Chuyên đề HSG Toán đại 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 1, Chủ đề 2: Phương pháp giải các bài toán đếm

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
*) Nhận xét: Đối với “Bài toán đếm số” thì không có phương pháp chung nào cho mọi bài toán ở dạng 
này. Mà khi gặp mỗi bài toán có liên quan tới việc đếm số, đếm chữ số.... đòi hỏi sự tư duy, tố chất thông 
minh kết hợp với những kiến thức đã học về tập hợp số tự nhiên để giải bài toán. Qua mỗi bài toán cụ 
thể, học sinh sẽ tích lũy được những phương pháp giải, giúp hỗ trợ cho việc giải các bài toán khác ở 
dạng này được tốt hơn.
*) Đếm số tự nhiên lập được từ m số cho trước lấy ra từ tập hợp số 0;1;2....;9 ta làm như sau:
+ Chọn một trong m số làm chữ số hàng cao nhất, rồi lập sơ đồ hình cây, sau đó đếm số lập được
+ Ví dụ: Từ các số 3, 6, 9 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?
Bước 1: Chọn chữ số 3 làm hàng trăm, ta có 2 số 369 và 396.
Bước 2: Từ sơ đồ, ta thấy từ 3 chữ số đã cho ta lập được 2 số có 3 chữ số khác nhau mà chữ số hàng 
trăm bằng 3. Tương tự, ta lập được 2 số có 3 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm bằng 6, lập được 2 
số có 3 chữ số khác nhau mà có chữ số hàng trăm bằng 9.
Bước 3: Vậy từ 3 chữ số đã cho ta lập được 3.2 6 (số).
*) Để tìm số tự nhiên chưa biết, ta vận dụng hai phương pháp cơ bản sau:
- Phân tích cấu tạo số của một số tự nhiên.
Ta có: ab 10a b
abc 100a 10b c 10ab c 100a bc
abcd 1000a 100b 10c d 10abc d 100ab cd 1000a 10bc d
- Từ đặc điểm của số cần tìm và dữ kiện của bài toán ta lập luận, nhận xét để lựa chọn chữ số (thường 
sẽ nhận xét để chỉ ra chữ số của hàng đơn vị và chữ số hàng cao nhất).
PHẦN II. BÀI TẬP:
I.Phương pháp giải
- Liệt kê: Các phần tử thỏa mãn điều kiện cho trước ⇒ dùng phương pháp đếm (ít phần tử)
- Dựa vào quy luật hình thành các phần tử để đếm (chia hết cho 2, 3,  hoặc thỏa mãn điều kiện nào 
đó).
II.Bài toán
Dạng 1: Đếm số các chữ số của dãy số
Bài 1: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A .
a) Số A có bao nhiêu chữ số? So với dãy 1 thì ở dãy 2 ta viết thêm các chữ số 0:
- Vào hàng trăm 100 lần (chữ số hàng trăm của các số từ 000 đến 099);
 -Vào hàng chục 10 lần (chữ số hàng chục của các số từ 000 đến 009);
 -Vào hàng đơn vị 1 lần (chữ số hàng đơn vị của 000).
Vậy chữ số 0 ở dãy 1 được viết là: 300- 111= 189 (lần).
Bài 2: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999 ta được một số tự nhiên A.
a) Số A có bao nhiêu chữ số?
b) Tính tổng các chữ số của số A?
c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần?
d) Chữ số 0 được viết bao nhiêu lần?
Phân tích: 
a) Cần đếm số chữ số của các dãy số sau: Dãy các số tự nhiên có 1 chữ số, dãy các số tự nhiên có 2 chữ 
số, dãy các số tự nhiên có 3 chữ số. Sau đó cộng các kết quả lại với nhau
b) Viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thì tổng các chữ số của 
B cũng bằng tổng các chữ số của A. Số B có: 3.1000 = 3000 chữ số mà mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều có 
mặt 300 lần
 Lời giải:
a) Số A có bao nhiêu chữ số?
Từ 1 đến 9 có 9 số gồm: 9 (chữ số)
Từ 10 đến 99 số có 90 số gồm: 90.2 = 180 (chữ số)
Từ 100 đến 999 có 900 số gồm: 900.3 = 2700 (chữ số)
Số A có: 9+ 180+ 2700 = 2889 (chữ số).
b) Tính tổng các chữ số của số A?
Giả sử ta viết số B là các số tự nhiên từ 000 đến 999 (mỗi số đều viết bởi 3 chữ số), thế thì tổng các chữ 
số của B cũng bằng tổng các chữ số của A.Số B có: 3.1000 = 3000 chữ số, mỗi chữ số từ 0 đến 9 đều 
có mặt: 3000 :100 = 300 (lần)
Tổng các chữ số của B (cũng là của A):
(0 + 1+ 2 + ...+ 9).300 = 45.300 = 13500 (chữ số)
c) Chữ số 1 được viết bao nhiêu lần?
