Chuyên đề Hoán vị, tổ hợp - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ, TỔ HỢP,CHỈNH HỢP, NHỊ THỨC
 CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP
A. KIẾN THỨC:
I. Chỉnh hợp:
1. định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp X ( 1 
k n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy
Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu k
 A n
2. Tính số chỉnh chập k của n phần tử 
 k = n(n - 1)(n - 2)[n - (k - 1)]
 A n
II. Hoán vị:
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp X theo 
một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy
Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu Pn
2. Tính số hoán vị của n phần tử 
 P = n = n(n - 1)(n - 2) 2 .1 = n! 
( n! : n giai thừa) n A n
III. Tổ hợp:
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử trong n phần 
tử của tập hợp X ( 0 k n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy
Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu k
 Cn
2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử 
 k n n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
 = : k! = 
 Cn A n k!
B. Ví dụ:
1. Ví dụ 1:
Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5
a) có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên
c)Có bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên
Giải:
 Trang 1 Bài 3: Cho x· Ay 1800 . Trên Ax lấy 6 điểm khác A, trên Ay lấy 5 điểm khác A. trong 12 điểm nói 
trên (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng.
Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy
Giải
Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại:
 B5 y
+ Loại 1: các tam giác có một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc Ax (có 6 B4
 B3
 B2
cách chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (có 5 cách chọn), gồm có: 6 . 5 = B1
 A
30 tam giác
 A1 A
 2 A
+ Loại 2: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, 3 A
 4 A
 5 A6
B5 (có 5 cách chọn), hai đỉnh kia là 2 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, x
 2 6.5 30
A5, A6 ( Có 15 cách chọn)
 C6 2! 2
Gồm 5 . 15 = 75 tam giác 
+ Loại 3: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh kia là 2 trong 5 
 2 5.4 20
điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm có: 6. 6. 6. 60 tam giác
 C5 2! 2
Tất cả có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác
 3 12.11.10 1320 1320
Cách 2: số các tam giác chọn 3 trong 12 điểm ấy là 220
 C12 3! 3.2 6
 3 7.6.5 210 210
Số bộ ba điểm thẳng hang trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 35
 C7 3! 3.2 6
 3 6.5.4 120 120
Số bộ ba điểm thẳng hang trong 6 điểm thuộc tia Ay là: 20
 C6 3! 3.2 6
Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác
D. BÀI TẬP:
Bài 1: cho 5 số: 0, 1, 2, 3, 4. từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có 5 chữ số gồm cả 5 chữ số ấy?
b) Có 4 chữ số, có các chữ số khác nhau?
c) có 3 chữ số, các chữ số khác nhau?
d) có 3 chữ số, các chữ số có thể giống nhau?
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đó chia hết cho 9
Bài 3: Trên trang vở có 6 đường kẻ thẳng đứng và 5 đường kẻ nằm ngang đôi một cắt nhau. Hỏi trên 
trang vở đó có bao nhiêu hình chữ nhật
 Trang 3 4 4 1.4 3 4.3 2 2 4.3.2 3 4.3.2. 5
Chẳng hạn: (a + b) = a + a b + a b + ab + b
 1 2 2.3 2.3.4
Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa 
là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau
 n(n - 1) n(n - 1)
(a + b)n = an + nan -1b + an - 2b2 + + a2bn - 2 + nan - 1bn - 1 + bn
 1.2 1.2
B. Ví dụ:
1. Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a) A = (x + y)5 - x5 - y5
Cách 1: khai triển (x + y)5 rồi rút gọn A
 5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 5
A = (x + y) - x - y = ( x + 5x y + 10x y + 10x y + 5xy + y ) - x - y
 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)
 = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2)
Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5)
x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có: 
x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm 
nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại
b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7 
 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 
 = 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )]
 = 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)}
 = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]
 = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ]
 = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2
Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển
a) (4x - 3)4
Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có:
(4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81
 Tổng các hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1
 4 4 3 2
b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3) = c0x + c1x + c2x + c3x + c4
Tổng các hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4
 4
Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 - 3) = c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1
* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa 
 Trang 5