Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 2, Chủ đề 2: So sánh hai lũy thừa bằng phương pháp so sánh trực tiếp

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
 CHỦ ĐỀ 2-3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP VÀ 
 PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Quy tắc so sánh: 
+ Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành các lũy thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh
Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
 a m a n a 1 m n
 Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (nhỏ hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ nhỏ hơn.
 a m a n a 1 m n
Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.
 a n bn n 0 a b
Khi cơ số bằng 1, thì hai lũy thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên
+ Để so sánh 2 lũy thừa A và B, ta tìm một lũy thừa M sao cho A M B hoặc A M B
Trong đó A và M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được
+ Để so sánh hai lũy thừa A và B , ta tìm hai lũy thừa X và Y sao cho: A X Y B
Hoặc A X Y B
Trong đó các lũy thừa A và X ; X và Y ; Y và B có thể so sánh trực tiếp được.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Biến đổi về cùng cơ số hoặc số mũ
Bài 1: Hãy so sánh:
a. 1619 và 825 
b. 2711 và 818 .
Lời giải:
a) Phân tích: Ta nhận thấy, ở câu a) thì 16 và 8 là các cơ số liên quan tới lũy thừa cơ số 2, ở câu b) thì 27 
và 81 liên quan tới lũy thừa cơ số 3. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các các lũy thừa có cùng 
cơ số, rồi dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với nhau.
b) Lời giải:
a) Ta có 1619 (24 )19 276 ;825 (23 )25 275
Vì 276 275 1619 825
b) Ta có Bài 4: Hãy so sánh:
a) 3210 và 2350
b) 231 và 321
c) 430 và 3.2410.
Lời giải:
a) Ta có:
 3210 2770
 350 70
 2 32
 3210 2350
b) Ta có:
 231 2.230 2.810
 21 20 10
 3 3.3 3.9
 321 231
c) Ta có: 
430 230.230 (23 )10.(22 )15 810.415 810.315
3.2410 3.(3.8)10 810.311
Mà 810.315 810.311 nên 810.415 810.311 hay 430 3.2410
Bài 5: Chứng minh rằng 527 263 528 . 
Lời giải:
Ta có: 
 27 9 
5 125 27 63
  5 2 (1)
 63 7 9 9
2 (2 ) 128  
 63 9 7 7 
2 (2 ) 312 63 28
  2 5 (2)
 28 4 7 7
5 (5 ) 625  
Từ (1) và (2) 527 263 528
Bài 6: Hãy so sánh:
a) 32n và 23n n N * 
b) 5300 và 3500 .
Lời giải:
a) Phân tích: Ta nhận thấy, ở câu a) thì các lũy thừa có chung số mũa n, ở câu c) thì các lũy thừa có chung 
số mũ 100. Do đó để soa sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số hoặc số mũ, rồi dựa 
vào so sánh cơ số để so sánh chúng với nhau.
b) Lời giải: Bài 1: Hãy so sánh 202303 và 303202 .
Lời giải:
Ta có: 202303 (2.101)303 2303.101303 2303.1013.101 8101.1013.101 8101.101101.1012.101
303202 (3.101)2.101 32.101.101 2.101 9101.1012.101
 202303 303202
Bài 2: Hãy so sánh 2115 và 275.498 .
Lời giải:
Ta có: 
2115 315.715
275.498 315.716
Mà 715 716
Vậy 2115 275.498
Bài 3: Hãy so sánh 20152015 20152014 và 20152016 20152015 .
Lời giải:
Ta có: 
20152015 20152014 20152014 (2015 1) 2014.20152014
20152016 20152015 2014.20152015
Mà 20152015 20152014
 20152016 20152015 20152015 20152014
Bài 4: Hãy so sánh 201510 20159 và 201610 .
Lời giải:
Ta có:
 201510 20159 20159 (2015 1) 2016.20159
 201610 2016.20169
Mà 2015 2016
 201610 201510 20159
Bài 5: Hãy so sánh A 7245 7244 và B 7244 7243 .
Lời giải:
Ta có: A 7244 (72 1) 7244.71 
B 7243 (72 1) 7243.71 A B
Mà 44 43 10
9920 992 99.99 10
999910 99.101 10
Vì 99.99 10 99.101 10
Nên 992 999910
Bài 9: Hãy so sánh: 
a) 85 và 3.47 
b) 1010 và 48.505 . 
Lời giải:
a) Ta có: 85 215 2.214
 3.47 3.214
Vì 2 3
Nên 2.214 3.214
Vậy 85 3.47
b) Ta có: 1010 210.510 2.29.510
 48.505 3.24 . 25.510 3.29.510
Vì 2 3
Nên 2.29.510 3.29.510
 1010 48.505
Bài 10: Hãy so sánh 430 và 3.2410 . 
Lời giải:
 30 10 15
Ta có: 430 22 2.2 30 230.230 23 . 22 810.415
 2410.3 8.3 10 .3 810.310.3 810.311
Vì 311 415 810.311 810.415 430 3.2410
Bài 11: Hãy so sánh 199010 19909 và 199110 .
Lời giải:
Ta có: 199010 19909 19909 1990 1 1991.19909
199110 1991.19919
Vì 19909 19919 199010 19909 199110
Bài 12: Hãy so sánh 7812 7811 và 7811 7810 .
