Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 1, Chủ đề 3: Phương pháp tính tổng của dãy số tự nhiên

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN
 CHỦ ĐỀ3: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ TỰ NHIÊN
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. DÃY SỐ TỰ NHIÊN
+ Cho dãy số tự nhiên : S a1 a2 a3  an
- a1 : số hạng thứ 1 .
- a2 : số hạng thứ 2 .
- a3 : số hạng thứ 3 .
- an : số hạng thứ n .
- S tổng dãy số tự nhiên có n số hạng.
2. DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÁCH ĐỀU
+ Dãy số tự nhiên cách đều: Hiệu hai số hạng liên tiếp luôn luôn không đổi.
- an an 1 d (hằng số).
S a1 a2 a3 ... an
S n a1 an : 2
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều S a1 a2 a3 ... an
I. Phương pháp giải
Cần tính tổng: S a1 a2 a3 ... an . (1)
Với a2 a1 a3 a2 ... an an 1 d (các số hạng cách đều nhau một giá trị d )
Số số hạng của tổng là n an a1 : d 1 với a1 là số hạng thứ nhất; an là số hạng thứ n .
Tổng S n a1 an : 2 .
Số hạng thứ n của dãy là an a1 n 1 d . 
II.Bài toán
Bài 1: Tính tổng S 1 2 3 4 ... 2019 2020 .
Lời giải: Các số tự nhiên có hai chữ số là 10;11;12;...;99
Số các số này là:99 10 1 90 số
Ta có: A 10 11 12 ... 99(1)
A 99 98 ... 11 10 (2)
Cộng (1) với (2) và áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng ta được:
A A 10 99 11 98 ... 98 11 99 10 109 109 ... 109 109
Nên 2A 109.90 A 109.90 : 2 45.109 4905
Cách 2:
 99 10 
Số số hạng của dãy: 1 90
 1
(khoảng cách 2 số hạng liên tiếp của dãy là 1, số hạng đầu của dãy là 10, số hạng cuối của dãy là 99)
 99 10
Tổng của dãy: A .90 4905
 2
Bài 7: Tính tổng của 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên? . 
Phân tích:
Để giải bài toán ta cần xác định được quy luật cách đều của các số lẻ liên tiếp. Tuy nhiên các số hạng trong 
tổng đã biết nên ta chỉ cần áp dụng công thức tính tổng như đã nêu trong phương pháp
Lời giải
Tổng 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: S 1 3 5 ... 33 35 37 39 41
Cách 1: Tính tổng theo công thức trong phương pháp
Các số hạng liên tiếp trong tổng cách đều nhau một giá trị d 2 và trong tổng có 21 số hạng nên: 
 41 1 .21
S 1 3 5 ... 33 35 37 39 41 441
 2
Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành những cặp số có tổng bằng nhau, ta thấy:
1 41 42 3 39 42 5 37 42 7 35 42....
 Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có tổng là 42
Số cặp số là: 20 : 2 10 (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 21
Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 42.10 21 441
 1 5 7 101 103
Bài 9: Tính tổng S 1 3 ... 35.
 3 3 3 3 3
Lời giải
 1 5 7 101 103 1 3 5 7 ... 101 103 105
Ta có S 1 3 ... 35 
 3 3 3 3 3 3
Xét tổng 1 3 5 .... 101 103 105 là tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 105, các số tự nhiên lẻ 
liên tiếp cách đều nhau 2 đơn vị. 1
*) Phân tích: Đặt a bài toán trở về dạng đã cho.
 2 
 1
Kể từ số hạng thứ nhất, mỗi số hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Do đó nếu ta 
 2
 1 1
nhân 2 vào tổng S thì ta có tổng 2S với các số hạng từ đến , giống như trong tổng S, khi đó nếu lấy 
 2 299
 1 1
tổng 2S trừ đi tổng S thì các số hạng từ đến bị triệt tiêu và tính được tổng S.
 2 299
Lời giải:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có S 1 ... 2S 2 1 ... 
 2 22 23 299 2100 2 22 23 299
 1
 2S S S 2 
 2100
 5 5 5 5
Bài 5: Tính tổng S 1 ... .
 7 72 73 755
 5 5 5
*) Phân tích: Nhận thấy các số hạng từ đến đều có cùng tử số là 5, và kể từ số hạng thì các số 
 7 755 7
 1
hạng tiếp theo bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với . Nếu nhân 7 vào tổng S thì ta được tổng 7S có 
 7
 5 5
các số hạng từ đến giống như trong tổng S. Do đó nếu lấy tổng 7S trừ đi tổng S thì các số hạng từ 
 7 754
5 5
 đến bị triệt tiêu, từ đó tính được tổng S.
