Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 2, Chủ đề 4: Phương pháp biến đổi tương đương để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa

 ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
 CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN 
 CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a
 n
 a a .a...a ( n 0) . a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.
 n thừa số 
 a
 Chú ý:
 a2 còn được gọi là a bình phương (hay bình phương của a ).
 a3 còn được gọi là a lập phương (hay lập phương của a ).
 Quy ước: a1 a
2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số am.an am n
3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số am : an am n ( a 0, m n)
 Quy ước a0 1 a 0 
 n
4. Luỹ thừa của luỹ thừa am amn
5. Luỹ thừa một tích a.b m am.bm
6. Một số luỹ thừa của 10 :
 - Một nghìn: 1 000 103
 - Một vạn: 10 000 104
 - Một triệu: 1 000 000 106
 - Một tỉ: 1 000 000 000 109 
 Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n 100000 (có n chữ số 0 )
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa
I. Phương pháp giải
- Đưa hai luỹ thừa về cùng cơ số 
- Sử dụng tính chất
Nếu am an thì m n a N *;a 1,m,n N b) 3x 16 196 : 193.192 3.12005 1
Lời giải:
a) 5x 2 32 24 68 : 66 62 
 5x 2 9 16 62 62 
 5x 2 9 16 0
 5x 2 25
 5x 2 25
 x 2 2
 x 4
Vậy x 4 .
b) 3x 16 196 : 193.192 3.12005 1
 3x 16 196 :195 3 1
 3x 16 19 3 1
 3x 16 17
 3x 1
 x 0
Vậy x 0
Bài 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn
 2
a)15x .152x 1
 2
b) 5x .5 52x
 2
c)9x .81x 729
 2
d)117 x 11x .1112
Lời giải:
 2
a)15x .152x 1
 2
 15x 2x 150 2
 117 x 11x 12
 7x x2 12
 x2 7x 12 0
 x2 4x 3x 12 0
 x(x 4) 3(x 4) 0
 (x 4)(x 3) 0
 x 4 0 x 4
 x 3 0 x 3
Vậy x 4;x 3
Bài 4: Tìm số tự nhiên x thoả mãn
a) 2x 2x 1 2x 2 2x 3 480
 x 1 x x x
b) 5 5 2.2 8.2
 x x 1 x x x
c) 6 6 2 2.2 4.2
 x 3 0
d) 3 25 26.2 2.3
Lời giải:
a) 2x 2x 1 2x 2 2x 3 480
 2x (1 2 22 23 ) 480
 2x.15 480
 2x 25
 x 5
Vậy x 5
b) 5x 1 5x 2.2x 8.2x
 5x (5 1) 2x (2 8)
 22.5x 2x 1.5
 22.5x 2x 1.5
 22.5 22.5
 5x 1 2x 1
 x 1 0 x 1
Vậy x 1 (2m 1)(2n 1) 1
 m m
 m n 2 1 1 2 2 m 1
Vì 2 1 và 2 1 nên 
 n n 
 2 1 1 2 2 n 1
Vậy m n 1
 3
Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên x thoả mãn 16x 16x
Lời giải:
 3
16x 16x
 x x3
 x(1 x2 ) 0
 x 0 x 0 
 2 
 1 x 0 x 1
Vậy có 2 số tự nhiên x thoả mãn là x 0; x 1
Bài 8: 
a) Cho A 5 52 53 ... 5100. Tìm số tự nhiên n biết 4A 5 5n 1
 2 3 99 100 2n 1
b) Cho B 2 2 2 .... 2 2 . Tìm số tự nhiên n biết 2 2 B
Lời giải:
a)Ta có
A 5 52 53 ... 5100
 5A 52 53 ... 5100 5101
 5A A 52 53 ... 5100 5101 5 52 53 ... 5100 
 4A 5101 5
 4A 5 5101
Theo đầu bài ta có:
 4A 5 5n 1
 5101 5n 1 n 100.
Vậy n 100 .
b) Ta có :
B 2 22 23 .... 299 2100
 2B 22 23 .... 299 2100 2101
 2B B 2101 2 7x 2 7x 1 7x 52x 52x 1 52x 3
 57 131
 7x 49 7 1 52x 1 5 125 
 57 131
 7x 25x x 0
Vậy x 0
 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65
Bài 11: Tìm số tự nhiên n biết: . 8n
 35 35 35 25 25
Lời giải:
45 45 45 45 65 65 65 65 65 65
 . 8n
 35 35 35 25 25