Lời giải: mà 810.1130 910.1130
Nên 9920 910.1130
b) Ta có:
96142 100042 10126 100.10124
100.10124 100.(104 )31 100.(233 )31 100.2393
 96142 100.2393
Bài 4: Hãy so sánh: 
a) 10750 và 7375
b) 3339 và 1121 .
Lời giải:
a) Ta có
 10750 10850 (4.27)50 2100.3150
 7375 7275 (8.9)75 2225.3150
 7375 10750
b) Ta có:
 339 340 (34 )10 8110
 1121 1120 (112 )10 12110
 1121 339
Bài 5: Chứng tỏ rằng: 527 263 528 .
Lời giải:
Gợi ý: Hãy chứng tỏ 527 263 và 263 528
 9
Ta có: 263 27 1289
 9
 527 53 1259
 263 527 1 
 9
Lại có: 263 27 1289
 7
528 54 6257
 263 528 2 
Từ (1)(2) 527 263 528
Bài 6: Hãy so sánh 3775 và 7150 .
Lời giải:
a) Phân tích: Biến đổi an về dạng cd k , biến đổi bm về dạng e.d k rồi so sánh hai số e và c . Từ đó so sánh 
được hai số an và bm Lời giải:
 1720 1620 280 275 (25 )15 3215 3115
a) Ta có:   
 A B
 X Y
b) Ta có:
1995 2005 25.1005 32.1005 (1)
100 6 100.1005 (2)
 1995 1006
 (1995 )4 (1006 )4
Từ (1) và (2) 19920 10024
c) Ta có:
3111 3211 255
1714 164 (24 )14 256
 3111 1714
Bài 2: Hãy so sánh
a) 111979 và 371321 b) 10750 và 5175 c) 3201 và 6119 .
Lời giải:
a) Ta có: 
111979 111980 (113 )660 1331660
371321 371320 (372 )660 1369660
 1331660 1369660
 111979 371321
b) Ta có: 10750 15050 (3.50)50 925.5050 5025.5050 5075 5175
c) Ta có: 3201 3200 (35 )40 24340 ;6119 6120 (63 )40 21640 3201 6119
Bài 3: Chứng minh rằng 21995 5863 .
Lời giải:
a) Phân tích: Xét an biến đổi được về dạng cq.d k và bm biến đổi được về dạng e p .g h
Nếu cq ep và d k g h thì cq .d k e p .g h
b)Lời giải:
Ta có: 21995 21990.25;5863 5860.53
Nhận xét: 25 32 53 125 nên cần so sánh 21990 và 5860
Ta có: 210 1024;55 3025 210.3 55 21720.3172 5860
Lại có 21990 21720.2270 , cần so sánh 21720.2270 với số 21720.3172 như sau: 1 2 3 4 2021 2022 3
Bài 2: Chứng minh rằng B ... (Trích đề thi HSG thị xã 
 3 32 33 34 32021 32022 16
Hoài Nhơn).
Lời giải:
 1 2 3 4 2021 2022
B ... 
 3 32 33 34 32021 32022
 2 3 4 2021 2022
 3B 1 ... 
 3 32 33 32020 32021
 1 1 1 1 2022
 4B B 3B 1 ... 
 3 32 33 32020 32021
 1 1 1 1 1
Đặt A 1 ... 
 3 32 33 32020 32021
 1 1 1 1 1 1
=> 3A 2 ... 
 3 32 33 34 32019 32020
 1
4A A 3A 3 3
 32021
 3
 A (2)
 4
 3
Từ (1) và (2) 4B A 
 4
 3
 B 
 16
 1 1 1 1
Bài 3: Cho M ... . Chứng tỏ M < 1 
 2 22 23 2101
Lời giải:
 1 1 1 1
Ta có M 1 ... 
 2 22 23 2100
 1
M 2M M 1 
 2101
 1
Mà M 1 <1 M 1
 2101
 2930 1 2931 1
Bài 4: So sánh : A = với B = 
 2931 1 2932 1
Lời giải: A 1 1 1 1 .... 1 100
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 ... ... 99 100 ... 100 100 100 
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 2 1 2 2 2 1 2 2
Có 99 nhóm trong tổng của A
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 ... ... 100 100 ... 100 100 100
 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 2 2 2 2 2
 1 1 1 1 1 1 1
A 1 ... 100 1 50 100 50
 2 222 2 2 2
 100 so hang
 1 1 1 1 1 1 1
Bài 7: Chứng minh rằng: .
 2 4 8 16 32 64 3
Lời giải:
Hướng dẫn : Đưa về dạng tổng S 1 a a2 a3 ... an để tính tổng rồi so sánh.
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Đặt A 
 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26
 1 1 1 1 1
 2A 1 
 2 22 23 24 25
 1 26 1
 2A A 3A 1 1 
 26 26
 1
 3A 1 A 
 3
 4 10 28 398 1
Bài 8: Cho B = ... . Chứng minh B < 100.
 3 9 27 398
Lời giải:
 4 10 28 398 1 4 10 28 398 1
B ... ... 
 3 9 27 398 3 32 33 398
 4 10 28 398 1 4 10 28 398 1
 B 98 1 1 1 ... 1 ... 
 3 32 33 398 3 9 27 398
 1 1 1 1
B 98 ... 
 3 32 33 398