Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 2, Chủ đề 1: Các tính chất của lũy thừa

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
 CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a :
 an a.a.....a ( n thừa số a ) ( n ¥ * )
a được gọi là cơ số.
n được gọi là số mũ.
2. MỘT VÀI QUY ƯỚC 
1n 1 ví dụ : 12021 1
a0 1 ví dụ : 20210 1 
3. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ
 am.an am n
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.
4. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ 
 am : an am n a 0;m 0 
Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.
5. LŨY THỪA CỦA LŨY THỪA
 n
 am am.n 
 4
Ví dụ : 22 22.4 28
6. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ, KHÁC SỐ MŨ
am.bm a.b m
ví dụ : 23.43 2.4 3 83
7. LŨY THỪA TẦNG 
 n n
am a(m )
 2
 32 3 9
Ví dụ: 3 3 3 
8. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ KHÁC SỐ MŨ
am :bm a :b m
ví dụ : 84 : 44 8: 4 4 24
9.LŨY THỪA CỦA MỘT THƯƠNG
 a :b n an :bn b 0 8 4 2 3 10
 g) 4x2 : 4x2 : 4x2 x 0 h) a100 : a15 : a62 a 0 i) y50 : y5 : y2 
Lời giải
 a) Ta có: 108 :103 :104 10
 b) Ta có: 625:53 54 :53 5
 c) Ta có: 75 :343 75 : 73 72
 d) Ta có: 1000000 :103 106 :103 103
 e) Ta có: 243:33 :3 35 :33 :3 3
 f) Ta có: 265: 25 : 4 28 : 25 : 22 2
 8 4 2 2 2
 g) Ta có: 4x2 : 4x2 : 4x2 4x2 2x 2 2x 2 x 0
 3 10
 i) Ta có: y50 : y5 : y2 y50 : y15 : y20 y15
Bài 3: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng lũy thừa.
 3 2 1
 1 1 c) 25.53. .53
 a) . ;
 4 8 625
 2 3 1
 b) 4 .32 : 2 ; d) 56. .22.33 :125 .
 20
Lời giải
 3 2 2 3 3 2 6 6 12
 1 1 1 1 1 1 1 
 a) . . . 
 4 8 2 2 2 2 2 
 2
 b) 42.32: 23 22 .25 : 23 24.25 : 23 29 : 23 26
 1 1 510
 c) 25.53. .55 52.53. .55 56
 625 54 54
 1 1 1 56.22.33 22.33.56
 d) 56. .22.33 :125 56. .22.33. 33.52 675
 20 20 125 22.5.53 22.54
Bài 4: Cho A 1 21 22 ... 22015.viết A 1 dưới dạng lũy thừa của 8.
Lời giải
 672
 Ta có: A 1 21 22 ... 22015 22016 1 A 1 22006 23 8672
DẠNG 2: Tính giá trị của một biểu thức lũy thừa.
I. Phương pháp giải:
Áp dụng công thức:
an a.a.....a ( n thừa số a ) n ¥ * 
am.an am n
am :bm a :b m a 0;m 0 28 29 : 28
 28 : 28 29 : 28 
 1 2
 3
Bài 2. Thực hiện phép tính:
 3 2 3 0 3
 1 1 9 12 9 
 a) . ; c) . : ;
 2 4 4 9 8 
 2 2 2
 1 7 3 8 5
 b) . ; d) 3 . .2 .
 7 3 9 
Lời giải
 3 2
 1 1 13 13 1 1 1
 a) . 3 . 2 . 
 2 4 2 4 8 16 128
 2 2
 1 7 1 72 1
 b) . 2 . 2 
 7 3 7 3 9
 3 2
 3 0 2 2 2 6 2 6 23 6 6
 9 12 9 3 9 3 8 3 3 .2 2
 c) . : .1: . 6 . 2 6 4 3 9
 4 9 8 2 8 2 9 2 32 2 .3
 2
 2 3 3 6
 3 8 2 1 3 .2 2
 5 3 
 d) 3 . .2 3 . 2 . 5 4 5
 9 32 2 3 .2 3
Bài 3: Thực hiện phép tính
 a. 1024 : (17.25 15.25 ) b. 53.2 23 40 : 23 c. 5.35 17.34 : 62 
Lời giải
 5 5 10 5 10 5 5
 a. Ta có: 1024 : (17.2 15.2 ) 2 : 2 (17 15) 2 : 2 .2 1
 b. Ta có: 53.2 23 40 : 23 53.2 24 : 23 250 3 253 
 4 5
 2 3 .2
 5 4 2 4 4 2 2
 c. Ta có: 5.3 17.3 : 6 3 5.3 17 : 3.2 3 .32 :3 .2 2 2 9.8 72 
 3 .2
Bài 4: Thực hiện phép tính
 a) 102 112 122 : 132 142 b) 23.94 93.45 : 92.10 92.3 
Lời giải
 a) Ta có: 102 112 122 : 132 142 100 121 144 : 169 196 365:365 1
 b) Ta có: 
 8 4
 3 4 3 2 2 3 8 8 4 4 3 8 5 3 .13 4
 2 .9 9 .45 : 9 .10 9 .3 2 .3 3 .5 : 3 .10 3 .3 4 3 81
 3 .13 13
Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau: 2B 32017 1
 32017 1
 B 
 2
 c) Ta có: C 1 32 34 36 ... 32020
 32 C 32 1 32 34 36 ... 32020 
 9C 32 34 36 ... 32022
 9C C 32 34 36 ... 32022 1 32 34 36 ... 32020 
 8C 32022 1
 32022 1
 C 
 8
 d) D 31 32 33 ... 32021
 3A 32 33 ... 32021
 2A 3A A 32021 3
 32021 3
 A 
 2
Bài 8: Tính S 1 2 4 8 ... 8192
Lời giải
 Ta có: S 20 21 ... 213 2S 2 22 ... 214 S 214 1 16383 
Bài 9: Cho biết: 12 22 32 ... 102 385 .
 a) Tính A 22 42 62 ... 202 ;
 b)Tính B 122 142 162 182 202 12 32 52 72 92 .