 4.45 65.6
 . 23n
 3.35 2.25
 5
 24 24 3n
 . 2 
 6 6
 45.4 23n
 212 23n 3n 12 n 4 
Vậy n 4
Bài 12: Tìm hai số tự nhiên x, y thoả mãn 2x 1.3y 12x
Lời giải:
2x 1.3y 12x
 2x 1.3y 22x.3x
 22x :2x 1 3y :3x
 2x 1 3y x
 x 1 0
 y x 0
 x y 1
Vậy x y 1
Bài 13: Tìm x biết: 
a) 2x 2.3x 1.5x 10800
 x 3 x 1 x
b) 4 .5 .6 192000
Lời giải: c) xn 1 n ¥ 
Nếu n 0 thì x0 1 x N *
Nếu n 0 thì xn 1 x 1 n ¥ * .
Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết: 
 a) x2 16 b) x5 125 c) x 20210
 2.x3
 d) x2 23 32 43 e) 48
 32
Lời giải: 
a) Ta có x2 16 x2 42 x 4
b) Ta có x5 125 x5 53 x 5
c) Ta có x 20210 1
d) Ta có x2 23 32 43 8 9 64 81 92 x 9
 2.x3
e) Ta có 48
 32
 2.x3
 48
 9
 2.x3 48.9
 2.x3 432
 x3 216 63
 x 6
 Vậy x 6
Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết: 
 a) x 3 3 27 
 b) 2x 1 3 125 
 c) 288: x 3 2 2 
 d) 1 3x 4 256
Lời giải: Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết: 
 a) x3 x2
 11
 x4 x
 b) 
 2
 x54 x
 c) 
Lời giải: 
a) Ta có x3 x2 suy ra x3 x2 0
 x2 x 1 0
 x2 0 x 0
 x 1 0 x 1
Vậy x 0 hoặc x 1.
 11
b) Ta có x4 x suy ra x44 x 0
 x x43 1 0
 x 0 x 0 x 0
 43 43 
 x 1 0 x 1 x 1
Vậy x 0 hoặc x 1.
 2
c) Ta có x54 x suy ra x108 x 0
 x x107 1 0
 x 0 x 0 x 0
 107 107 
 x 1 0 x 1 x 1
Vậy x 0 hoặc x 1.
Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết: 
 a) 2. 2x 1 2 50
 b) 7x 11 3 25.52 200
 3
 c) 720 : 41 2x 5 2 .5
Lời giải: 
a) Ta có 2. 2x 1 2 50
 2x 1 2 50 : 2 4
 3x 6 0 3x 6 0 x 2
 3x 6 x 2 
 2 2 7
 1 3x 6 0 3x 6 1 3x 6 1 3x 7 x loai 
 3
Vậy x 2 .
 m m 3
Bài 7: Tìm số tự nhiên x, biết: x 2 x 2 0 m ¥ 
Lời giải:
 m m 3
Ta có: x 2 x 2 0 m ¥ 
 x 2 m 1 x 2 3 0
 m m
 x 2 0 x 2 0 x 2 0
 x 2 x 2
 3 3 3 
 1 x 2 0 1 x 2 0 x 2 1 x 2 1 x 3
Vậy x 2 hoặc x 3.
 x 2 x 4
Bài 8: Tìm số tự nhiên x, biết x 1 x 1 1 
Lời giải:
Đặt x 1 y x 2 y 3;x 4 y 5
Ta có 1 trở thành y y 3 y y 5
 y y 3 (y2 1) 0
 y y 3 0 y 0 x 1
 x 1;2 
 2 
 y 1 0 y 1 x 2
 Vậy x 1;2 là giá trị cần tìm.
Bài 9: Tìm các số tự nhiên x và y biết rằng: 10x 48 y2
Lời giải: 
Nếu x 0 ta có y2 100 48 1 48 49 72 y 7 .
Nếu x 0 ta có 10x có chữ số tận cùng là 0, do đó 10x 48 có chữ số tận cùng là 8 mà y2 không thể có 
chữ số tận cùng là 8.
Vậy x 0, y 7 .
Bài 10: Tìm số tự nhiên x, biết: 
a) 1600 : 41 2x 5 5 40
b) x2 1 x2 2 x2 3 ... x2 100 15050
Lời giải: 
a) Ta có: 1600 : 41 2x 5 5 40
 41 2x 5 5 1600 : 40
 3 3
 2 2 2 3 
Bài 12. Tìm x ¥ , biết: x 6 8 9.7 7.5 5.3 1
 
Lời giải: 
 3 3
 2 2 2 3 
Ta có: x 6 8 9.7 7.5 5.3 1
 
 3 3
 x2 36 64 63 3 35 15 1
 
 3
 2 3 3
 x 36 1 35 15 1
 3
 x2 15 1
 x2 15 1
 x2 16 42
 x 4 .
Vậy x 4 .
 2 2
Bài 13. Tìm x ¥ , biết: x 3 1– 3x 
Lời giải:
 2 2
Ta có x 3 1– 3x x – 3 1– 3x 
 4x 4
 x 1 
Vậy x 1 
 100 200
Bài 14. Tìm số tự nhiên x và y , biết: 3x 6 2y 4 0
Lời giải:
 100 200
Ta có 3x 6 0, 2y 4 0, x, y
 3x 6 100 2y 4 200 0, x, y
 100 200
Mà 3x 6 2y 4 0
 100
 100 200 3x 6 0 3x 6 0 x 2
nên 3x 6 2y 4 0 
 200 2y 4 0 y 2
 2y 4 0 
Vậy x y 2 .
Bài 15. Tìm số tự nhiên a và b, biết: 3a 9b 183
Lời giải:
Nếu a 0 ta có 30 9b 138
 1 9b 183
 9b 182
 b ¥