Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 1, Chủ đề 4: Dãy số viết theo quy luật Dãy cộng và các dãy khác

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN
 CHỦ ĐỀ 4. DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT: DÃY CỘNG VÀ CÁC DÃY KHÁC
PHẦN I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
- Dãy cộng là dãy số cĩ mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng liền trước nĩ cùng một số 
đơn vị.
- Dãy cộng là dãy số cách đều
- Một số phương pháp giải:
Phương pháp 1: 
+ Tính số các số hạng trong tổng theo cơng thức :
 Số số hạng Số hạngcuối Số hạng đầu :Khoảngcách 1 
+ Nhĩm hai số hạng thành một cặp sao cho giá trị trong mỗi cặp bằng nhau. (Lưu ý cĩ thể nhĩm vừa hết 
các số hạng thành các cặp nếu số số hạng là số chẵn hoặc cịn thừa một số hạng nếu số số hạng là số lẻ). 
Cách tính số hạng thứ n trong dãy là: 
 Sốá hạngthứ n Số số hạng 1 .Khoảngcách Số hạng đầu
+ Tính tổng dựa vào giá trị của một cặp và số cặp vừa nhĩm. Lưu ý khi tìm số cặp mà cịn dư một số hạng 
thì khi tìm tổng ta phải cộng số hạng dư đĩ vào. 
Phương pháp 2: 
+ Dựa vào cơng thức: 
 Số số hạng Số hạngcuối Số hạng đầu :Khoảngcách 1 
 Tổng Số hạng đầu Số hạngcuối .Số số hạng:2 
Phương pháp 3: 
+ Dựa vào bài tốn Gau-xơ :
 Viết tổng A theo thứ tự ngược lại và tính A + A . Từ đĩ tính được tổng A .
Phương pháp 4: 
+ Phương pháp khử liên tiếp: Tách một số hạng thành một hiệu trong đĩ số trừ của hiệu trước bằng số bị 
 .
trừ của hiệu sau: a1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , ..., an = bn – bn+ 1 
 Khi đĩ ta cĩ ngay An = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 
Phương pháp 5: Phương pháp dự đốn và quy nạp.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1:Tính tổng các số hạng cách đều
I.Phương pháp giải
Muốn tính tổng của một dãy số cĩ quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước 
như sau: Đáp số: 2029105
Bài 3: Cho dãy số: 2,4,6,8,10,12,.............. Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?
 Số hạngcuối Số hạng đầu
*) Phân tích: Từ cơng thức Số số hạng 1
 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp
Ta cĩ: Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Số hạngcuối Số hạng đầu
 Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Số hạng đầu Số hạngcuối
Số hạng đầu Số hạngcuối Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp 
Lời giải: 
Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là 2014 –1 . 2 2 4028
Đáp số: 4028
Bài 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đĩ là 2019 ?
*) Phân tích: Với dãy số tăng dần ta cĩ: 
Số hạngcuối Số hạnglớn nhất
Số hạng đầu Số hạng nhỏnhất
Số hạng đầu Số hạngcuối Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp 
Lời giải: 
Số hạng bé nhất trong dãy số đĩ là: 2019 50 – 1 .2 1921
Tổng của 50 số lẻ cần tìm là 2019 1921 . 50: 2 98500
Đáp số: 98500
Bài 5: Một dãy phố cĩ 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đĩ được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số 
nhà của dãy phố đĩ bằng 915 . Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đĩ là số nào?
