Chuyên đề học tập - Chương 2, Chủ đề 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn - Hình học 9

 BÀI 7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất của đường nối tâm
- Đường nối tâm (đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi 
hai đường tròn.
Chú ý:
• Nêu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
2. Liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r
 Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và Số điểm Hệ thức giữa d và R, r
 (O’;r) vói R>r chung
 Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r<d<R+r
 Hai đường tròn tiếp xúc nhau
 - Tiếp xúc ngoài 1 d = R + r,
 - Tiếp xúc trong d = R-r
 Hai đường tròn không giao nhau
 - Ở ngoài nhau d> R + r
 0
 - (O) đựng (O') d<R-r
 - (O) và (O') đổng tâm d = 0
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau 
Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan 
đến trường hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau
1A. Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC 
với B (O), C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở 
I. ,
 a) Vẽ đường kính BOD và CO'E. Chứng mình các bộ ba điểm B,A, E và C, A, D thẳng 
 hàng.
 b) Chứng minh BAC và DAE có diện tích bằng nhau.
 c) Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OKO' tiếp xúc 
 với BC.
1B. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến 
chung ngoài BC với B (O), C (O'). Đường vuông góc với OO' kẻ từ A cắt BC ở M.
 a) Tính MA theo R và r.
 b) Tính diện tích tứ giác BCO'O theo R và r.
 c) Tính diện tích BAC theo R và r. lớn cắt đường tròn nhỏ tại A và B. Gọi BC là đường kính của đường tròn nhỏ. Tính giá trị 
của biểu thức (AC2 + AM2 + AN2) theo R và r.
5A. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) ở ngoài nhau. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài, EF 
là tiếp tuyến chung trong (M và E thuộc (O), N và F thuộc (O')). Tính bán kính của đường 
tròn (O) và (O') trong các trường họp sau:
 a) OO' = 10 cm, MN = 8cm và EF = 6 cm;
 b) OO' = 13 cm, MN = 12 cm và EF = 5 cm.
5B. Cho hai đường tròn (O; 6 cm) và (O'; 2 cm) nằm ngoài nhau. Gọi AB là tiếp tuyến chung 
ngoài, CD là tiếp tuyến chung trong CD của hai đường tròn (A và C thuộc (O); B và D thuộc 
(O’) ). Biết AB = 2CD, tính độ dài đoạn nối tâm OO'.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
6. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp 
xúc (O) và (O') lần lượt ở B và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I. Gọi E, F thứ tự là giao 
điểm của IO với AB và của IO' với AC.
 a) Chứng minh A, E, I, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm K của đường tròn 
 này.
 1
 b) Chứng minh IE.IO + IF.IO' = (AB2 + AC2).
 2
 c) Gọi P là trung điểm của OA. Chứng minh PE tiếp xúc với (K).
 d) Cho OO' cố định và có độ dài 2a. Tìm điều kiện của R và R' để diện tích tam giác ABC 
 lớn nhất.
7. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A trên (O). Trên đoạn OA lấy
 1
điểm B sao cho OB = OA.
 3
 a) Chứng minh đường tròn đường kính AB tiếp xúc với (O).
 b) Đường tròn (O; R') với R R' cắt đường tròn đường kính AB tại C. Tia AC cắt hai 
 đường tròn đổng tâm tại D và E với D nằm giữa C và E. Chứng minh AC = CD = DE.
8. Cho đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (I) 
 có đường kính CB.
 a) Xét vị trí tương đối của (O) và (I).
 b) Kẻ dây DE của (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình 
 gì?
 c) Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng DB và (I). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng 
 hàng.
 d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của (1). 2B.a) Chú ý C· MA D· NA 900 
b) Vẽ OP  MA và O'Q  NA
Chú ý hình thang vuông OPQO’ có EA
 là đường trung bình
3A. Vẽ OP  CA ;O'Q  AD suy ra tứ 
giác OPQO’ là hình thang vuông tại P, Q
a) Kẻ OP;O'Q  CD do CD  MA
và M là trung điểm của OO’ AP=AQ 
 AC=AD
b) i) Chú ý EAF có AB, EG,FI là ba đường cao
ii) Sử dụng CD= 2PQ để lập luận, ta có 
kết luận: CD lớn nhất khi CD POO' 
3B. a) Chỉ ra OI OK IK OI OK (1) và (k) 
luôn cắt nhau
b) Do OI=NK, OK=IM OM=ON
Mặ khác OMCN là hình chữ nhật OMCN là hình vuông
c) Gọi L KB  MC, P IB  NC OKBI là 
Hình chữ nhật và BNMI là hình vuông
 BLC KOI
 L· BC O· KI B· IK
 mµ B· IK I·BA 900 
 L· BC I·BA 900
 cã L· BC L· BI I·BA 1800
d) Có OMCN là hình vuông cạnh a cố định 
 C cố định và AB luôn đi qua điểm C 2(IE.IO IF.IO')=AB2 AC 2 
c) PK Là đường trung bình của OAI và là trung trực của EA
Ta có
 PEK PAK nªn P· EK P· AK
 VËy P· EK 900 ®pcm
d) 
 2 2
 S ABC BC S IOO'.BC
 ABC : IOO' S ABC 2
 S IOO' OO' OO'
 1 IA2
 Mµ BC=2AI';OO'=2a;S .2a.IA a.IA S 
 OIO' 2 ABC a
 2
 2 R R' 2
 IA R.R' a IA 
 2 
Lớn nhất bằng a khi R=R’
7. a) Gọi I là trung điểm của AB, ta có: OI=OA-IA
b) Ta chứng minh được 
 IC PBD POE
 Mµ OB=BI=IA AC=CD=DE
8. a) (O) và (I) tiếp xúc trong với nhau
b) Tứ giác ADCE là hình thoi 
c) Có 
 CK  AB,AD  DB
 CK PAD mµ CE PAD
 B,K,D thẳng hàng
d)
 H· KD H· DK;I·KB I·BK
 H· KD I·KB H· DK I·BK 900 
 I·KH 900
9. a) Ta có AB = AE + BE = EM + EN