Chuyên đề HSG Toán 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 6, Chủ đề 1: Định nghĩa và tính chất cơ bản của số chính phương

 ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 6 – SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA:
Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên.
Ví dụ : 4 và 6 là hai số chính phương vì 4 22 ; 16 42
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG:
 1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0;1;4;5;6;9 , không thể có chữ số tận cùng là 2;3;7;8
 Để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2;3;7;8
 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với mũ chẵn, 
 không chứa TSNT với mũ lẻ.
Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:
 a) Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4 .
 b) Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9 .
 c) Số chính phương chia hết cho 5 phải chia hết cho 25 .
 d) Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16.
 e) Tích của các số chính phương là một số chính phương.
 f) Với A là số chính phương và A a.b , nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương.
 Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ lẻ.
 3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n 1 ( a2  0(mod3) , a2 1 ( m o d 3 ) ), 
 không có SCP nào có dạng 3n 2 n ¥ .
 4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n 1 ( a2  0(mod 4) , a2 1(mod 4) ) 
 không có SCP nào có dang 4n 2 hoặc 4n 3 n ¥ 
 5. Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là 
 số chính phương.
 6. Nếu A số một số chính phương, A chia hết cho p và p là một số nguyên tố thì A chia hết cho p2 .
 7. Nếu a2 chia hết cho p và p là một số nguyên tố thì a chia hết cho p .
 8. Hai số chính phương a2 và a 1 2 được gọi là hai số chính phương liên tiếp. Giữa hai số chính 
 phương liên tiếp không có số chính phương nào.
Nghĩa là: nếu n2 A n 1 2 thì A không là số chính phương.
 9. Nếu tích a.b là một số chính phương và (a,b) 1 thì hai số a và b đều là các số chính phương
 10. Số chính phương biểu diễn được thành tổng các số lẻ : 1 3 22 ; 1 3 5 32 ; 1 3 5 7 42...
Chứng minh: 
Giả sử: A 1 3 5 ... 2k 1 với k ¥
 (2k 1) 1
Ta có từ 1 đến 2k 1 có 1= k 1 số hạng
 2 2
 h) Ta có: H 20012001 20012000.2001 20011000 .2001
 2
 20011000 là số chính phương, ta xét số 2001:
 Vì 2001 có tổng các chữ số là 3 nên số 2001 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 .
 số 2001 không là số chính phương.
 Vậy H không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) Một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.
b) Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.
c) Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4 .
d) Một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ có số dư là 1.
Lời giải:
a) Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 3 :
 + Nếu n 3k n2 9k 2 3 
 2 2
 + Nếu n 3k 1 n 9 k 6 k 1 n chia 3 dư 1
 3 3
 2 2 2
 + Nếu n 3k 2 n 9k 12k 4 9k 12k  3 1 n chia 3 dư 1
 3
Vậy một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.
b) Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 2 :
 + Nếu n 2k n2 4k 2 4 n chia 4 dư 0
 2 2 2
 + Nếu n 2k 1 n 4k 4k 1 4k  4k 1 n chia 4 dư 1
 4
Vậy một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4 .
c) Ta xét các trường hợp của n khi chia cho 5 :
 + Nếu n 5k n2 25k 2 5 n chia 5 dư 0
 2 2 2
 + Nếu n 5k 1 n 25k 10k 1 25k  10k 1 n chia 5 dư 1
 5
 2 2 2
 + Nếu n 5k 2 n 25k 20k 4 25k  20k 4 n chia 5 dư 4
 5
d) Ta có: n 2k 1 n2 (2k 1)2 4k 2 4k 1 4k(k 1) 1
Vì k(k 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k 1) chia hết cho 2 .
 4k(k 1) chia hết cho 8 .
 4k(k 1) 1 chia 8 dư 1.
Vậy một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ có số dư là 1.
Bài 4: a) Cho A 22 23 24 ... 220 . Chứng minh rằng A 4 không là số chính phương.
 b) Cho B 3 32 33 ... 3100 . Chứng minh rằng 2B 3 không là số chính phương.
Lời giải:
a) Ta có: A 22 23 24 ... 220 (1)
 2.A 23 24 25 ... 221 (2) Bài 6: Cho A là số chính phương gồm bốn chữ số, nếu ta thêm vào mỗi chữ số của số A một đơn vị thì 
ta được số chính phương B . Tìm A và B .
Lời giải
Đặt A a2 ; B b2 (a b;32 a b 100) 
Vì thêm vào mỗi chữ số của số A một đơn vị thì ta được số B nên dễ thấy: B A 1111 
Mà: 1111 1.1111 11.101 và 1 b a b a 200
 1111 b2 a2 (b a)(b a)
 b a 11
 b a 101
 a 45
 b 56
 A a2 2025
 2
 B b 3136
Vậy hai số cần tìm là 2025;3136 .
Bài 7: Tìm số nguyên tố ab (a b 0) , sao cho ab ba là số chính phương.
Lời giải
Ta có: ab ba 10a b (10b a) 9a 9b 9(a b) là số chính phương;
Mà ab ba là số chính phương.
 a b là số chính phương
 a b 1
 a b 4
+) Với a b 1 ab 21,32,43,54,65,76,87,98
+) Với a b 4 ab 51,62,73,84,95
Vậy các số nguyên tố ab thỏa yêu cầu đề bài là: ab 43;73
Bài 8: Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống 
nhau.
Lời giải
Gọi số chính phương cần tìm là : aabb n2 (a,b ¥ ,1 a 9,0 b 9)
Ta có : aabb 1000a 100a 10b b 
 n2 1100a 11b
 n2 11(100a b) (1)
Lại có : aabb11 100a b11
 (99a a b)11 mà 99a  11
 a b11
Mà : 1 a 9,0 b 9 1 a b 18 a b 11 x 7
 n 12
 y 5
Bài 10: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số A 1.2.3...1112.
