Chuyên đề học tập - Chương 3, Chủ đề 2: Liên hệ cung và dây - Hình học 9

 BÀI 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí 1
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
2. Định lí 2
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
3. Bổ sung
a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua 
trung điểm của dây căng cung ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì 
đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc 
với dây căng cung ấy và ngược lại.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Phương pháp giải: Để giải các bài toán liên quan đến cung và dây, cần nắm chắc định nghĩa 
góc ở tâm và kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây.
1A. Chứng minh hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau.
1B. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ dây CD 
vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh AC = BE.
2A. Giả sử AB là một dây cung của đường tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy các điểm C và D 
sao cho »AC B»D. Chứng minh AB và CD song song.
2B. Giả sử ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn 
(O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:
a) BC song song với DE; Tương tự C· ON D· ON (2)
Từ (1), (2) ·AOC B· OC »AC B»D 
Trường hợp 2: Tâm O nằm ngoài khoảng hai dây. Kẻ 
OM  AB suy ra OM  CD tại N.
Tương tự ·AOC B· OC »AC B»D 
1B. Ta chứng minh »AD B»E , mà CD  AB nên . Từ đó 
suy ra .
* Cách khác:Chứng minh ·AOC B· OE ĐPCM.
2A. Ta lấy K là điểm chính giữa cung nhỏ »AB
Ta chứng minh được C»K K»D . Từ đó ta có OK  CD, 
OK  AB CD//AB.
2B. a) HS tự chứng minh.
b) Ta chứng minh được B»E C»D từ đó suy ra BE = CD 
và tứ giác BDEC là hình thang cân.
3A. a) Ta chứng minh E là trung điểm của AC nên 
 1
OE BC. 
 2
 1
Tương tự ta có OF DB .
 2
Mà BC < BD ta suy ra OE < OF
b) Chứng minh được AE2 = AO2 - OE2 và AF2 = AO2 - OF2
Từ đó ta có
AE2 > AF2 AE > AF 
 sđ »AE sđ »AF 
3B. a) HS tự chứng minh
b) Ta chứng minh được tứ giác BCEN là hình bình hành 
 BC = EN.
Do BCDE là hình bình hành