Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 2, Chủ đề 6: Tìm chữ số tận cùng

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
 CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tìm 1 chữ số tận cùng
Tính chất 1: 
a) Các số có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay 
đổi. 
b) Các số có chữ số tận cùng là 4,9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là 1. 
d) Các số có chữ số tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng là 6. 
Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a :
- Nếu chữ số tận cùng của a là 0,1,5,6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 . 
- Nếu chữ số tận cùng của a là 3,7,9:
Phân tích: am = a4n+ r = a4n .ar với r = 0, 1, 2, 3
Từ tính chất 1c Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar . 
- Nếu chữ số tận cùng của a là 2,4,8: cũng như trường hợp trên
Từ tính chất 1d Þ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6ar . 
Tính chất 2:
Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n Î ¥ ) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng 
lũy thừa trong tổng. 
Tính chất 3:
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận 
cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3 . 
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận 
cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2 . 
c) Các số có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận 
cùng. 
Tính chất 4: 
 Nếu a Î ¥ và (a , 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125. Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng
 - Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76
 - Các số 320 (hoặc 815 ); 74; 512 ; 992 có tận cùng bằng 01.
 - Các số 220; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76.
 - Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76.
- Các số có chữ số tận cùng là 01;25;76 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn 
không thay đổi. (1)
- Các số 320;74;910;512;815;992 có chữ số tận cùng là 01. (2)
- Các số 410;65;184;242;684;742 có chữ số tận cùng là 76. (3)
- Số26n (n > 1) có chữ số tận cùng là 76. (4)
Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.
CHÚ Ý:
- 410 có 2 chữ số tận cùng là 76.
- 52 có 2 chữ số tận cùng là 25 .
- 820 có 2 chữ số tận cùng là 76.
- 910 có 2 chữ số tận cùng là 01.
3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 
1000. 
 k
Giả sử n = 100k + r với 0 £ r < 100, khi đó: an = a100k+ r = (a100) .ar .
Giả sử: a º x (mod 10), x Î {0, 1, 2, ..., 9}
 100
Ta có: a100 = (10k + x) º x100 (mod 1000)
Vậy 3 chữ số tận cùng của a100 cũng chính là 3 chữ số tận cùng của x100.
Dùng quy nạp với mọi n ³ 1, ta có:
625n º 625 (mod 1000),
376n º 376 (mod 1000).
- Nếu x = 0 thì x100 º 000 (mod 1000) - Ta biết rằng các số có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn 
không thay đổi. 
- Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị.
Lời giải
a) 1567 có chữ số tận cùng là 6
b) 10619 có chữ số tận cùng là 1
c) Theo câu a) và b) Chữ số tận cùng của lũy thừa : 1567 10619 là 7
d) Theo kết quả câu a) và b) Chữ số tận cùng của lũy thừa: 1567.10619 là 6 .
Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận cùng của 52020 
Phân tích:
Để tìm được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng là 5.
Lời giải
Ta thấy 54 = 625, số tận cùng bằng 5 nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng 5 nên ta 
phân tích 52020 = 54.505 = 625505 .
Vậy số 52020 có chữ số tận cùng bằng 5.
Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a)72006 b)8732 c)91991 d) 2335 e)7430 f )74n 1
Lời giải 
a)72006 72004.72 74.501.72 .....1.49 .....9
Vậy chữ số tận cùng của 72006 là 9 .
b)8732 874.7 .....1
Vậy chữ số tận cùng của 8732 là 1.
c)91991 91988.93 94.497.93 ......1......9 .....9
Vậy chữ số tận cùng của 91991 là 9 .
d) 2335 2332.233 234.8.233 .....1......7 .....7
Vậy chữ số tận cùng của 2335 là 7 .
 15
e)7430 742 (.....6)15 .....6
Vậy chữ số tận cùng của 7430 là: 6 .
 f )74n 1 .....1 1 .....0
Vậy chữ số tận cùng của 74n 1 là 0 .
Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a)735 431 b) 24n 1 2 c) 21930.91945
Lời giải Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau:
S = 21 + 35 + 49 + ¼ + 20048009.
Phân tích:
Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chính là số mũ của các số hạng trong 
S, các số mũ này đều chia 4 dư 1. Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng 4n + 1 sẽ có tận cùng 
không đổi.
Lời giải:
 4(n – 2) + 1
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1(các lũy thừa đều có dạngn , 
n thuộc {2;3;4...;2004})
Theo tính chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng 
chữ số tận cùng của tổng:
(2 + 3 + ¼ + 9)+ 199.(1+ 2 + ¼ + 9)+ 1+ 2 + 3 + 4 = 200(1+ 2 + ¼ + 9)+ 9 = 9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Tổng quát hóa:
 4(n- 2)+ 1
Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:S = 21 + 35 + 49 + ¼ + n
Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + ... + 20048011.
Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n- 2)+ 3 , n 
thuộc {2;3;4...;2004})
Theo quy tắc 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ;
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: 
(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1+ 8 + 7 + 4
= 200.(1+ 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 8 + 7 + 4 = 9019
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9
Tương tự hóa: 
 4(n- 2)+ 3
Tìm chữ số tận cùng của S = 23 + 37 + 411 + ¼ + n
Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng
Ví dụ 2.1: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: 
a) 22003 b) 799
Lời giải: 
a) Do 22003 là số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n 125 . = (K 76).224 = K 24 .
