Chuyên đề Hình vuông Toán Lớp 8

 HÌNH VUÔNG A B
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng 
nhau (hình 97). 
 D C
 Hình 97
     0
 ABCD 90
Tứ giác ABCD là hình vuông . 
 AB BC CD DA
Từ định nghĩa hình vuông suy ra hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi. 
2. Tính chất
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. 
3. Dấu hiệu nhận biết
Ba dấu hiệu từ hình chữ nhật: 
 Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. 
 Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. 
 Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác thì nó là hình vuông. 
Hai dấu hiệu từ hình thoi: 
 Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. 
 Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. 
Nhận xét: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông. 
4. Cách vẽ hình vuông
Có năm cách vẽ hình vuông, nhưng hay dùng hai cách sau: 
 B
 A B
 A O C
 D C
 D
 b)
 a)
 Hình 98 
Hình thoi ADFE có A 900 nên nó là hình vuông. 
b) Tứ giác MENF là hình vuông. 
Giải thích: 
Chứng minh tương tự như câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông. 
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và MENF , ta được: 
 AF DE; EC  FB
    0
 MNE 90 . 
 EE  450
 1 2
Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. 
Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc MEN nên nó là hình vuông. 
Bài 3. Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB,,, BC CD DA lần lượt lấy các điểm MNPQ,,, sao cho 
AM BN CP DQ . Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông. 
Lời giải (hình 101) 
Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM BN CP DO x . 
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD , ta được: 
ABCD    900 và MB NC PD QA a x , nên bốn tam giác vuông MBN,,, NCP PDQ QAM 
bằng nhau trường hợp (c-g-c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là 
MN NP PQ QA . Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi. 
Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được: 
 A x M B
 1
   0
 MN 90 x
 1 2   0 (1) 2
 NN1 2 90 N
 MN  3
 1 1 1
Lại có góc là góc bẹt hay 
 BNC Q
 0 x
    (2) 
 BNC N1 N 2 N 3 180
 D P x C
Từ (1) và (2) suy ra  0 0 0 . 
 N 3 180 90 90 Hình 101
Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông. 
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ 1 
1. Nêu các tính chất về đường chéo của hình vuông. Chỉ rõ tính chất nào có ở hình bình hành, ở hình chữ 
nhật, ở hình thoi. 
2. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và hai đường chéo vuông góc có phải là hình vuông không? Nếu không 
hãy sửa lại một dấu hiệu để tứ giác là hình vuông. 
3. Các câu sau đúng hay sai? 
a) Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. 
b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. 
c) Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. 
Gọi HK, lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ MN, đến hai cạnh 
CD, DA và EIO,, thứ tự là giao điểm của MH với NK, MP với NQ . 
Áp dụng định nghĩa vào hình vuông ABCD và tính chất góc đồng vị của KN DC , ta được 
ABCEKN      900 . 
Các tứ giác MBHC, KNCD và MBNE là các tứ giác có ba góc vuông nên chúng là các hình chữ nhật. 
a) MP NQ MP  NQ . 
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hai hình chữ nhật MBCH, KNCD và hình vuông ABCD ta được: 
 MH BC, NK CD MH MK
 MHP NKQ (trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông). 
 BC CD, MP NQ MP NQ
Áp dụng tính chất về góc vào hai tam giác bằng nhau ở trên và tính chất của hai góc đối đỉnh ta có 
  
 MN1 1   0
 OE 90 (vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc thứ ba cũng bằng nhau). 
 II 
 1 2
Vậy MP vuông góc với NQ tại O . 
b) MP NQ MP NQ . 
Xét hai tam giác và có   vì đối đỉnh,   0 suy ra   (1) vì hai tam giác, có 
 MEI NOI II1 2 OE 90 MN1 1
hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau. 
Lại có H K 900 , MH NK (2) theo câu a). 
Từ (1) và (2) suy ra MHB NKQ (c-g-c) nên MP NQ . 
Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh BC, CD lấy hai điểm MN, sao cho MAN 450 , trên 
tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK BM . Hãy tính: 
a) Số đo góc KAN . 
b) Chu vi tam giác MCN theo a . 
Lời giải (hình 104) 
 A B
a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD , a
 45°1
 2 x
   0 4 3
 AD 90
ta được M
 AB AD, BM DK x
 ABM ADK (c-g-c). 
Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau ở trên và giả thiết, ta có: K D N C
 Hình 104
 0
 AAA   90
 1 2 3     0 0 0 . 