*) Phân tích: Dựa vào cơng thức với dãy số cĩ quy luật tăng dần:
 Số hạngcuối Số hạng đầu
Bước 1: Số số hạng 1
 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp
Suy ra: Số số hạng 1 Khoảngcách2 sốhạngliêntiếp Số hạngcuối Số hạng đầu
 Số hạngcuối Số hạng đầu 
Bước 2: Tổngcủa dãy .Sốsố hạng
 2 
Suy ra: 2.Tổngcủa dãy : Sốsố hạng Số hạngcuối Số hạng đầu A 1 2020 2 2019 .... 1010 1011 2021 A 2021 .1010 2021
 A 2021. 1011 
A 2043231
Cách 2: 
Tổng A cĩ số số hạng là: 2021–1 :1 1 2021 
Tính tổng: A (2021 1).2021: 2 2043231 
Cách 3: Tính A A 
 A 1 2 3 4  2020 2021 (cĩ 2021 số hạng)
 + 
 A 2021 2020 2019 2018 2 1
 Do đĩ: 2A 2022 2022 2022 ... 2022 2022 (cĩ 2021 số hạng)
 2A 2022.2021 
 A 2022. 2021: 2 2043231
Cách 4: Trước hết ta tách số hạng đầu tiên của A (là số 1) thành một hiệu trong đĩ cĩ một số hạng là tích 
của hai số hạng liên tiếp trong tổng A (một thừa số là số hạng đầu tiên 1):
 1
1 (1.2 – 0.1)
 2
Từ đĩ ta cĩ thể tách các số hạng cịn lại của tổng A thành các hạng tử mà khi tính tổng A các hạng tử cĩ thể 
triệt tiêu hàng loạt:
 1 1 1
2 (2.3 –1.2); 3 (3.4 – 2.3);...;2021 (2021.2022 2020.2021)
 2 2 2
Do đĩ:
 1
 A (1.2 – 0.1 2.3 –1.2 3.4 – 2.3 ... – 2019.2020 2021. 2022 – 2020.2021)
 2
 1
A .2021.2022 2043231
 2
Cách 5: Từ cách phân tích để cĩ lời giải cách 4 trên chúng ta cũng cĩ thể nghĩ đến trình bày bài tốn theo 
cách sau gọn hơn:
A 1 2 3 4  2020 2021
2A 2 1 2 3 4  2021 
2A 1.2 2.2 2.3 2.4 ... 2. 2021
2A 1. 2 – 0 2. 3 –1 3. 4 – 2 ... 2021. 2022 – 2020 
 2A 1.2 2.3 –1.2 3.4 – 2.3 ... 2022. 2021– 2020. 2021 
2A 2022. 2021
A 2022. 2021: 2 2043231 *) Phân tích: 
Đây là ví dụ mà các số hạng trong tổng vừa là số nguyên, vừa là phân số. Để tìm ra quy luật của các số hạng 
trong tổng ta cần viết các số nguyên trong tổng dưới dạng phân số cĩ mẫu số là 2. Khi đĩ ta cĩ tổng các 
phân số cĩ cùng mẫu số, và tổng các tử số chính là tổng các số tự nhiên liên tiếp
Lời giải: 
 1 3 5 19 1 2 3 19 1 2 .... 19
Ta cĩ: S 1 2 .... 9 .... 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Xét tổng 1 2 ... 18 19 là tổng của 19 số tự nhiên liên tiếp
 19 1 .19
1 2 ... 18 19 190
 2
 190
Ta cĩ tổng S 95.
 2
Bài 12: Tính tổng S 2 5 8 11 ... 47 50 .
Lời giải: 
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d 3
Tổng này cĩ 50 2 : 3 1 17 số hạng S 17. 50 2 : 2 442
Bài 13: Tính tổng S 5 10 15 ... 100 .
Lời giải: 
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d 5
Tổng này cĩ 100 5 : 5 1 20 số hạng
 S 20. 100 5 : 2 1050
Bài 14: Tính tổng A 98 93 88 ... 13 8 3.
Lời giải: 
 98 3 .20
Tổng A cĩ 98 3 : 5 1 20 (số hạng) A 1010
 2
Bài 15: Cho S 7 9 11 ... 97 99 .
a) Tính tổng S trên.
b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên.
Lời giải: 
+ Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99. 
+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2 
+ S cĩ số số hạng được tính bằng cách 99 – 7 : 2 1 47
Tổng của dãy: S 99 7 .47 : 2 2491 105 1 .53
1 3 5 .... 101 103 105 2809
 2
 2809
Ta cĩ tổng S 
 3
Bài 19: Tính tổng B =1 4 7 10  70 73.