Ví dụ 2.5: Tìm 2 chữ số tận cùng của 197656.201577
Lời giải 
Ta thấy:
Chữ số tận cùng của 197656 cũng là chữ số tận cùng của 7656 mà 7656 = ...76
Chữ số tận cùng của 201577 cũng là chữ số tận cùng của 1577
 77
mà 1577 = (3.5) = 377.577 = 320.3+ 17.577 = 317 (...01).(...25) = (...63)(...25) = ...75.
Suy ra: 197656.201577 = (...76).(...75) = ...00.
Vậy 197656.201577 có 2 chữ số tận cùng là 00 .
Ví dụ 2.6: Tìm hai chữ số tận cùng của số C = 2999
Lời giải
Ta có: 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025M25 suy ra 220 – 1 = (210 + 1)(210 – 1)M25
 50
Ta lại có 21000 – 1 = (220) – 1M220 – 1suy ra 21000 – 1M25
Do đó21000 chữ số tận cùng là 26;51;76nhưng 21000 M4
Suy ra21000 tận cùng là 76 Þ 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999 M4
Vậy 2999 tận cùng là 88
Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88 .
Ví dụ 2.7: Tìm 2 chữ số tận cùng của 512020
Lời giải
Ta có 2020 = 2.1010 nên 512020 = (512)1010 = 26011010 . 
Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của 512020 là 01.
Ví dụ 2.8: Tìm 2 chữ số tận cùng của a) 72015 b) 5766
Lời giải
a) Ta có: 74 = 2401 nên 72015 = 74.503+ 3 = (74)503.73 = 2401503.343 = (...01).343 = ...43
 2015
Chữ số tận cùng của 7 là 43.
b) Ta có 5766 = (574)16.572 = (...01)16.3249 = ...49
Chữ số tận cùng của 5766 là 49 . 26
Ta có 7213 º 726.8+ 5 º (78 ) .75 º 126.75 º 75 º 7(mod 100)
 213
Khi đó 37 = 3100k+ 7 = 3100k.37 º 1. 37 º 187(mod 1000)
 213
Vậy ba chữ số tận cùng của 37 là 187 .
Ví dụ 3.6: Tìm ba chữ số tận cùng của 51992 
Lời giải 
 498
51992 = (54 ) = 625498 = 0625498 = ¼ 0625 
Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625 
Ví dụ 3.7: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5946 
Lời giải
Ta có 53 có ba chữ số tận cùng là 125 
Suy ra T = 5946 = (53)315.5=(n125)315.5=m125.5=t625
(Vớin,m,t Î ¥ )
Vậy T = 5946 có ba chữ số tận cùng là125.
Ví dụ 3.8: Tìm ba chữ số tận cùng của số: P = 51994 
Lời giải
Ta có: 
54 = 0625 tận cùng là 0625 ; 55 tận cùng là 3125 ; 56 tận cùng là5625 
57 tận cùng là 8125 ; 58 tận cùng là 0625 ; 59 tận cùng là 3125 ; 
510 tận cùng là 5625; 511 tận cùng là 8125 ; 512 tận cùng là 0625 
Chu kỳ lặp là 4.
Suy ra: 
54m tận cùng là 0625 ; 54m+ 1 tận cùng là 3125 
54m+ 2 tận cùng là 5625; 54m+ 3 tận cùng là 8125 
Mà 1994 có dạng 4m + 2, do đó M = 51994 có 4 chữ số tận cùng là5625.
Ví dụ 3.9: Tìm ba chữ số tận cùng của số: R = 123101 
Lời giải
Do (123,5) = 1 Þ 123100 - 1 chia hết cho 125 (1). 
Mặt khác: 123100 - 1 = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) Þ 123100 - 1 chia hết cho 8 (2). 
Vì(8,125) = 1 , từ (1) và (2) suy ra: 123100 - 1 chi hết cho 1000 Dạng 4: Vận dụng chứng minh chia hết, chia có dư.
* Chú ý: 
a. Dấu hiệu chia hết cho 2 :
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9 ):
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9 ) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9 ).
Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9 ) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9 ) cũng dư 
bấy nhiêu và ngược lại.
c. Dấu hiệu chia hết cho 5 :
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5 .
d. Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25 ):
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25 ) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25 ).
e. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125):
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125).
 f. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái 
sang phải) chia hết cho 11.
Ví dụ 4.1: Cho 9999931999 5555571997 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5 .
Lời giải:
Để chứng minh A5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng.
 499
Ta có: 31999 34 81499 .27
Suy ra: 31999 có chữ số tận cùng là 7 .
 499
71997 74 .7 2041499 .7
Suy ra: 71997 có chữ số tận cùng là 7 . 
Vậy A có chữ số tận cùng bằng 0 .
Do đó: A5.
Ví dụ 4.2: Cho n ¥ , chứng minh rằng n2 n 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5 .
Lời giải:
Ta có: n2 n 1 n n 1 1
n n 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 . Suy ra n n 1 1 là một số lẻ nên không chia 
hết cho 4 .