Cần đếm số chữ số 1 trong 11 dãy: 1, 2,3,...,999 1 Þ Có: 1809 :3 = 603 số có 3 chữ số.
Þ Cuốn sách đó có: 603+ 99 = 702 (vì trang 1® 99 có 99 trang).
Cuốn sách có 702 trang.
b) Vì 1010 > 180+ 9 nên chữ số thứ 1010 nằm trong các số có 3 chữ số
Ta có: 1010- (180+ 9)= 821 (chữ số) đánh dấu các trang có 3 chữ số tính từ trang 100 (số thứ nhất có 
3 chữ số) nên có 821:3 được 273 và dư 2Þ Chữ số thứ 1010 sẽ nằm ở số thứ 274 có 3 chữ số.
Số thứ 274 có 3 chữ số là 374Þ Chữ số thứ 1010 là chữ số 7 của 374.
Bài 4: Bạn Tâm đánh số trang của một cuốn vở có 110 trang bằng cách viết dãy số tự nhiên1 , 2,3,...,110. 
Bạn Tâm phải viết tất cả bao nhiêu chữ số?
Lời giải:
Ta có: Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang, phải dùng 9 chữ số.
Từ trang 10 đến trang 99 có 99 10 1 90 (trang), phải dùng 180 (chữ số).
Từ trang 100 đến trang 110 có 110 100 1 11(trang), phải dùng 11.3 = 33 (chữ số).
Vậy bạn Tâm phải viết tất cả: 9 + 180 + 33 = 222 (chữ số).
Bài 5: Một cô nhân viên đánh máy liên tục dãy số chẵn bắt đầu từ 2: 2, 4, 6,8,10,12,... Cô phải đánh tất 
cả 2000 chữ số. Tìm chữ số cuối cùng mà cô đã đánh. 
Lời giải:
Đánh từ số 2 đến số 8 cần 8 2 : 2 1 4 số chẵn có 1 chữ số, phải đánh 4 (chữ số).
Đánh từ số 10 đến số 98 cần (98- 10) : 2 + 1 = 45 số chẵn có 2 chữ số, phải đánh 45.2 90 (chữ số).
Đánh từ số 100 đến số 998 cần (998- 100) : 2 + 1 = 450 số chẵn có 3 chữ số, phải đánh 450.3 1350
(chữ số).
Vì còn các số chẵn phải đánh gồm các số chẵn có 4 chữ số
Þ Còn lại: 2000 (1350 90 4) 556 chữ số là đánh các số chẵn có 4 chữ số
Có: 556 : 4 được 139Þ chữ số thứ 2000 sẽ nằm ở số chẵn thứ 139 có 4 chữ số
Số chẵn thứ 139 có 4 chữ số là: (139 - 1).2 + 1000 = 1276 .
Þ Chữ số thứ 2000 là chữ số 6 của số 1276. 
Bài 6: Bạn Mai viết dãy số lẻ 1;3;5;...;245. 
a) Bạn Mai phải viết tất cả bao nhiêu chữ số? Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5?
Phân tích: Số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5, ta cần hiểu chữ số 5 có thể là chữ 
số hàng đơn vị, chữ số hàng chục, chữ số hàng trăm nên ta cần chia ra ba loại số có 3 chữ số thỏa mãn 
là: 5ab;a5b;ab5 . Ở mỗi loại số ta thực hiện đếm số cách chọn mỗi chữ số từ tập hợp{0 ,1,2,3,4,6,7,8,9} 
giống như bài 2.
Lời giải: 
Ta chia ra 3 loại số:
Số đếm có dạng 5ab (0 a,b 9,a 5,b 5) : chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn các 
số thuộc loại này có: 9.9 = 81 (số).
Số đếm có dạng a5b (0 a,b 9,a 5,b 5,a 0) : chữ số a có 8 cách chọn, chữ số b có 9 cách chọn, 
các số thuộc loại này có: 8.9 = 72 (số).
Số đếm có dạng ab5 (0 a,b 9,a 5,b 5,a 0) : các số thuộc loại này có: 8.9 = 72 (số).
Vậy số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5 là 81+ 72+ 72 = 225 (số).
Bài 3: Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số:
a) Chứa đúng một chữ số 4?
b) Chứa đúng hai chữ số 4?
c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5? 
d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3?
Lời giải:
a) Chứa đúng một chữ số 4?
