết cho 3 (hoặc 9).
 *) Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng 
dư bấy nhiêu và ngược lại.
c) Dấu hiệu chia hết cho 5: một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc 
5. Mà 1719 1 (1719 1718 ) (1718 1717 ) (1717 1716 ) ... (17 1)
 1718. 17 1 1717. 17 1 1716. 17 1 ... 17 1 
 18.1718 18.1717 18.1716 ... 18 
 18.(1718 1717 1716 ... 1)18 1 
Mà 1917 1 1917 1916 1916 1915 1915 1914 ... 19 1 
 1916. 19 1 1915. 19 1 1914. 19 1 ... 19 1 
 1916.18 1915.18 1914.18 ... 18
 18.(1916 1915 1914 ... 1)18 2 
Từ 1 và 2 B 1719 1917 18 (đpcm).
c) Ta có C 3663 1 3663 3662 3662 3661 3661 3660 ... (36 1)
 C 3662. 36 1 3661. 36 1 3660. 36 1 ... (36 1)
 C 3662.35 3661.35 3660.35 ... 35
 C 35. 3662 3661 3660 ... 1 7 (đpcm).
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) A 165 215 33 b) B 88 220 17 .
 Lời giải
a) Ta có A 165 215 (24 )5 215 220 215 215.(25 1) 215.3333
b) Ta có B 88 220 (23 )8 220 224 220 220.(24 1) 220.1717
Bài 5: Cho A 20 21 22 23 ... 299. Chứng minh A chia hết cho 31.
 Lời giải
Nhận xét: Để chứng minh một tổng lũy thừa chia hết cho một số k ta cần thực hiện nhóm số hạng để biến 
đổi tổng đó về dạng tích của số k với một biểu thức nào đó
A 20 21 22 23 ... 299
 20 21 22 23 24 25. 20 21 22 23 24 ... 295. 20 21 22 23 24 
 20 21 22 23 24 . 1 25 210 ... 295 
 31. 1 25 210 ... 295 31
Bài 6: Cho A 1 2 22 23 ... 299 hoặc A 2100 1. Chứng minh rằng A chia hết cho 3; 15; 31. 3 59
 2.(1 2) 2 .(1 2) ... 2 .(1 2)
 3 59 3 59
 2.3 2 .3 ... 2 .3 3.(2 2 ... 2 )3
 2 3 60
D 2 2 2 ... 2 
 (2 22 23 ) (24 25 26 ) ... (258 259 260 )
 2.(1 2 22 ) 24.(1 2 22 ) ... 258.(1 2 22 )
 2.7 24.7 ... 258.7
 7.(2 24 ... 258 )7
D 2 22 23 ... 260
 (2 22 23 24 ) (25 26 27 28 ) ... (257 258 259 260 )
 2.(1 2 22 23 ) 25.(1 2 22 23 ) ... 257.(1 2 22 23 )
 2.15 25.15 ... 257.15 15.(2 25 ... 257 )15
Bài 11: Cho E 1 3 32 33 ... 31991 . Chứng minh rằng E chia hết cho 13 và 41.
 Lời giải
Ta có: E 1 3 32 33 ... 31991 (1 3 32 ) (33 34 35 ) ... (31989 31990 31991)
E 13 33.(3 3 32 ) ... 31989.(1 3 32 ) 13 13.33 ... 31989.13 13.(1 33 ... 31989 )13
E 1 3 32 33 ... 31991
E (1 32 34 36 ) (3 33 35 37 ) ... (31984 31986 31988 31990 ) (31985 31987 31989 319 91)
E (1 32 34 36 ) 3.(1 32 34 36 ) ... 31984.(1 32 34 36 ) 31985 (1 32 34 36 )
E (1 32 34 36 ).(1 3 ... 31984 31985 ) 820.(1 3 ... 31984 31985 ) 41.20.(1 3 ... 31984 31985 )41
Bài 12: 
a) Chứng minh rằng: 21 22 23 ... 2100 3. 
b) Chứng minh rằng: 7 72 73 ... 72000 8.
c) Chứng minh rằng: S 31 32 33 ... 31997 31998 26
d) Chứng minh rằng: B 3 32 33 ... 3100 (có 100 số hạng) chia hết cho 120.
 Lời giải
a) Ta có 21 22 23 ... 2100 (21 22 ) ...(299 2100 )
 21(1 2) ... 299 (1 2) 3(21 23 ... 2999 )3
b) Ta có: 7 72 73 74 ... 72000 (7 72 ) (73 74 ) ... (71999 72000 ) 
 7(1 7) 73 (1 7) ... 71999 (1 7) 8(7 73 ... 71999 )8
c) Ta có 26 13.2, ta đi chứng minh S chia hết cho 13 và 2 a) Ta có A = n5 n = n . n4 1 
 n . n 1 . n + 1 . n2 1 
 n 1 .n . n + 1 . n2 1 6
vì n 1 .n . n + 1 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. *
Mặt khác A = n5 n = n . n4 1 
 n . n2 1 . n2 1 
 n . n2 1 . n2 4 5 
 = n . n2 1 . n2 4 5.n . n2 1 
 n 2 . n 1 .n. n 1 . n 2 5.n . n2 1 
Mà n 2 n 1 .n . n + 1 . n 2 là là tích của năm số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 
5.n . n2 1 chia hết cho 5.