Lời giải
 a) Ta có A 22 42 62 ... 202 
 2 2 2 2
 1.2 2.2 2.3 ... 2.10 
 4 12 22 32 ... 102 
 4.385 1540
 b) B 122 142 162 182 202 12 32 52 72 92 
 2
 122 1 142 32 162 52 182 72 202 92 
 12 1 12 1 14 3 14 3 16 5 16 5 18 7 18 7 20 9 20 9 
 11.13 11.17 11.21 11.25 11.25 11.29
 11 13 17 21 25 29 
 11.125 1375 II. Bài toán:
Bài 1: Cho S 1 2 22 23 24 25 26 27 . Chứng tỏ rằng S chia hết cho 3.
Lời giải
 S 1 2 22 23 24 25 26 27 
 1 2 22 23 24 25 26 27 
 3 2 2 1 2 2 4 1 2 26 1 2 3 2.3 2 4.3 26.3
 3 1 2 24 26 
Bài 2: Cho A 2 22 23 ... 260 . Chứng minh rằng A chia hết cho 6.
Lời giải
 A 2 22 23 24 ... 259 260 
 2 22 22 2 22 ... 258 2 22 
 6 22.6 ... 258.6
 A6
Bài 3:
 Cho biểu thức A 2 22 23 24 25 26 ... 22014 22015 22016 . 
 Chứng minh rằng A chia hết cho 7.
Lời giải
 A 2 22 23 24 25 26 ... 22014 22015 22016
 (Tổng A có 2016 số hạng, chia A thành 672 nhóm, mỗi nhóm có 3 số hạng)
 A 2 22 23 24 25 26 ... 22014 22015 22016 
 12.2 2.2 22.2 124 224 22.24 ... 1.22014 2.22014 22.22014 
 2 1 2 22 24 1 2 22 ... 220142 1 2 22 
 2.7 24.7 ... 22014.7 7. 2 24 ... 22014 7
Bài 4: Cho A 2 22 23 ... 260 . Chứng minh rằng A3; A5; A7
Lời giải
 Ta có: 
 • A 2 22 23 24 ... 257 259 259 260 
 2. 1 2 23 1 2 ... 259 1 2 
 1 2 . 2 23 ... 259 3. 2 23 ... 259 3
 • A 2 22 23 24 25 26 ... 258 259 260 
 2. 1 2 22 24 1 2 22 ... 258 1 2 22 Đặt tích của các thừa số chẵn trong B là: C (có 504 thừa số chẵn).
 504
 C 1008.1010.1012.....2014 2 .504.505.506.....1007
 504 thõa sè ch½ n
 Đặt tích của các thừa số chẵn trong C là: D (có 252 thừa số chẵn).
 252
 D 504.506.508.....1006 2 .252.253.254.....503
 252 thõa sè ch½ n
 Đặt tích của các thừa số chẵn trong D là: E (có 126 thừa số chẵn).
 126
 E 252.254.256.....502 2 .126.127.128.....251
 126 thõa sè ch½ n
 Đặt tích của các thừa số chẵn trong E là: F (có 63 thừa số chẵn).
 63
 F 126.128.130.....250 2 .63.64.65.....125
 63 thõa sè ch½ n
 Đặt tích của các thừa số chẵn trong F là: G (có 31 thừa số chẵn).
 31
 G 64.66.68.....124 2 .32.33.....62
 31 thõa sè ch½ n
 Đặt tích của các thừa số chẵn trong G là: H (có 16 thừa số chẵn).
 16
 H 32.34.36.....62 2 .16.17.18.....31
 16 thõa sè ch½ n
 216.24.17.2.9.19.22.5.21.2.11.23.23.3.25.2.13.27.2.19.29.2.15.31
 230.3.5.9.11.13.15.17.192.21.23.25.27.29.31
 Như vậy trong A có tích các thừa số: 21007.2504.2252.2126.263.231.230 22013
 Vậy A chia hết cho 22013 .
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. 
 212.35 46.92 510.73 252.492
Bài 1: Thực hiện phép tính: 6 3 
 22.3 125.7 59143
Lời giải
 6 2 5 2
 12 5 2 2 10 3 2 2
 212.35 46.92 510.73 252.492 2 .3 2 . 3 5 .7 5 . 7 
 6 3 12 6 3
 22.3 125.7 59143 2 .3 53 .73 59.23.73
 212.35 212.34 510.73 510.74 212.34 3 1 510.73 1 7 2 5.6 32
 212.36 59.73 59.23.73 212.36 59.73 8 1 32 9 9
 46.95 69.120
Bài 2: Thực hiện phép tính: 
 84.312 611
Lời giải
 6 5
 2 2 9 9 3
 46.95 69.120 2 . 3 2 .3 .2 .3.5 212.310 212.310.5 212.310 1 5 2.6 4
 4 12 11 4 12 12 11 11 11 11 
 8 .3 6 23 .1312 211.311 2 .3 2 .3 2 .3 2.3 1 3.5 5
Bài 3. Thực hiện phép tính: