Chuyên đề học tập - Chương 1, Chủ đề 5: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai - Đại số 9

 BÀI 5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
 VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
 1. Đê’ rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng linh 
 hoạt và phù họp các phép biên đổi đơn giản như:
- Đưa thừa sô' ra ngoài dâu căn;
- Đưa thừa sô' vào trong dâu căn;
- Trực căn thức ở mẫu;
- Quy đồng mẫu thức...
2. Các bài toán liên quan đến bài toán rút gọn biêu thức chứa căn bậc hai thường là:
- Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
- Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức;
- Tìm giá trị nguyên của biến đê’ biểu thức nhận giá trị nguyên; 
- Tìm giá trị thực của biến đế biểu thức nhận giá trị nguyên; 
- So sánh biểu thức với một sô' hoặc một biếu thức khác;
- Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhò nhất cua biêu thức...
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Rút gọn biểu thức chúa căn bậc hai và tìm giá trị của biểu thúc khi biết giá trị của biến 
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai đã cho, ta sử dụng các phép biên đổi như đưa thừa 
sô' ra ngoài hoặc vào trong dâu căn, trục căn thúc ờ mẫu, quy đồng mẫu thức... một cách linh 
hoạt.
Bước 2. Đê’ tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị cùa biên ta rút gọn giá trị của biên (nêu cần) 
sau đó thay vào biểu thức đã dược rút gọn ở trên và tính kết quả.
 CÁC BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Rút gọn biểu thúc chứa căn bậc hai và tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của 
biến.
 x x 1 1
1A. Cho biểu thức P víi x 0 vµ x 9 
 x 9 x 3 x 3
a) Rút gọn P x 2 x 1 x 2
 A vµ B = : víi x 0 vµ x 4
3B. Cho biểu thức 
 x 2 x 4 x 2 x 4
a) Rút gọn B
b) Tìm x nguyên để C = A ( B – 2 ) có giá trị nguyên
 1 1 x 2
4A. Cho biểu thức P : víi x 0 vµ x 4
 x 2 x 2 x
a) Rút gọn P
 7P
b) Tìm x thực để có giá trị nguyên
 3
4B. Cho hai biểu thức 
 15 x 2 x 1 1 x
 A : vµ B= víi x 0 vµ x 25
 x 25 x 5 x 5 1 x
a) Rút gọn A
b) Tìm x thực để M= A - B có giá trị nguyên
Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và so sánh biểu thức với một số (hoặc một biểu 
thức khác).
Phương pháp giải: Để so sánh một biểu thức M với một số a, ta xét hiệu M-a và xét dấu của 
hiệu này, từ đó đi đến kết quả của phép so sánh.
5A. Cho hai biểu thức 
 x 1 x 3 5 4
 A vµ B= víi x 0, x 1,x 25 
 x 5 x 1 x 1 x 1
a) Rút gọn B
 x 5 x 5
b) So sánh C A.B . víi 3 
 x 5 x
5B. Cho các biểu thức:
 2 x x 9 x x 5 x
 A vµ B= víi x 0, x 9,x 25 
 x 3 x 9 x 25
a) Rút gọn các biểu thức A và B
 A
b) Đặt P . hãy so sánh P với 1
 B
Dạng 5: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tìm giá trị lớn nhất( hoặc giá trị nhỏ nhất) của 
biểu thức. 1 2 x x x 1 
 P : 
 x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1 
a) Rút gọn P.
 1
b) Tìm giá trị của x đê’ P < .
 2
 1
c) Tìm giá trị của x để P = 
 3
d) Tìm x nguyên đế P nguyên.
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
 x 2 x x 4 
 P x : víi x 0 vµ x 1,x 4
10. Cho biểu thức: 
 x 1 x 1 1 x 
 a) Rút gọn P.
 1
 b) Tìm các giá trị của x thỏa mãn P < .
 2
 c) Tìm giá trị nhỏ nhâ't của P.
 x2 x 2x x 2(x 1)
11* Cho biêu thức N víi x>0 vµ x 1
 x x 1 x x 1
 a) Rút gọn N.
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.
 2 x
 c) Tìm x đê’ biểu thức M = nhận giá trị nguyên. 
 N
12. Chứng minh các đẳng thức sau:
 a b a2b4
 a) a víi a+b>0 vµ b 0 
 b2 a2 2ab b2
 a b a b 2b 2 b
 b) víi a 0, b 0 vµ a b . 
 2 a 2 b 2 a 2 b b a a b
 BÀI 5. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN 
 QUAN
1A. a) Rút gọn ta được 2 x 1
3A. a) Rút gọn ta được A víi x 0,x 1 
 x 1
 7
b) Rút gọn ta được M x 3 
 x 3
Để M nguyên, ta cần có x N, x 3 ¦ (7)
Từ đó tìm được x=6
 2 x 2
3B. a) Rút gọn ta được B víi x 0,x 4 
 x 2
 2
b) Rút gọn ta được C 
 x 2
ta có C nguyên, x 2 ¦ (2) Giải ra ta được x 0,1,6,16 
Ta có c nguyên (yfx —2) e ư(2).
 2
4A. a) Rút gọn ta được P víi x 0,x 4
 x 2
 7P 14
Đặt M . Ta có M víi x 0,x 4
 3 3 x 6
 7
Cách 1. Tìm được 0 < M Mà M Z nªn M 1;2 
 3
 64 1
Từ đó tìm được x = ; x = 
 9 9
 1
4B. a) Rút gọn ta được A víi x 0,x 25
 x 1
 x
b) Ta có M víi x 0,x 25
 1 x
Cách 1. Tìm được 0 M < 1. Mà M Z M = 0.
Từ đó tìm được x = 0 (TMĐK víi x 0,x 25). x 1
 a) Rút gọn ta được M víi x 0,x 4,x 9
 x 3
 b) Từ x 11 6 2 x 3 2 (TMĐK víi x 0,x 4,x 9 ).
Thay x 3 2 vào M tính được M = 1 - 2 2 .
 c) Tìm được x = 49.
 4
 d) Ta có M < 1 < 0. Từ đó tìm được 0 x 9,x 4
 x 3
 4
 e) Ta có M 1 víi x 0,x 4,x 9
 x 3
Từ điều kiện x và M nguyên ta tìm được x = {l; 16; 25; 49}.
8. a) Gợi ý: x x 2 ( x 2)( x 1) 
 x 1
Rút gọn ta được Q víi x 0,x 1
 x 1
b) Ta có x 3 1 (TMĐK).
 3 2 3
Thay x 3 1 vào Q tìm được Q 
 3
c) Ta có Q = 3 x= 4 (TMĐK).
 1 x 3
d) Ta có Q 0 x 1 0 x 1 
 2 2( x 1)
 2
e) Tương tự 3A. Ta có Q = 1 + 
 x 1
Từ đó tìm được x {0;4;9}.
 x 1
9. a) Rút gọn ta được P víi x 0,x 1
 x 1
 1 x 3
b) Ta có P 0 . Từ đó tìm được 0 x 9,x 1 
 2 2( x 1)
 x 1 1
c) Giải tìm được x = 4 (TMĐK).
 x 1 3
 2
 d) Ta có P 1 • Từ điều kiện P nguyên, tìm được x = 0
 x 1 a b a b 2b
 VT 
 2( a b) 2( a b) a b
b) 2 2
 a b a b 4b 4 ab 4b 2 b
 VP(§PCM)
 2( a b) a b 2( a b) a b a b