Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 2, Chủ đề 3: So sánh hai lũy thừa bằng phương pháp so sánh gián tiếp

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
 CHỦ ĐỀ 3: SO SÁNH LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
-Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: an a.a...a ( n thừa số a với n N ) 
-Qui ước: a0 1(a 0)
-Các phép tính luỹ thừa:
- Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: am.an am n
- Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : am : an am n (a 0;m n)
- Luỹ thừa một tích: (a.b) n an .bn
- Luỹ thừa một thương: (a : b ) n an :bn (b 0)
- Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m )n am.n
 n n
- Luỹ thừa tầng: a m a(m )
 1
- Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: a n (a 0)
 an
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI LŨY THỪA.
So sánh trực tiếp: 
Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số 
mũ .
 - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn 
hơn.
 am an ,a 1 m n 
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn 
 an bn ,n 0 a b 
So sánh gián tiếp:
Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân 
A B, B C A C 
A.C B.C,C 0 A B Bài 3: So sánh các số sau:
a) 2225 và 3151 
b) 199020 và 200315
c) 291 và 536 
Lời giải
a) Ta có 2225 (23 )75 875 975 (32 )75 3150 3151 .
 Vậy 2225 3151
b) Ta có: 
19920 20020 (8.25)20 (23.52 )20 (23.52 )20 260.540
200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545
Vì 260.545 260.540 200315 19920
Vậy 200315 19920
c) Ta có: 291 290 (25 )18 3218 2518 536
Vậy 291 536
Bài 4: So sánh các số sau:
a) 9920 và 910.1130
b) 96142 và 100.2393
Lời giải:
a) Ta có 
9920 [(99)2 ]10 980110 (223 )10 2230 ;2230 (2.11)30 230.1130 810.1130 910.1130
Vậy 9920 910.1130
b) Ta có:
96142 100042 10126 100.10124
100.2393 100.(233 )31 100.(104 )31 100.10124
 96142 100.2393
Vậy 96142 100.2393
Bài 5: So sánh các số sau:
a) 10750 và 7375 Ta có: A 123456789 100050000 10150000 ; B 567891234 1000002000 1010000
Vì: 1010000 10150000 567891234 123456789 
Bài 9: So sánh các số sau: 
a) 1720 và 3115
b) 19920 và 10024
c) 3111 và 1714
 Lời giải:
a) Ta có: 1720 1620 280 275 (25 )15 3215 3115
b) 19920 20020 220.10020 (23 )7 .10020 107.10020 10024
c) 3111 3211 255;1714 164 256 3111 1714
Bài 10: So sánh các số sau:
a) 111979 và 371321
b) 10750 và 5175
c) 3201 và 6119
Lời giải:
a) Ta có: 
111979 111980 (113 )660 1331660 ;371321 371320 (372 )660 1369660 1331660 111979
b) Ta có: 10750 15050 (3.50)50 925.5050 5025.5050 5075 5175
c) Ta có: 3201 3200 (35 )40 24340 ;6119 6120 (63 )40 21640 3201 6119
Bài 11: So sánh các số sau:
a) 21995 5863
b) 21999 7714
 Lời giải: 
Ta có: 21995 21990.25;5863 5860.53
Nhận xét: 25 32 53 125 nên cần so sánh 21990 và 5860
Ta có: 210 1024;55 3025 210.3 55 21720.3172 5860 Vì 2150 3150 2100.3150
Do đó 3775 10750
c) Ta có:
 10
+) 339 340 34 8110
 10
+) 1121 1120 112 12110
Vì 12110 8110 1121 339
Bài 14: So sánh
a. 9920 và 999910
b. 85 và 3.47
c. 202303 và 303202
d. 1010 và 48.505
Lời giải:
 10
a. Ta thấy :992 99.101 9999 992 999910 hay 9920 999910
b. Ta có: 85 215 2.214 3.214 3.47 85 3.47
 101 101
c. Ta có: 202303 (2.101)3.101 23.1013 8.101.1012 (808.101)101
 101 101
303202 (3.101)2.101 32.1012 9.1012 
d. Ta có :1010 210 510 229 510
48.505 3.24  25 510 3.29 510 ** 
Từ * và ** 1010 48.505
Bài 15: Chứng tỏ rằng: 527 263 528
Lời giải
 9
Ta có : 263 27 1289
 9
527 53 1259 263 527
 7
Lại có : 263 29 5127 Vậy: m 10.98 .
Dạng 2: So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa.
