Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 10, Chủ đề 1: Số thập phân hữu hạn

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ THẬP PHÂN
 CHỦ ĐỀ 1: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. KHÁI NIỆM:
 a
Khi viết phân số dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b và gặp một trong hai trường 
 b
hợp sau:
- Phép chia a cho b kết thúc sau hữu hạn bước.
 3 37
 Ví dụ: 0,75 ; 1,48 ; 
 4 25
Khi đó số thập phân thu được gọi là số thập phân hữu hạn. 
- Phép chia a cho b không bao giờ chấm dứt.
 2 17
 Ví dụ: 0,6666... ; 1,5454...; 
 3 11
 Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số 
lặp đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số 
lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó.
2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ LÀ SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN:
 Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó 
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân. 
I.Phương pháp giải:
 a
Để viết một tỉ số hoặc một phân số dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a:b
 b
II.Bài toán:
 97 124 63 139
Bài 1: Viết phân số sau dưới dạng số thập phân ; ; ; .
 200 25 20 50
Lời giải:
Cách 1: Thực hiện phép tính chia tử cho mẫu ta được: 
 97
 0,485
 200
124
 4,96
 25
 63
 3,15
 20 33 33 33 33
b) B ... 
 11.16 16.21 21.26 61.66
Lời giải:
 1 1 1 1
a) A ... 
 5.10 10.15 15.20 395.400
 5 5 5 5
5A ... 
 5.10 10.15 15.20 395.400
 1 1 1 1 1 1 1 1
5A ... 
 5 10 10 15 15 20 395 400
 1 1
5A 
 5 400
 79
 A 0,0395
 2000
 33 33 33 33
 b) B ... 
 11.16 16.21 21.26 61.66
 5 5 5 5 
5B 33. ... 
 11.16 16.21 21.26 61.66 
 1 1 1 1 1 1 
5B 33. ... 
 11 16 16 21 61 66 
 1 1 
5B 33 
 11 66 
 5
5B 33.
 66
 1
B 0,5
 2
Vậy B 0,5 .
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng số thập phân:
 3 3 3 3 25 25 25 48
 A ... ... 
 1.8 8.15 15.22 106.113 50.55 55.60 95.100 113
Lời giải:
 3 3 3 3
Ta có : B ... 
 1.8 8.15 15.22 106.113
 7 7 7 7 
7B 3 ... 
 1.8 8.15 15.22 106.113 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
7B 3 ... 
 1 8 8 15 15 22 106 113 Bài 6: Chứng tỏ kết quả phép tính sau là một số nguyên :
 1999 1999 1999 
 1 1 ... 1 
 1 2 1000
a) A 
 1000 1000 1000 
 1 1 ... 1 
 1 2 1999 
 1 1 1 1 
b) B 1 1 1 ... 1 
 2 3 4 999 
Lời giải:
 2000 2001 2002 2999 1001 1002 1003 2999 
A . . ... : . . .... 
 1 2 3 1000 1 2 3 1999 
 2000.2001.2002...2999 1.2.3...1999 
A . 
 1.2.3.4...1000 1001.1002....2999 
 1001.1002....1999
A 1
 1001.1002...1999
Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên.
 1 1 1 1 
b) B 1 1 1 ... 1 
 2 3 4 999 
 3 4 5 1000 1000
B . . .... 500
 2 3 4 999 2
Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên.
Bài 7: Kết quả phép tính sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không?
 1 1 1 1 
A 1 1 1 ... 1 
 4 9 16 400 
Lời giải:
 1 1 1 1 
A 1 1 1 ... 1 
 4 9 16 400 
 3 8 15 399
A . . ....
 4 9 16 400
 1.3 2.4 3.5 19.21
A . . ...
 2.2 3.3 4.4 20.20
 1.2.3...19 3.4.5...21 
A 
 2.3.4...20 2.3.4.5...20 
 21 21
A 0,525
 20.2 40
Vậy kết quả phép tính viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. 
 Bài 8: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân : - Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.
- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
II.Bài toán:
Bài 10: Giải thích tại sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết chúng dưới 
 6 9 39 121 204 378
dạng đó: 1 ; ; ; ; ;
 8 25 60 220 160 375
Lời giải:
 6 9 39 121 204 378
Các phân số 1 ; ; ; ; ; viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn vì các mẫu không 
 8 25 60 220 160 375
có ước nguyên tố khác 2 và 5.