7 754
Lời giải:
 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Ta có S 1 2 3 ... 55 7S 7 7. 2 3 ... 55 7 5 2 3 ... 54
 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
 5 11 5
 7S S 6S 11 S 
 755 6 6.755
 1 1 1 1
Bài 6: Tính tổng S .
 18 18.9 162.9 1458.9
*) Phân tích: Nếu quy đồng phân số bài toán thì khá phức tạp. Nhận thấy các số 18, 162, 1458 đều chia hết 
cho 9, do đó ta sẽ phân tích các số này thành tích của 9 với một thừa số nào đó để xem có xuất hiện tổng 
 1 1 1
theo quy luật ... hay không, từ đó có hướng tính S
 a a2 a3
 Lời giải:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Ta có S 2 3 4 2 3 4 
 18 18.9 162.9 1458.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 C 2 .C 2 4 6 .... 2018 4 6 8 .... 2020 
 3 3 2 3 3 3 2 3 3 
 8 1 1 9 1 1 32018 1
 .C 2 2020 C . 2 2020 2018
 9 3 3 8 3 3 8.3
 256 1
Bài 3: Tìm giá trị của x biết: 1 52 54 ..... 52x 
 24
Lời giải:
Đặt A 1 52 54 ..... 52x (1)
Nhân vào hai vế với 52 ta được: 52.A 52 54 56 58 .. 52x 2 (2)
Lấy 2 1 theo vế : 
52.A A 52 54 56 58 .. 22x 2 1 52 54 .....52x 
 52x 2 1
24.A 52x 2 1 A 
 24
 256 1 512 1 52x 2 1 512 1
Vì 1 52 54 .....52x x 5 . 
 24 24 24 24
Vậy x 5 là giá trị cần tìm.
 2022
 2 4 2020 17 1
Bài 4: Tìm giá trị của x biết: 1 x 1 x 1 ..... x 1 , với x 2
 x 1 2 1 
Lời giải:
 2 4 2020
Đặt B 1 x 1 x 1 ..... x 1 (1).
 2 2 2 4 6 2022
Nhân cả hai vế của (1) với x 1 ta được: B. x 1 x 1 x 1 x 1 ....... x 1 (2).
Lấy 2 1 theo vế ta được: 
B. x 1 2 B x 1 2 x 1 4 x 1 6 ....... x 1 2022 1 x 1 2 x 1 4 ..... x 1 2020 
 2022
 2 2022 x 1 1
B. x 1 1 x 1 1 B 
 x 1 2 1
 2022
 172022 1 x 1 1 172022 1
Theo bài cho: B 2 
 x 1 2 1 x 1 1 x 1 2 1 
 x 1 17 x 18 (thỏa mãn). Đặt A 1 52 54 ..... 540
 52.A 52 54 56 ..... 542
 52.A A 52 54 56 ..... 542 1 52 54 ..... 540 
 542 1 542 2 542 2
 24.A 542 1 A 
 24 24 23
 542 2
Vậy 1 52 54 ..... 540 .
 23
 7102 2019
Ví dụ 9: So sánh: 1 72 74 ..... 7100 với .
 2021
Lời giải:
Đặt A 1 72 74 ..... 7100
 72.A 72 74 76 .... 7102
 72.A A 72 74 76 .... 7102 1 72 74 ..... 7100 
 7102 1 7102 2019 7102 2019
 48.A 7102 1 A 
 48 48 2021
Dạng 4: Tính tổng S a a3 a5 ... a2n 1 , với n 1, n N;a 1.
I. Phương pháp giải
S a a3 a5 ... a2n 1 1 
Bước 1: Nhân cả 2 vế của 1 với a2 ta được: a2S a3 a5 ... a2n 1 a2n 1 2 
 2n 1
 2 2n 1 a a
Bước 2: Lấy 2 1 ta được: a 1 S a a S 2
 a 1
 a2n 1 a
Vậy a a3 a5 ... a2n 1 
 a2 1
II. Bài toán
 3 5 51
Bài 1: Tính tổng S1 2 2 2 ... 2 .
Lời giải:
 a2n 1 a
Áp dụng công thức a a3 a5 ... a2n 1 với n 26; a 2 ta được:
 a2 1
 252 2 252 2
S 2 23 25 ... 251 .
 1 22 1 3
 3 5 99
 1 1 1 1 
Bài 2: Tính tổng S2 ... .
 3 3 3 3