I. Phương pháp giải
- Phương pháp so sánh phần bù:
Với a,n,m,k N *. Ta có:
 a a a a
+ Nếu m n thì k k và k k 
 m n m n
 a a a a
+ Nếu m n thì k k và k k 
 m n m n
 1 *
-Với biểu thức là tổng các số 2 a N ta có vận dụng so sánh sau:
 a
1 1 1 1 1
 .
a a 1 a2 a 1 a
- Sử dụng kết quả của bài toán:
 a
Cho phân số (a,b N,b 0)
 b
 a a a m
+ Nếu 1và m N,m 0 thì: 
 b b b m
 a a a m
+ Nếu 1và m N,m 0 thì: 
 b b b m
II. Bài toán
Bài 1: So sánh: 
 1015 1 1016 1
a) A và B 
 1016 1 1017 1
 22008 3 22007 3
b) C và D 
 22007 1 22006 1
Lời giải:
 1015 1 1015 1 1016 10 1016 1 9 9
a) Ta có A 16 10A 10. 16 16 16 1 16
 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
 1016 1 1016 1 1017 10 1017 1 9 9
B 17 10B 10. 17 17 17 1 17
 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 15
 1316 1 1316 1 12 1316 13 13 13 1 
a) B 1 B A
 1317 1 1317 1 12 1317 13 13 1316 1 
Vậy A B
 1999
 19992000 1 19992000 1 1998 19992000 1999 1999 1999 1 
b) B 1 B 
 19991999 1 19991999 1 1998 19991999 1999 1999 19991998 1 
=A 
Vậy A B
Bài 4: So sánh:
 100100 1 10098 1
a) A và B 
 10099 1 10097 1
 1011 1 1010 1
b) A và B 
 1012 1 1011 1
Lời giải:
 2 98
 100100 1 100100 1 9999 100100 102 100 100 1 
a) A 1 A B
 10099 1 10099 1 9999 10099 102 1002 10097 1 
Vậy A B 
 10
 1011 1 1011 1 11 1011 10 10 10 1 
b) A 1 A B
 1012 1 1012 1 11 1012 10 10 1011 1 
Vậy A B
Bài 5: So sánh:
 107 5 108 6
a) A và B 
 107 8 108 7
 108 2 108
b) A và B 
 108 1 108 3
Lời giải:
 107 5 107 8 13 13
a) A 1 
 107 8 107 8 107 8
 108 6 108 7 13 13
B 1 
 108 7 108 7 108 7 Lời giải:
 15
 1016 1 1016 1 9 10 10 1 
a) B 1 B A
 1017 1 1017 1 9 10 1016 1 
 Vậy: A B
 2004
 102005 1 102005 1 9 10 10 1 
b) B 1 B A
 102006 1 102006 1 9 10 102005 1 
 Vậy A B
Bài 8: So sánh:
 101992 1 101993 3
a) A và B 
 101991 1 101992 3
 1010 1 1010 1
b) A và B 
 1010 1 1010 3
Lời giải:
 1992
 101993 3 101993 3 7 10 10 1 
a) B 1 B A 
 101992 3 101992 3 7 10 101991 1 
Vậy B A
 1010 1 1010 1 2 2
b) A 1 
 1010 1 1010 1 1010 1
 1010 1 1010 3 2 2
B 1 , 
 1010 3 1010 3 1010 3
 2 2 2 2
Mà: 1 1 A B
 1010 1 1010 3 1010 1 1010 3
Vậy A B 
Bài 9: So sánh:
 1020 6 1021 6
a) A và B 
 1021 6 1022 6
 152016 5 152017 1
b) A và B 
 152017 5 152018 1
Lời giải: 100.10099 10099 100.10068 10068
A B 
 10099 1 10068 1 
 99 10099 10068 
A B 0
 10099 1 10068 1 
Vậy A B .
Bài 12: So sánh:
 218 3 220 3
a) A và B 
 220 3 222 3
 1523 3 1522 4
b) A và B 
 1522 138 1521 5
Lời giải:
a) Chú ý trong trường hợp ta trừ cả tử và mẫu với cùng 1 số thì ta đảo chiều của bất 
 2 18
 220 3 220 3 9 220 12 2 2 3 
đẳng thức B 1 B A 
 222 3 222 3 9 222 12 22 220 3 
Vậy B A 
 22
 1523 3 1523 3 63 1523 60 15 15 4 
b) A 1 A B
 1522 138 1522 138 63 1522 75 15 1521 5 
Vậy A B 
 1014 1 1014 1
Bài 13: So sánh: A và B 
 1015 11 1015 9
Lời giải:
Ta có
 15
 1015 10 10 11 1 1
+) 10A 1 
 1015 11 1015 11 1015 11
 15
 1015 10 10 9 1 1
+) 10B 1 
 1015 9 1015 9 1015 9
 1 1
Vì 10A 10B
 1015 11 1015 9
Vậy A B
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.