Chuyên đề học tập - Chương 4, Chủ đề 2: Công thức nghiệm - Đại số 9

 BÀI 2. CÔNG THỨC NGHIỆM 
 CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình bậc hai một ân
- Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
trong đó a, b, c là các so thực cho trước, x là ẩn số.
- Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.
2. thức nghiệm của phương trình bậc hai
Trường hợp 1. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
 b
 x x .
 1 2 2a
Trường hợp 3. Nếu A > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 b 
 x .
 1,2 2a
3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b'. Gọi biệt thức A' = b'2 - ac.
Trường hợp 1. Nếu A' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu A' = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
 b'
 x x .
 1 2 a
Trưòmg hợp 3. Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 b' '
 x .
 1,2 a
Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2b' ta nên sử dụng để giải phương trình sẽ cho lời 
giải ngắn gọn hơn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Không dùng công thức nghiệm, giải phương tri bậc hai một ẩn cho trước 4B. Giải các phương trình sau: 
a) 2x2 + 2 11x -7 = 0; b) 152x2 - 5x +1 = 0; 
c) x2 - (2 + 3 )x + 2 3 = 0; d) 3x2 - 2 3x + 1 = 0.
Dạng 3. Sử dụng công thức nghiệm, xác định sô nghiệm của phương trình dạng bậc hai
Phương pháp giải: Xét phương trình dạng bậc hai:
 ax2 + bx + c = 0.
 a 0
1. Phương trình có hai nghiệm kép .
 0
 a 0
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt .
 0
3. Phương trình có đúng một nghiệm a 0,b 0. 
 a 0,b 0,c 0
4. Phương trình vô nghiệm . 
 a 0, 0
Chú ý: Nếu b = 2b' ta có thể thay điều kiện của ∆ tương ứng bằng ∆’.
5A. Cho phương trình mx2 -2(m-1)x + m-3 = 0 (m là tham số).
Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; 
c) Vô nghiệm; b) Có nghiệm kép; 
e) Có nghiệm. d) Có đúng một nghiệm;
5B. Cho phương trình (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = 0 (m là tham số).
Tìm các giá trị của ra để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép; 
c) Vô nghiệm; d) Có đúng một nghiệm;
e) Có nghiệm.
Dạng 4. Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai
Phương pháp giải:
* Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương 
trình tùy theo sự thay đổi của m. 7A. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình b2x2 - (b2 +c2 -a2)x + c2 
=0 luôn vô nghiệm.
7B. Gho phương trình x2 +(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam 
giác. Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm.
8A. Cho hai phương trình x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0. Chứng minh nếu hai phương 
trình trên có nghiệm chung thì:
 (b - d)2 +(a- c)(ad - bc) = 0.
 1 1 1
8B. Cho hai phương trình x2 +ax + b = 0 và x2 +bx + a = 0 trong đó . Chứng minh 
 a b 2
rằng có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
9A. Cho hai phương trình x2 +x-m = 0 và x 2 -mx +1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:
a) Hai phương trình có nghiệm chung;
b) Hai phương trình tương đương.
9B. Cho hai phương trình x2 -2ax + 3 = 0 và x 2 -x + a = 0, (a là tham số). Với giá trị nào 
của a thì:
a) Hai phương trinh trên có nghiệm chung?
b) Hai phương trình trên tương đương?
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
10. Giải các phương trình:
a) 2x2 (1 2 2)x 2 = 0; b) 3x2 + 3 = 2(x +1);
 1
c) (2x 2)2 1 = (x + 1)(x-1); d) x(x + l) = (x - 1)2.
 2
11. Cho phương trình 2x2 -(4m + 3)x + 2m2 -1 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để 
phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép;
c) Vô nghiệm; d) Có đúng một nghiệm;
e) Có nghiệm.
12. Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
 mx 2 - 4(m - 1)x + 4m + 8 = 0 (m là tham số). 4A. Tương tự 3A
 3 5 3 5 
a) Tìm được x ;  
 2 2  
 2 3
b) Tìm được x c) Tìm được x , x 1 
 2 1 3 2
 6 2 6 6 2 6 
d) Tìm được x ; 
 3 3  
4B. Tương tự 3A, 4A
 11 5
a) Tìm được x b) Tìm được x  
 1,2 2
 3
c) Tìm được x 2; 3 b) Tìm được x 
  3
5A. Xét ' = (m - 1)2 - m(m - 3) = m + 1
 m 0
a) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi Tìm được m 0, m 1.
 0
 3
b) Xét m 0 2x 3 0 x (TM ) 
 2
 m 0
Xét m 0 . Phương trình có nghiệm kép khi m 1
 ' 0
c) Tương tự, ta tìm được m < -1
d) Tìm được m = 0
e) Tìm được m 1; m 0 .
5B. Tương tự 5A
 1 1
a) Tìm được m , m 2 b) Tìm được m 
 4 4
 1
d) Tìm được m d) Tìm được m = 2
 4
 1
e) Tìm được m = 2 hoặc m .
 4
6A. a) Ta có m2 2m 1 0, m m 1 7B. Ta có a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 
Vì a b c a2 ab ca . Tương tự ta có b2 ab bc và c2 ca bc . Từ đó suy ra 0 .
8A. Gọi x 0 là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có: (a c)x0 d b 
 d b
Nếu a c thì x . Thay x vào phương trình ta được ĐPCM.
 0 a c 0
Nếu a = c thì b = d ĐPCM.
 1 1 1 1
8B. Ta có a2 b2 4(a b).Từ a b ab .
 1 2 a b 2 2
 2 2 2
Từ đó ta có 1 2 a b 2ab (a b) 0 ĐPCM.
9A. a) Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Ta biến đổi được (1 + m) x0 = m +1. Tìm 
được m = -1 hoặc m = 2.
b) Ta xét hai trường hợp:
 1
Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm 2,m 
 4
Trường hợp 2: JHai phương trình cùng có nghiệm và tập nghiệm giống nhau m 1.
 1
Vậy 2 m thì hai phương trình tương đương.
 4
9B. Tương tự 9A
 1
 a) Tìm được a  b) Tìm được a 3 
 4
10. Tương tự 1A
 1 
a) Tìm được x ; 2 b) Tìm được x  .
 2 
 2  5 17 
c) Tìm được x 2;  d) Tìm được x  
 3  2  
11. Tương tự 5A
 17 17 17
 a) m b) m c) m 
 24 24 24
 17
 d) m  e) m 
 24
12. a) m 0, m 1 b) m 1 c) m 1.