Các số phải đếm có 3 dạng:
- Dạng 4bc (0 c,b 9,c 4,b 4) có 9.9 = 81 (số).
- Dạng a4c (0 a,c 9,a 4,c 4,a 0) có 8.9 = 72 (số).
- Dạng ab4 (0 a,b 9,a 4,b 4,a 0) có 8.9 = 72 (số).
Tất cả có: 81+ 72+ 72 = 225 (số).
b) Chứa đúng hai chữ số 4?
Các số phải đếm gồm 3 dạng: 
- Dạng 44c (0 c 9,c 4) có 9 (số).
- Dạng a44 (0 a 9,a 4,a 0) có 8 (số). 100 2 
 1 50 (số)
 2
Các số chia hết cho 2 và 3: 6;12;18; 24;....;96
Số các số chia hết cho cả 2 và 3 là:
 96 6 
 1 16 (số)
 6
Vậy từ 1 đến 100 có 50 16 34 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 3. 
b) Chia hết cho ít nhất một trong hai số 2 và 3?
Các số chia hết cho 3 là: 3;6;9;12;15;...;99
Số các số chia hết cho 3 là:
 99 3 
 1 33 (số)
 3
Vậy các số chia cho ít nhất một trong hai số 2 và 3 là: 
50 33 16 67 (số)
c) Không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3?
Số các số không chia hết cho 2 và cho 3 là: 
100 67 33 (số).
Bài 6: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 1000, có bao nhiêu số:
a) Chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5?
b) Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ 2 đến 5?
Lời giải:
a) Chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5?
Gọi A, B,C, D, E,G, H là tập hợp các số từ 1 đến 1000 mà theo thứ tự chia hết cho 2, chia hết cho 3, 
chia hết cho 5, chia hết cho 2 và 3, chia hết cho 2 và 5, chia hết cho 3 và 5, chia hết cho cả 3 số. Số phần 
tử của các tập hợp đó theo thứ tự bằng S1, S2 , S3 , S4 , S5 , S6 , S7
Ta có: S1 1000: 2 500;S2 1000:3 333;S3 1000:5 200;S4 1000:6 166
S5 1000:10 100;S6 1000:15 66;S7 1000:30 33
Số các số phải tìm gồm: S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 734 (số)
b) Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ 2 đến 5?
Còn lại 1000 734 266 (số). Trước hết, ta đếm các số không chứa chữ số 1 của dãy này: đó là các số có dạng abc 
 (0 a,b,c 9,a 1,b 1,c 1) trong đó mỗi chữ số a, b, c đều có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 
1), tất cả có: 9.9.9 = 729 (số). Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 không chứa chữ số 1 có:
729 1 728 (số).
Số lượng các số từ 1 đến 999 có chứa chữ số 1 là:
999 728 271 (số).
Bài 10: Tìm số lượng các số tự nhiên có bốn chữ số mà:
a) Số tạo bởi hai chữ số đầu (theo thứ tự ấy) cộng với số tạo bởi hai chữ số cuối (theo thứ tự ấy) nhỏ hơn 
100.
b) Số tạo bởi hai chữ số đầu (theo thứ tự ấy) lớn hơn số tạo bởi hai chữ số cuối (theo thứ tự ấy)?
Lời giải:
a) Các số cần tìm có dạng: abcd (0 a,b,c,d 9,a 0) trong đó: ab cd 100.
Ta có các số sau thỏa mãn đề bài:
+) 1000; 1001; 1002; ...; 1089 ⇒ Gồm: 1090 1000 1 90 (số).
+) 1100; 1101; 1102;...; 1188 ⇒ Gồm: 1188 1100 1 89 (số).
.
+) 9700; 9701; 9702 ⇒ gồm: 3 (số).
+) 9800; 9801⇒ gồm: 2 (số).
+) 9900 ⇒gồm: 1 (số).
Vậy có tất cả: 90 89 ... 3 2 1 90 1 .90 : 2 4095 (số).
b) Các số cần tìm có dạng: abcd (0 a,b,c,d 9,a 0) trong đó: ab cd . 
Ta có các số sau thỏa đề bài:
+) 1000; 1001; 1002...; 1009 ⇒ gồm: 1009 1000 1 10 (số).
+) 1100; 1101; 1102; ...; 1110 ⇒ gồm: 1110 1100 1 11(số).
.
+) 9700; 9701; ; 9796 ⇒ gồm: 9796 9700 1 97 (số).
+) 9800; 9801; ; 9897 ⇒ gồm: 9897 9800 1 98 (số).
+) 9900; 9901; ...; 9998 ⇒ gồm 9998 9900 1 99 (số).
Số các số thỏa đề bài là: 10 11 ... 97 98 99