 A = n5 n5 ** 
Từ (*) và (**), ta có A chia hết cho 30. 
b) Ta có A n4 10.n2 9 n4 n2 9.n2 9 
 n2. n2 1 9. n2 1 
 n2 1 . n2 9 
 n 1 . n + 1 . n 3 . n + 3 
 n 3 . n 1 . n + 1 . n + 3 
Vì n lẻ nên đặt n 2.k 1 k Z nên 
A 2.k 2 .2.k. 2.k + 2 . 2.k + 4 
 16. k 1 .k. k + 1 . k + 2 16 1 
Và k 1 .k. k + 1 . k + 2 là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội 
của 24 hay A chia hết cho 24. 2 
 Từ 1 và 2 A 16.24 hay A384.
 n 2 n 2 n n n 2 n 2 n n
c) Ta có C 3 2 3 2 3 .(3 1) 2 .(2 1) 1 0.3 5 .2
 10 10
 n n n-1 n-1 n-2
d) Ta có D 24.n 1 16 1 16 16 16 16 ... (16 1) A81
Dạng 3: Chứng minh biểu thức đại số chia hết cho một số.
I.Phương pháp giải:
- Chứng minh biểu thức có chữ số tận cùng chia hết cho số đó
- Vận dụng tính chất chia hết của một tổng
II.Bài toán
Bài 18: Chứng minh rằng n ¥ thì tích (n 3).(n 6) chia hết cho 2.
 Lời giải
Ta xét các trường hợp:
Nếu n là số lẻ thì n 3 là số chẵn; n 6 là số lẻ.
Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận cùng là số chẵn.
 ( n 3)( n 6)2. Mếu n là số chẵn thì n 3 là số lẻ; n 6 là số chẵn.
Mà tích của một số lẻ với một số chẵn có tận cùng là chữ số chẵn 
 (n 3).(n 6)2.
Vậy với mọi n thuộc N thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2 (đpcm).
Bài 19: Chứng minh rằng (1005.a 2100.b) chia hết cho 15 với mọi a, b thuộc ¥ .
 Lời giải
Vì 10053 nên 1005. a3 với  a ¥ . 
Vì 21003nên 2100.b3 với b ¥ .
 (1005.a 2001.b)3, a, b ¥ .
Vì 10055 nên 1005.a5 với a ¥ .
Vì 21005nên 2100.b5 với b ¥ .
 (1005.a 2001.b)5, a, b ¥ .
Mà (3;5) 1 (1005.a 2001.b)15 với a, b ¥ .
Dạng 4: Chứng minh các bài toán chia hết theo tính chất hai chiều.
I.Phương pháp giải:
- Vận dụng tính chất chia hết của một tổng
II.Bài toán
Bài 20: Chứng minh rằng 
a) abcd chia hết cho 29 a 3.b 9.c 27.d29
b) abc chia hết cho 21 a 2.b 4.c21 
c) m 4.n chia hết cho 13 10.m n13, m, n ¥ . 9999.ab 99.cd ab cd eg abcdeg11
  
 11
 11 11
Điều ngược lại cũng đúng 
b) abcdeg 1000.abc deg
 1001.abc abc deg
 1001.abc (abc deg)
  
 7 7
 abcdeg7
Dạng 5: Chứng minh các bài toán có vận dụng tính chất chia hết để tìm số dư.
I.Phương pháp giải:
- Vận dụng tính chất chia hết của một tổng
II.Bài toán
Bài 22:
a) Chứng minh rằng: Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp 
không chia hết cho 4.
b) Chứng minh rằng: Tổng của 5 số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia 10 dư 5.
 Lời giải
a) Ta có tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là: n n 1 n 2 3.n 3 3 với mọi n là số tự nhiên
và tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là n n 1 n 2 n 3 4.n 6 4 với mọi n là số tự nhiên.
b) Tổng của 5 số tự nhiên chẵn liên tiếp là 2.k 2.k 2 2.k 4 2.k 6 2.k 8 10.k 20 10 với mọi 
k
 Tổng của 5 số tự nhiên lẻ liên tiếp là 2.k 1 2.k 3 2.k 5 2.k 7 2.k 9 10.k 25 chia cho 10 dư 
5 (đpcm). 
Bài 23: 
a) Chứng minh rằng: Với mọi n thuộc N thì 60.n 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
b) Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1.
c) Chứng minh rằng: A n2 n 1 không chia hết cho 2 và 5, n ¥ .
 Lời giải
a) Ta có: 6015 60.n15 60.n 4515(theo tính chất chia hết của một tổng)
6030 60.n30 ; 45 không chia hết cho 30 
 60.n 45 không chia hết cho 30 (theo tính chất chia hết của một tổng) 
b) Giả sử có số a ¥ thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì
a 15.q1 63