Lời giải: 
B 1 4 7 10  70 73
 6B 1.6 4.6 7.6 10.6 ... 70.6 73.6
 6B 1. 4 2 4. 7 –1 7 10 – 4 ... 73 76 – 70 
 6B 1.4 1.2 4.7 –1.4 7.10 – 7.4 ... 73.76 – 73.70
 6B 2 73.76 
 6B 5550
 B 925
*) Nhận xét: Như vậy tùy từng dạng bài và mức độ tiếp thu kiến thức của mỗi học sinh, thầy cơ cĩ thể vận 
dụng linh hoạt các phương pháp giải sao cho học trị dễ nhớ, phù hợp. 
*) Mở rộng: Viết cơng thức tổng quát tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều sau: 
An 1 2 3  n –1 n
Lời giải: 
Bằng các cách tính tổng tương tự như bài tốn 1 ta cĩ: 
An n n 1 : 2 (n N*) 1 
Tuy nhiên cĩ thể hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp qui nạp:
- Khi n 1 ta cĩ: A1 1 1 1 : 2 1 đúng.
- Giả sử bài tốn đúng với n k 1 (k N) , nghĩa là: Ak 1 2 3  k –1 k k k 1 : 2 
- Ta xét: 
Ak 1 1 2 3  k –1 k k 1 
 Ak k 1 
 k k 1 : 2 k 1 
 k 1 (k 2)
 2
Tức là bài tốn đúng với n k 1.
Vậy với mọi số tự nhiên n khác 0 , ta cĩ: An 1 2 3  n –1 n n n 1 : 2 
Nhận xét: Ta cĩ thể chứng minh 1 bằng phương pháp qui nạp sau đĩ áp dụng để tính các tổng cĩ dạng 
đĩ.
Dạng 2: Tổng cĩ dạng S 1 a a2 a3 ... an 1 5 5 5 5
Bài 2: Tính tổng S 1 ... .
 7 72 73 755
 5 5 5
*) Phân tích: Nhận thấy các số hạng từ đến đều cĩ cùng tử số là 5, và kể từ số hạng thì các số 
 7 755 7
 1
hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nĩ nhân với . Nếu nhân 7 vào tổng S thì ta được tổng 7S 
 7
 5 5
cĩ các số hạng từ đến giống như trong tổng S . Do đĩ nếu lấy tổng 7S trừ đi tổng S thì các số hạng 
 7 754
 5 5
từ đến bị triệt tiêu, từ đĩ tính được tổng S .
 7 754
Lời giải: 
 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Ta cĩ S 1 2 3 ... 55 7S 7 7. 2 3 ... 55 7 5 2 3 ... 54
 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
 5 11 5
 7S S 6S 11 S 
 755 6 6.755
 1 1 1 1
Bài 3: Tính tổng S .
 18 18.9 162.9 1458.9
*) Phân tích: Nếu quy đồng phân số bài tốn thì khá phức tạp. Nhận thấy các số 18, 162, 1458, đều chia 
hết cho 9, do đĩ ta sẽ phân tích các số này thành tích của 9 với một thừa số nào đĩ để xem cĩ xuất hiện tổng 
 1 1 1
theo quy luật ... hay khơng, từ đĩ cĩ hướng tính S .
 a a2 a3
Lời giải: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Ta cĩ S 2 3 4 2 3 4 
 18 18.9 162.9 1458.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2 9 9 9 9 
 1 1 1 1
Nhân 2 vào tổng S ta được: 2S 
 9 92 93 94
 1 1 1
Nhân 18 vào tổng S ta được: 18S 1 
 9 92 93
 1 94 1 94 1 410
Trừ tổng 18S cho tổng 2S ta được: 18S 2S 16S 1 16S S 
 94 94 16.94 6561
Bài 4: Tính tổng S 6 62 63 64 ... 699 . 
Ta cĩ S 6 62 63 64 ... 699 6S 62 63 64 ... 699 6100
6S S 5S 6100 6 S 6100 6 :5
Bài 5: Tính tổng S 1 4 42 43 ... 41000 .
Lời giải: 
Ta cĩ S 1 4 42 43 ... 41000 4S 4 42 43 ... 41000 41001