 KAN A3 A 4 A 1 A 3 90 45 45
 AAA , 450
 1 4 2
b) Đặt BM DK x thì KN x DN,, MC a x CN a DN . 
Từ kết quả của hai tam giác bằng nhau ở câu a) và giả thiết, ta được: 
Từ (2) và (3) ta có BM MH (4) vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng 
nhau. 
Kết hợp (1) với (4) ta được tứ giác NHMD có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình 
hành. 
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành NHMD , ta được đường chéo DH đi qua trung điểm I 
của đường chéo NM nên BD đi qua I . 
Điều đó chứng tỏ BID,, thẳng hàng. 
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ 1 
7. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là một điểm nằm giữa C và D . Tia phân giác của góc DAE 
cắt CD ở F . Kẻ FH AE (H AE ), FH cắt BC ở K . 
a) Tính độ dài AH . 
b) Tính số đo góc FAK . 
8. Cho hình vuông ABCD . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của BC, CD và I là giao điểm của AN, DM . 
Chứng minh rằng: 
a) AN DM ; b) BA BI . 
9. Cho một hình vuông cạnh dài 1m . Vẽ hình vuông thứ hai nhận đường chéo của hình vuông đã cho làm 
cạnh. Tính độ dài đường chéo của hình vuông này. 
10. Cho hình vuông ABCD . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M , trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao 
cho BM DN . Vẽ hình bình hành MANF , gọi O là trung điểm của AF . Chứng minh rằng: 
a) Tứ giác MANF là hình vuông. 
b) F thuộc tia phân giác của góc MCN . 
c) AC CF . 
d) Tứ giác BOFC là hình thang. 
Dạng 3. Tìm điều kiện để một hình trở thành hình vuông 
Phương pháp giải 
-sử dụng các dấu hiệu nhận biết hình vuông. 
-nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm vị trí của một điểm nào đó để một hình trở thành hình vuông ta làm như sau: 
giả sử hình đó là hình vuông rồi dựa vào các tính chất của hình vuông để chỉ ra vị trí cần tìm. 
Bài 1. Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C . Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và 
AC , chúng cắt các cạnh AC và AB thứ tự ở E và F . 
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? 
b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi? 
c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ 
 A
giác AEDF là hình vuông? 
 F
 E 
12. Cho hình thoi ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua B vẽ đường thẳng song song với 
AC , qua C vẽ đường thẳng song song với BD , hai đường thẳng này cắt nhau ở K . 
a) Tứ giác OBKC là hình gì? Vì sao? 
b) Chứng minh AB OK . 
c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBKC là hình vuông. 
13. Cho hình bình hành ABCD có BC 2 AB và A 600 . Gọi EF, thứ tự là trung điểm của BC, AD . 
a) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao? 
b) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao? 
c) Tính số đo của góc AED . 
HƯỚNG DẪN BÀI TỰ LUYỆN SỐ 1 
1. Hình vuông có các tính chất sau về đường chéo. 
a) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (có ở hình bình hành). 
b) Hai đường chéo bằng nhau (có ở hình chữ nhật). 
c) Hai đường chéo vuông góc với nhau (có ở hình thoi). 
d) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình vuông (có ở hình thoi). 
2. Câu trả lời là không. Phải sửa lại dấu hiệu về đường chéo là: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm 
của mỗi đường và vuông góc với nhau. A
3. Các câu đúng là: a, b, d. Câu sai là c. K H
4. (hình 169) Tứ giác KHED là hình vuông. 
 0 C
Giải thích: Tam giác vuông BDK có B 45 nên là tam giác cân, B D E
 Hình 169
do đó BD DK . Chứng minh tương tự, HE EC . 
Vì BD DE EC theo giả thiết, nên: 
 KD DE EH . 
 A B
Tứ giác KHED có KD HE, KD HE nên là hình bình hành. 
 N
Hình bình hành này lại có  0 nên nó là hình chữ nhật. 
 D 90 M P
Hình chữ nhật này lại có KD DE nên nó là hình vuông. 
 Q
5. (hình 170) Vì có   0 nên vuông cân tại . 
 NCD CD1 1 45 N D C
 Hình 170
Suy ra N 900 và ND NC (1). 
Chứng minh tương tự, PQ  900 . Tứ giác MNPQ có ba góc 
vuông nên là hình chữ nhật. F G
 AMD BPC (g-c-g) MD PC (2). A I
 H B
Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2) ta được NM NP . 
Như vậy hình chữ nhật MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông. 
 E
 2
 1
 D C
 Hình 171