Chuyên đề học tập - Chương 2, Chủ đề 2: Đường kính và dây cung - Hình học 9

 BÀI 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
 - Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của 
 dây ấy.
 - Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm 
 thì vuông góc vói dây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
 - Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
 - Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây 
ây.
2. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì 
vuông góc vói dây ây.
3. Dùng định lý Py tago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.
1A. Cho đường tròn tâm O, hai dây AB và CD vuông góc với nhau ở M. 
Biết AB = 18 cm, CD = 14 cm, MC =4 cm. Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB và CD.
1B. Cho đường tròn tâm O bán kính 3 cm và hai dây AB và AC. 
Cho biết AB = 5 cm, AC = 2cm, hãy tính khoảng cách từ O đến mỗi dây. 
2A. Cho đường tròn (O;R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 
2 cm,IB = 4 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
2B. Cho đường tròn (O) và dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt (O) tại H. Tính bán 
kính R của (O) biết CD = 16 cm và MH = 4cm.
3A. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB; dây CD cắt AB tại M.
 Biết MC = 4 cm, MD = 12 cm và B· MD 30. Hãy tính: b)Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN.
8. Cho đường tròn (O) có các dây AB = 24 cm, AC = 20 cm, góc B· AC 90 và O nằm trong góc
B· AC . Gọi M là trung điếm của AC. Khoảng cách từ M đến AB bằng 8 cm.
 a) Chứng minh tam giác ABC cân.
 b) Tính bán kính của (O).
 9. Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD.
 a) Chứng minh BHCD là hình bình hành.
 b) Kẻ đường kính OI vuông góc BC tại I. Chứng minh Ị, H, D thẳng hàng.
 c) Chứng minh AH = 2OI.
 10. Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Vẽ hai dây AD và BC song song nhau. Chứng 
 minh:
 a) AC = BD; b) CD là đường kính của (O).
 11. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD. Độ dài dây CD không đổi. Chứng 
 minh trung điểm I của CD thuộc một đường tròn cố định.
 12. Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại trực tâm H. Lấy I 
 là trung điểm của BC.
 a) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
 b) Xác định tâm O của đường tròn qua các điểm A, B, K, C.
 c) Chứng minh OI và AH song song.
 d) Chứng minh BE.BA + CD.CA = BC2.
 13. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Điểm M di động thuộc cung BC không 
 chứa A. Gọi D, E lần lượt là các điểm đối xứng với M qua AB, AC. Tìm vị trí của M để độ 
 dài đoạn thẳng DE lớn nhất.
 14. Cho điểm A nằm trên đường tròn (O) có CB là đường kính và AB < AC. Vẽ dây AD 
 vuông góc với BC tại H. Chúng minh:
 a) Tam giác ABC vuông tại A
 b) H là trưng điểm AD, AC = CD và BC là tia phân giác góc ABD;
 A· BC A· DC
 BÀI 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1A. a) gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên AB và CD
Tính được OH = MK = 3cm
OD= OB = 3 10 cm HK=7cm hoặc HK=1cm 
4A. a) Gọi I là Trung điểm CD
 IC=ID
Xét hình thang AEFB , I là trung điểm EF IE=IF
Từ đó suy ra CE=DF
b) Ta có E· AB và F· BA bù nhau nên có một góc
 tù và một góc nhọn 
Giả sử E· AB 900 EAO có OE > AO =R E ở ngoài đường tròn mà OE=OF nên F cũng 
ở ngoài đường tròn 
4B. Đường thẳng qua O và vuông góc với AC và BD lần lượt tại H và K ( 
H AC,K BD )
Ta có AOH BOK(g.c.g) AK BK AC BD 
5A. a) B,C,D,E cùng thuộc đường tròn đường
 kính BC
b) BC là đường kính, ED dây không qua tâm
 ĐPCM
5B. Tương tự 5A
6 . Kẻ OE  CD,E CD Ta có
CO=11cm, CE= 9cm, OE=2 10 cm
OM=7cm ME=3cm
 MC=6cm, MD=12cm; hoặc MD= 6cm, MC= 12cm
7. a) Tính được HA=4cm; HB=9cm
b) Tính được HA=4cm; HB=9cm A,B,K,C nằm trên đường tròn đường kính AK.
c) Ta có OI là đường trung bình của AHK OI PAH 
d) Gọi AH cắt BC tại M. Ta có BE.BA = BM.BC
và CA.CD = CM.BC ĐPCM
13. Kẻ
AH  DE t¹i H
Tõ D· AE 2B· AC
 D· AH B· AC
Từ DE=2DH; AD=AM=AE
Suy ra DH=AD.sin D· AH
Từ đó DEmax AM 2R 
14. a) Vì OA=OB=OC 
 ABC vuông tại A
b) HS tự chứng minh
c) Chứng minh
A· BC C· BD
MµC· DH C· BD A· BC C· DH