 Hỏi: số A có thể có 81 ước được không?
Lời giải
Giả sử A có 81 ước.
Vì số lượng các ước của A là 81 (là số lẻ) nên A là số chính phương (1)
Mặt khác, tổng của các chữ số của A là 1 2 3 ... 12 51 
Vì 51  3 nên A chia hết cho 3 nhưng A không chia hết cho 9 , do đó A không là số chính phương mâu 
thuẫn với (1).
Vậy A không thể có 81 ước. 
Bài 11: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 45 thì ta được một số chính phương.
Lời giải
Gọi số phải tìm là n n ¥ , 10 n 99 
Ta có: 45.n a2 a ¥ hay 32.5.n a2
Vì số chính phương chỉ có các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên n 5.k 2 k ¥ * 
+) Với k 1 n 5.12 5(không thỏa mãn)
+) Với k 2 n 5.22 20
+) Với k 3 n 5.32 45
+) Với k 4 n 5.42 80
+) Với k 5 n 5.52 125 (loại vì n có nhiều hơn hai chữ số)
Vậy số cần tìm là 20;45;80
Bài 12: Chứng minh rằng: một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số 2 thì không phải số chính phương.
Lời giải
Gọi A là số tự nhiên được ghi bởi n chữ số 2 ( n 2 )
Ta có: A 222...222 222...200 22 A 4
 A là số tự nhiên chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4
 A không là số chính phương.
Bài 13: Một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2008 thì có thể là số chính phương được không? Vì sao?
Lời giải
Gọi n là số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2008 (n ¥ )
Ta có: 2018 672.3 2
Vì tổng các chữ số của n chia 3 dư 2 nên số n khi chia cho 3 cũng có số dư là 2
 n có dạng n 3k 2 (k ¥ )
Mà một số chính phương không có dạng 3k 2 nên số tự nhiên n không là số chính phương.
Vậy một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 2008 thì không là số chính phương. 2015  5
Nên A chia 5 dư 2 , mà không có số chính phương nào chia 5 dư 2 .
 Vậy n5 1999n 2017 n ¥ không là số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nguyễn Huy Tưởng năm học 2004-2005)
Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a,a 1,a 2,a 3(a ¥ *)
Ta xét S a (a 1) (a 2) (a 3) 4a 6 
Vì 4a2 và 62 nên S2
Mặt khác 4a4 và 6 không chia hết cho 4 nên S không chia hết cho 4.
Vậy S chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên S không là số chính phương.
Bài 4: Cho B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... n(n 1)(n 2) với n ¥ *. Chứng minh rằng B không là số 
chính phương.
 (Trích đề thi HSG Bắc Ninh 2018-2019)
Lời giải
Ta có
 4B 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) ... n(n 1)(n 2).(n 3) (n 1)
 4B n n 1 n 2 n 3 n4 6n3 11n2 6n
 2
Ta có: n4 6n3 11n2 6n n4 6n3 11n2 6n 1 n2 3n 1 
 2
 n4 6n3 11n2 6n n4 6n3 9n2 n2 3n 
 2 2
Suy ra n2 3n n4 6n3 11n2 6n n2 3n 1 
Vậy B không là số chính phương.
Bài 5: Chứng tỏ tổng sau không là số chính phương S abc bca cab không là số chính phương.
 (Trích đề thi Olympic lớp 6 THCS Cầu Giấy năm học 2011-2012)
Lời giải
Ta có: S abc bca cab 111a 111b 111c
 111(a b c) 3.37.(a b c)
Để S là số chính phương thì a b c 3.37.k 2 (k ¥ )
Điều này vô lí vì a b c 27 37
Vậy S không là số chính phương.
Bài 6: Cho M 5 52 53 ... 580 Bài 8: Cho A 102012 102011 102010 102009 8
a) Chứng minh A chia hết cho 24 .
b) Chứng minh A không là số chính phương. 
(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Anh Sơn 2011-2012)
Lời giải
a) Ta có:
 A 102012 102011 102010 102009 8
A 103. 102009 102008 102007 102006 8
A 8.125. 102009 102008 102007 102006 8
 2009 2008 2007 2006 
A 8. 125. 10 10 10 10 1 
 A8
Ta lại có 102012 ,102011,102010 ,102009 có tổng các chữ số bằng 1 nên khi chia 102012 ,102011,102010 ,102009 cho 3 
đều dư 1. 
Ta có 8 chia 3 dư 2 .
Vậy A chia 3 có số dư là dư của phép chia (1 1 1 1 2)
Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)
 A3
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố nguyên cùng nhau, A3, A8 nên A24
b) Ta có 102012 ,102011,102010 ,102009 có chữ số tận cùng là 0 nên: 
A 102012 102011 102010 102009 8 có chữ số tận cùng là 8
Vậy A không là số chính phương vì số chính phương có tận cùng là 1; 4; 5; 6; 9
Bài 9: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số: 3; 6; 6; 8
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2011-2012)
Lời giải
Gọi số chính phương phải tìm là n2
- Vì số chính phương không có chữ số tận cùng là 3; 8 do đó phải có tận cùng là 6.
- Số có tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương.
 n2 có tận cùng là 36.
Vậy số chính phương đó là 8836 (với 8836 942 ).
Bài 10: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135thì ta được một số chính phương?
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2013-2014)
Lời giải
Gọi số phải tìm là n ( n ¥ , 10 n 99 )
Ta có: 135.n a2 (a ¥ ) hay 33.5.n a2