 6 14 7
 1 1,75 (mẫu 4 22 )
 8 8 4
 9
 0,36 ( mẫu 25 52 )
 25
39 13
 0,65 (mẫu 20 22.5 )
60 20
121 11
 0,55 (mẫu 20 22.5 )
220 20
 204 51
 1,275 (mẫu 40 23.5 )
 160 40
378 126
 1,008 (mẫu 125 53 )
375 125
Bài 13: Chứng tỏ rằng các số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn với n ¥ .
 36n 9
a) 
 6
 28n 14
b) 
 35
 8n 24
c) 
 100
 6n2 12n 18
d) 
 120
Lời giải:
 36n 9 3.12n 3.3 3. 12n 3 12n 3
a) . 
 6 2.3 2.3 2
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 2 nên số đó là số thập phân hữu hạn.
 28n 14 7.4n 7.2 7. 4n 2 4n 2
b) . 
 35 7.5 7.5 5
Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 5 nên số đó là số thập phân hữu hạn. 3n 1 3n 1 1
a) 1 
 3n 3n 3n 3n
 1
Vì có mẫu là 3n có ước nguyên tố là 3
 3n
 1
Nên không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn
 3n
 3n 1
 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
 3n
 14n 6 14n 6 6
b) 2 
 7n 7n 7n 7n
 6
Vì có mẫu là 7n có ước nguyên tố là 7
 7n
 6
Nên không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn
 7n
 14n 6
 không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
 7n
Bài 13: Các phân số sau không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:
 48n 5
a) n ¥ 
 42n
 6n 5
b) n ¥ 
 18n
Lời giải:
 48n 5
a) n ¥ 
 42n
ta có: 48n3; 5 ! 3 48n 5!3
 và: 42n3
 48n 5
Do đó khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3.
 42n
 48n 5
Vậy không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
 42n
 6n 5
b) n ¥ 
 18n
ta có: 6n  6 ; 5 ! 6 6n 5 ! 6
 và: 18n6
 6n 5
Do đó khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3.
 18n x 3 14 x 11 (thoả mãn); 
x 3 21 x 18(thoả mãn); 
x 3 28 x 25 (loại).
Các trường hợp còn lại không thoả mãn.
Vậy x 4; 11; 18. 
Bài 16: Cho x và y là các số nguyên tố có một chữ số. Tìm x và y để các phân số sau viết được dưới 
dạng số thập phân hữu hạn.
 x
a) M 
 5.7.y
 7x
b) N 
 48y
Lời giải:
 x
a) M 
 5.7.y
Để M viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5
Nên số nguyên tố x 7 và số nguyên tố y 2;5
Vậy x 7 ; y 2;5.
 7x 7.x
b) N 
 48y 24.3.y
Để N viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5
Nên số nguyên tố x 3 và số nguyên tố y 2;5;7
Vậy x 3; y 2;5;7 .
Bài 17: Thay các chữ cái bởi các chữ số khác 0 thích hợp, biết 1: 0,ab a b c .
Lời giải:
1: 0,ab a b c
 ab
 1: a b c
 100
 100
 a b c
 ab
 100 chia hết cho ab
 ab ¦ 100 
Mà a,b là các chữ số khác 0 nên:
 ab 25 a b c
Bài 19: Có bao nhiêu số thập phân a,bc thoả mãn phân số viết được dưới dạng số thập phân 
 4
hữu hạn là a,bc với c 0.
Lời giải:
Vì a; b; c là các chữ số và c 0 
 0 a 9
 0 b 9
 0 c 9
 a,b,c N
 1 a b c 27
 a b c
Phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là a,bc
 4
 a b c
 a,bc
 4
Vì a,bc là số thập phân nên a b c chia cho 4 dư 1 hoặc chia 4 dư 3
Ta có bảng sau: 
 a b c 1 3 5 7 9 11 13
 a,bc 0, 25 0,75 1,25 1,75 2, 25 2,75 3,25
 a b c 15 17 19 21 23 25 27
 a,bc 3,75 4, 25 4,75 5,25 5,75 6, 25 6,75
Vậy ta được 14 số cần tìm.
Bài 20: Tìm các phân số tối giản có có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết rằng tích của 
tử và mẫu bằng 1260 và phân số này có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Lời giải:
 a
Gọi phân số tối giản phải tìm là với a,b ¢ ,ƯCLN(a,b)= 1 
 b
Ta có: ab 1260 22.32.5.7 
 a
Để phân số có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố là 2 và 
 b
5
 a
Mà là phân số tối giản và ƯCLN(a,b)= 1
 b
 b không chứa thừa số 32 ; 7và b 1 nên b 4;5;20 
Ta có bảng sau: